優(yōu)課評比詳案321對數(shù)

1、PAGE 3.2.1 對數(shù)（教學(xué)設(shè)計）PAGE PAGE 73. 2.1對數(shù)江蘇省新海高級中學(xué)李 靜教材分析: 本章是第2章函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)和具體化，是對函數(shù)內(nèi)容的深化和提高本章內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識的過程中的重要環(huán)節(jié)，既是函數(shù)知識的進(jìn)一步擴展，也是函數(shù)思想方法的具體運用在上一節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)及指數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，這為過渡到本節(jié)的對數(shù)學(xué)習(xí)起著鋪墊作用對數(shù)是學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，而對數(shù)函數(shù)是本章學(xué)習(xí)的重要的基本初等函數(shù)之一，作為常用數(shù)學(xué)模型在解決社會生活中的實例有廣泛的應(yīng)用本節(jié)課的主要內(nèi)容是對數(shù)概念及指、對數(shù)互化、對數(shù)運算等內(nèi)容本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊含轉(zhuǎn)化、化歸數(shù)學(xué)思想，類比與對比等基本數(shù)學(xué)方法對數(shù)與

2、指數(shù)的互化是對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的鞏固，也是后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ) 教學(xué)目標(biāo)：1理解對數(shù)的概念；能熟練地進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化；會根據(jù)對數(shù)的概念求一些特殊的對數(shù)式的值；了解常用對數(shù)與自然對數(shù)以及這兩種對數(shù)的記法2通過觀察、比較、分析、綜合、歸納、類比、抽象等，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力經(jīng)歷以實際問題為知識生長點抽象出數(shù)學(xué)概念的過程3通過對數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會到指數(shù)與對數(shù)之間的互化關(guān)系，蘊含著數(shù)學(xué)中相互轉(zhuǎn)化的思想，感受數(shù)學(xué)的整體性，同時使學(xué)生體會到類比學(xué)習(xí)方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣4通過了解對數(shù)的發(fā)明者與發(fā)展史及其價值，使學(xué)生明白社會需求是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，感受數(shù)學(xué)對社會發(fā)展的推

3、動作用，了解數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，從而逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)重點：對數(shù)概念的理解，指數(shù)式和對數(shù)式的互化教學(xué)難點：對數(shù)概念的引入與理解教學(xué)方法：互動探究教學(xué)過程：一、設(shè)置問題、產(chǎn)生矛盾：很高興來到美麗的輔仁高級中學(xué)曾子曰：“君子以文會友，以友輔仁”希望通過這節(jié)課的交流，我們可以成為朋友，共同提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)就讓我們從一個實際問題開始：問題一：光在某種介質(zhì)中傳播，每經(jīng)過1cm，其強度減弱為原來的一半，假設(shè)最初的強度是1，（1）經(jīng)過 2 cm后，強度是多少？（2）經(jīng)過 x cm后，強度y是多少？（3）經(jīng)過多少cm，強度為0.125

4、？（4）經(jīng)過多少cm，強度為呢？師：問題（4）我們只要研究的解問題二：方程的解存在嗎？是多少？師：請同學(xué)們先來判斷一下，這個解存在嗎？唯一嗎？（討論后提問）師：借助圖像可以說明有解，這個解就是在函數(shù)中，與函數(shù)值相對應(yīng)的變量x同學(xué)們都說有解，那么這個解是多少？你會表示嗎？用我們學(xué)過的運算能求出來嗎？（思考）顯然，我們無法在以前學(xué)習(xí)的知識中找到一種運算求出這個解在我們以往的學(xué)習(xí)歷程中是否遇到過類似的困境：明知有解，卻苦于無法表示？ 【設(shè)計意圖】問題一到問題二是由實際需要抽象出數(shù)學(xué)問題問題二由淺入深，通過先研究存在性，再追究“解是多少”，降低了問題研究難度的同時，體現(xiàn)了研究該問題的可行性通過存在而無

5、法求解，引起沖突，生成知識增長點二、追溯歷史、推出定義： 讓我們共同追溯數(shù)字運算的學(xué)習(xí)歷程，看看能不能從中得到一些啟示這是小學(xué)課本上的問題：分?jǐn)?shù)問題：“4個蘋果平均分成2份，每人分得2個；2瓶礦泉水平均分成2份，每人分得1瓶；（這些都能用自然數(shù)表示）1個蛋糕平均分成2份，每人分得半個，”半個能不能用自然數(shù)表示？（不能）我們?nèi)绾谓鉀Q的？引入一個新的符號分號，得到一個新形式的數(shù)分?jǐn)?shù)大家想一想，初中遇到過類似的狀況嗎？（提問）平方根問題：時光飛逝，到了初中，我們學(xué)習(xí)了平方的概念后，知道了方程的解為有理數(shù)2和-2，而方程的解能不能用有理數(shù)表示呢？（不能）我們同樣發(fā)現(xiàn)有解卻無法表示，于是引入一個新的符號

6、根號，得到一個新形式的數(shù)“”師：請大家總結(jié)一下，在這兩個例子中，我們突破運算困境的途徑是什么呢？（引入新的符號）實際上，像這樣的困境我們今后還會遇到【設(shè)計意圖】對數(shù)概念理解難，體會對數(shù)符號生成的必要性更難在問題二后，不急于像課本一樣，直接給出對數(shù)概念所謂“授人以魚，不如授人以漁”通過溫故知新，讓學(xué)生感受引入新概念的必要性，水到渠成引入概念，培養(yǎng)學(xué)生面對新的運算瓶頸如何突破的能力，為后面的學(xué)習(xí)（例如復(fù)數(shù)運算）培養(yǎng)自學(xué)能力，做到承前啟后同時，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)運算的發(fā)展歷程，感受數(shù)學(xué)文化師：回到剛才的問題“方程的解是多少？”，你有辦法了嗎？生：創(chuàng)造新的符號師：是的創(chuàng)造一個新的符號，引進(jìn)一個新形式的數(shù)引

