中考數(shù)學(xué)幾何專(zhuān)項(xiàng)——相似模型(相似三角形)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)相似模型【相似模型一：A字型】特征模型結(jié)論DEBCAD:AB=AE:AC=DE:BC順著比B=AEDAD:AC=AE:AB=DE:BC反著比ADAB=AEAC順著乘B=ACDAD:AC=AC:AB=CD:BCAC=ADAB當(dāng) BAC=90 = 1 * GB3 ABDCBA AB=BDBC = 2 * GB3 ACDBCA AC=CDBC = 3 * GB3 ADBCDAAD=BDCD【相似模型二：X型】特征模型結(jié)論ACBDBD0ACODO:0C=BO:0A=BD:AC交

2、叉比AOD與C0B不相似 B=C（也叫蝴蝶型相似）AOCDOBAO:OD=0C:0B=AC:BDAOOB=OC0D順著比，交叉乘BOCDOA【相似模型三：旋轉(zhuǎn)相似】特征模型結(jié)論成比例線段共端點(diǎn)ABCADEABDACE【相似模型四：三平行模型】特征模型結(jié)論ABEFCD有兩對(duì)A字型相似BEFBCDDEFDAB有一對(duì)X型相似AEBDEC = 3 * GB3 【相似模型五：半角模型】特征模型結(jié)論90度，45度；120度，60度 = 1 * GB3 ABNMANMCA = 2 * GB3 ABDCAECBA【相似模型六：三角形內(nèi)接矩形模型】特征模型結(jié)論矩形EFGH或正方形EFGH內(nèi)接與三角形【相似模型七

3、：十字模型】特征模型結(jié)論正方形 = 1 * GB3 若AF=BE,則AFBE = 2 * GB3 若AFBE，則AF=BE,長(zhǎng)方形矩形ABCD中，CEBD，則CDEBCD，平行四邊形GMEHNFMEDBFA三角形在ABC中，ABAC，ABAC，D為中點(diǎn)，AEBD，BE：EC2：1，ADBCDE，AEBCED，BMC135，這七個(gè)結(jié)論中，“知二得五”【A型，X型，三平行模型】1.如圖，在ABC中，EFDC，AFE=B，AE=6，ED=3，AF=8，則AC=_，_ 2如圖，ABCD，線段BC，AD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是線段AF上一點(diǎn)且滿足BEF=C，其中AF=6，DF=3，CF=2，則AE=_3.如圖

4、，在RtABD中，過(guò)點(diǎn)D作CDBD，垂足為D，連接BC交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFBD于點(diǎn)F，若AB=15，CD=10，則BF:FD=_ 4.如圖，在ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，AC，分別交BD于M，N，則BM:DN=_5.如圖所示，ABCD，AD，BC相交于點(diǎn)E，過(guò)E作EFAB交BD于點(diǎn)F則下列結(jié)論：EFDABD；其中正確的有_6.在ABC中，AB=9，AC=6，點(diǎn)M在邊AB上，且AM=3，點(diǎn)N在AC邊上.當(dāng)AN= 時(shí)，AMN與原三角形相似.7.如圖，在ABC中，C=90，AC=8，BC=6，D是邊AB的中點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)P位于邊AC上，使得ADP與ABC相似，則線段AP的長(zhǎng)為 .8.如

5、圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A.B分別在軸上，OA=1，OB=2，若點(diǎn)D在軸下方，且使得AOB與OAD相似，則這樣的點(diǎn)D有 個(gè).9.如圖，在RtACB中，C=90，AC=16cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度均為4cm/s，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，ABC與PCQ相似.10.將ABC的紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落地邊AC上，記為點(diǎn)B，折疊痕為EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以點(diǎn)B.F.C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是 .11.如圖,在ABC中, AB=AC, A=36, BD

6、是角平分線.求證:(1)ABCBCD (2)BC2=ACCD12.如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，AC2=ABAD，ADC=90，E為AB的中點(diǎn)（1）求證：ADCACB；（2）CE與AD有怎樣的位置關(guān)系？試說(shuō)明理由； （3）若AD=4，AB=6，求ACAF的值13.如圖，在ABC中，D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，連接AE（1）求證：DE=DA；（2）找出圖中一對(duì)相似三角形，并證明14.如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AED=ABC，BAC的平分線AF交DE于點(diǎn)G，交 BC于點(diǎn)F（1）試寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并說(shuō)明理由（2）若

7、AGGF=32，求DEBC的值15.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)OM為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON=1（1）求BD的長(zhǎng)；（2）若DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積 16.如圖,在ABC中, CEAB于點(diǎn)E, BDAC于點(diǎn)D,連接ED,求證: ABCADE .17.如圖,在ABC中,DEFGBC,ADDFFB=123,若EG=3,則AC=_. 圖1 圖218.如圖,平行于BC的直線DE把ABC分成的兩部分面積相等.則= _.19.如圖所示，AD=DF=FB, DEFGBC,則=_. 20.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OEBC于點(diǎn)E，

8、連接DE交OC于點(diǎn)F，作FGBC于點(diǎn)G，則線段BG與GC的數(shù)量關(guān)系是_.21. 如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CDAB且CD=AB=4，連接AD，BEAB，AE是DAB的平分線，與DC相交于點(diǎn)F，EHDC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則HG的長(zhǎng)為.22.如圖1，在ABC中，點(diǎn)D、E、Q分別在邊AB、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于點(diǎn)P（1）求證： ；（2）如圖，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在ABC的邊上，連接AG、AF，分別交DE于M、N兩點(diǎn)如圖2，若AB=AC=1，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)；如圖3，求證MN2=DM【母子型】1、已知：如圖，ABC中，ACB=90，CDAB于D，

9、SABC=20，AB=10。求AD、BD的長(zhǎng).2. 如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F求證： ABMCN3.如圖所示，在ABC中，ACB=90，AM是BC邊的中線，CNAM于N點(diǎn)，連接BN，求證：BM2=MNAM。4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，DFAC于E，且與AB的延長(zhǎng)線相交于F，與BC相交于G。求證：AD2=ABAFAECFBD5.已知中，垂足為D，DE、DF分別是的高，這時(shí)是否相似？6.已知：如圖，AD是ABC的高，BEAB，AE交BC于點(diǎn)F，ABAC=ADAE。求證：BEFACF7.已

10、知，如圖，是直角三角形斜邊上的高，在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，連結(jié)，垂足為，交于，求證：.ABCDEF8.如圖，在四邊形ABCD中，由點(diǎn)D作AC的垂線交AB于E，交AC于F。求證：。9.已知中，是高，若，且，則 ， ， ， .10.若直角三角形斜邊上的高將斜邊分成的兩條線段的長(zhǎng)分別為和，則兩條直角邊的長(zhǎng)分別為 ，斜邊上的高為 .11.如圖，于，則 .CEAFDB12.如圖，在ABC中，ACB=90，ACBC，CDAB，DEAC，EFAB，CD=4，AC=，則EF:AF=（ ） A1:2 B:2 C:5 D:5 13.如圖所示，在RtABC中，C=90，CDAB，垂足為點(diǎn)D，若AD：BD=9：4則AC

11、：BC的值為（ ）A9：4 B3：2 C4：9 D2：314.如圖所示，CD是RtABC斜邊AB邊上的高，則（ ） A B2:3 C3:2 D15.如圖所示，ABC中，ACB=90，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DEBC于E，求DE的長(zhǎng)。16.如圖，在中，于，以和為邊在形外作等邊三角形和，求證：.17.如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于點(diǎn)D，BD=2，AD=8，則CD=_，AC=_，BC=_ 18.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接FD若BFA=90，給出以下三對(duì)三角形：BEA與ACD；FED與DEB；CFD與A

12、BO其中相似的有_（填寫(xiě)序號(hào)）19.如圖，在ABC中，ACB=90，CEAB于點(diǎn)E，D在AB的延長(zhǎng)線上，且DCB=A，BD:CD=1:2，則BCD的面積是（ ）BCD20.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接FD，若BFA=90，給出以下三對(duì)三角形：BEA與ACD；FED與DEB；CFD與ABO其中相似的有_21.如圖，在RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AB邊于點(diǎn)E，將B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)AEF為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為_(kāi)22.如圖，在

13、ABC中，AB=AC，ADBC，DEAC，M為DE的中點(diǎn)，AM與BE相交于點(diǎn)N，AD與BE相交于點(diǎn)F求證：（1）；（2）BCEADM；（3）猜想AM與BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由23.如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證：24.如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DHBM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E求證：（1）AEDCBM；（2）25.如圖，在正方形ABCD中，BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PH

14、PC其中正確的是（）ABCD26.如圖，在ABC中，AB=AC=25，BC=4，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AEF=B ，EF與ABC的外角ACD的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)EFAC時(shí)，EF的長(zhǎng)為（ ）27.如圖，RtABC中，CDAB，垂足為D，DEAC，垂足為E，求證：. 【三角形內(nèi)接矩形模型】1.如圖，在ABC中，CDAB于點(diǎn)D，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在ABC的邊上求證：【半角模型】1.如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，BAC=AGF=90，它們的斜邊長(zhǎng)為2若ABC固定不動(dòng)，AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF，AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D，E（點(diǎn)D不

15、與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）請(qǐng)寫(xiě)出圖中所有的相似三角形_；若BD，則CE=_.2.如圖1，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形如圖擺放（頂點(diǎn)A重合），所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)請(qǐng)找出圖1中的相似三角形（不包括全等）；（2）如圖2，已知A是等邊PQR的邊RQ延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，B是QR延長(zhǎng)線上的點(diǎn)若APB=120，請(qǐng)找出圖2中的相似三角形3.如圖，在ABC中，AB=AC, D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足AB2=DBCE.求證：ADBEAC. 4.如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上，ECF=45（1）求證：ACFBEC；設(shè)ABC的面積為S，求證：AFBE=2S5.如圖，

16、點(diǎn)C，D在線段AB上，PCD是等邊三角形，且APB=120，CD=3，設(shè)AC=x，BD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式【旋轉(zhuǎn)模型】1.如圖，D是RtABC的斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，連接DE，CD，且ADE=BCD，CFCD交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF求證：AFAB2.問(wèn)題背景：某學(xué)習(xí)小組正在研究如下問(wèn)題：如圖1所示，四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，且點(diǎn)E、G分別在邊BC上、CD上，連接DE、BG，點(diǎn)M是BG中點(diǎn),連接CM，試猜測(cè)CM與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)分析，得到結(jié)論：CM與DE的數(shù)量關(guān)系為,位置關(guān)系為.解決問(wèn)題：小華從旋轉(zhuǎn)的角度提出一個(gè)問(wèn)題：如圖2，將正方形

17、CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變.此時(shí)，“問(wèn)題背景”中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由. 類(lèi)比探究：這時(shí)，小穎提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖3所示，四邊形ABCD與四邊形CEFG均為菱形，且,其他條件不變.此時(shí)，CM與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論.拓展延伸 這時(shí)，小剛提出了一個(gè)更加一般化的問(wèn)題：如圖4所示，,且，其他條件不變，此時(shí)，CM與DE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論. 3.如圖1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE. 將EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為. （1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)

18、， （2）拓展探究 試判斷：當(dāng)0360時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.（3）問(wèn)題解決 當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng).ECDBA（圖1）EDBAC（圖2）（備用圖）CBA4.請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列,完成所提出的問(wèn)題.(1)如圖1,將角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)D重合,角尺的一邊交CB于點(diǎn)F,另一邊交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證:EF=EG; 圖1 圖2 圖3(2)如圖2,移動(dòng)角尺,使角尺的頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線BD上,其余條件不變,請(qǐng)你思考后直接回答EF和EG的數(shù)量關(guān)系:EF_EG(用“=”或“”填空)

19、; (3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí),完成下題:如圖3,將(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(即點(diǎn)G、A重合),其余條件不變,若AB=4,AD=3,求的值.5.在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,E是OC上任意一點(diǎn),AGBE于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F. (1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形,判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系;明明發(fā)現(xiàn),AF與BE分別在AOF和BOE中,可以通過(guò)證明AOF和BOE全等,得到AF與BE的數(shù)量關(guān)系;請(qǐng)回答:AF與BE的數(shù)量關(guān)系是_.(2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形,ABC=120,請(qǐng)參考明明思考問(wèn)題的方法,求

20、的值.6.將一副三角尺如圖擺放(在RtABC中,ACB=90,B=60.在RtDEF中,EDF=90,E=45).點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且BC=2.(11分)(1)求證:ADCAPD;(2)求APD的面積;(3)如圖,將DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角(01.將ABD以B為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到FBE（點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F），直線EF交直線AD于點(diǎn)G.數(shù)學(xué)思考：在圖1中連接AF，DE，可以發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中存在一個(gè)三角形始終與ABF相似，這個(gè)三角形是_,它與ABF的相似比為_(kāi)（用含k的式子表示）；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在DC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F恰好落

21、在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，此時(shí)k的值為_(kāi)；實(shí)踐探究：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：CE=FG；當(dāng)k=時(shí)，在ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，利用圖4探究下面的問(wèn)題.請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答，我選擇_題.A：當(dāng)AB的對(duì)應(yīng)邊FB與AB垂直時(shí)，直接寫(xiě)出值.B：當(dāng)AB的對(duì)應(yīng)邊FB在直線BD上時(shí)，直接寫(xiě)出的值.12.如圖，ABCD是正方形，G是BC上（出端點(diǎn)外）的任一點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E，BFDE，交AG于點(diǎn)F，給出以下結(jié)論：AEDBFA；DE-BF=EF；BGFDAE；DE-BG=FG.其中正確的有（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 13.如圖，正方形ABCD中，BE=EF=