7、進(jìn)一個什么形式的數(shù)呢？這里的指數(shù)是由什么確定的呢？（提問）師：是的這個指數(shù)是由和確定的因此我們要創(chuàng)造一個用和表示的數(shù)！早在400年前，數(shù)學(xué)家納皮爾就為我們創(chuàng)造好了這樣的符號，同學(xué)們想不想欣賞一下這塊數(shù)學(xué)瑰寶呢？建構(gòu)1：對數(shù)運算如果x滿足，記x=，也就是底數(shù)為時，與冪值相對應(yīng)的數(shù)，簡稱對數(shù)對于這個新形式的數(shù)，大家有什么認(rèn)識？它表示什么？（暢所欲言）師：顯然是一個數(shù)，一個新形式的數(shù)，一個無理數(shù)，一個使得成立的數(shù)同時，也表示一種運算，由底數(shù)和冪求指數(shù)的運算對數(shù)運算師：你能由此說出等于多少嗎？（分別從代數(shù)關(guān)系和圖形關(guān)系解讀）師：至此，我們可以回答開頭的問題，經(jīng)過cm，強度是我們用科學(xué)計算器可以算出這個

8、數(shù)約等于2.58cm師：這個指數(shù)方程的解你會表示了，其它的指數(shù)方程呢？ 師：對于任意的指數(shù)式，你都能用表示出這里的指數(shù)b嗎？讓我們看完整的定義！建構(gòu)2：對數(shù)概念指數(shù) 對數(shù) 冪 真數(shù)底數(shù)對數(shù)的概念：一般地，如果的次冪等于N ，即，那么就稱是以為底N的對數(shù)，記作，其中，叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)點評：1、對于這個新符號，請大家注意規(guī)范書寫，尤其注意將底數(shù)寫在下標(biāo)的位置，同時也要注意它的規(guī)范讀法，按照定義讀2、我們把叫做指數(shù)式，把叫做對數(shù)式【設(shè)計意圖】建構(gòu)1一方面從指數(shù)運算與對數(shù)運算的互逆關(guān)系出發(fā)，體會指數(shù)式與對數(shù)式的內(nèi)在聯(lián)系，解決上一環(huán)節(jié)中提出的問題，另一方面也為學(xué)生在建構(gòu)2自主研究對數(shù)的概念做鋪

9、墊探究1：（字母名稱）你能說出，N在兩式中的名稱嗎？（見上圖）師：原來指、對數(shù)運算的關(guān)系就如同加減運算和乘除運算一樣，當(dāng)數(shù)字的位置發(fā)生了變化，其含義和名稱也隨之改變，而底數(shù)是未變的探究2：（底數(shù)和真數(shù)的范圍）兩式中三個量的名稱不盡相同，范圍相同嗎？生：相同a0且a1，bR，N 0師：沒錯，也就是說，“真數(shù)”一定是“正數(shù)”，負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)師：由定義可知，指數(shù)式與對數(shù)式表示的是，N這三個量之間的同一個關(guān)系的不同形式，在底數(shù)一定的情況下，指數(shù)運算是由b求N，對數(shù)式是由N求b，可見，指對數(shù)運算是一對逆運算！【探究12設(shè)計意圖】探究1進(jìn)一步揭示指對數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，同時強化字母名稱，為后面的指對數(shù)互化打下

10、基礎(chǔ)探究2由指對數(shù)的等價關(guān)系指出了范圍的等價性，同時范圍的等價性也使得指對數(shù)等價關(guān)系更加完整三、應(yīng)用定義、深化理解：師：大家共同努力，給出對數(shù)的定義，并且明確了指、對數(shù)的關(guān)系同學(xué)們掌握了嗎？我們改寫兩個試試看！( 82=64、)老師考考大家，你能不能快速完成這些式子的改寫呢？例1將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式：24=16； ； ； e0=1解：; ; ; 師：如何將指數(shù)式化為對數(shù)式？(底數(shù)依然是底數(shù)，指數(shù)變?yōu)閷?shù)，冪為真數(shù))師：（3）、（4）兩題中的底數(shù)，我們今后會經(jīng)常在計算中遇到常用對數(shù)：由于我們通常所用的數(shù)字是以10為基數(shù)的，因此以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，如等，數(shù)學(xué)講求簡潔美，我們給它一個特

11、殊的符號，將對數(shù)簡記為，如等（3）中的對數(shù)式還能怎么寫呢？(a)自然對數(shù)：在自然科學(xué)中經(jīng)常會用到一個無理數(shù)e（e=2.71828），在我們今后的計算中也會經(jīng)常出現(xiàn)以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，正數(shù) N 的自然對數(shù)一般簡記為，如分別記為（4）中的對數(shù)式還能怎么寫呢？() 由指數(shù)式能改成對數(shù)式，逆回來，對數(shù)式能改寫成指數(shù)式，你會嗎？例2將下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式：； ； ； （4）解：； ； ； （4）eb=12師：如何將對數(shù)式化為指數(shù)式？（底數(shù)依然是底數(shù)，對數(shù)為指數(shù)，真數(shù)為冪）師：在例1、例2的互化中，底數(shù)始終不變因此關(guān)鍵在于認(rèn)清底數(shù)對于隱性的底數(shù)改寫時要還原出來【例1、例2設(shè)計意圖】對數(shù)式與指數(shù)式

12、的互化是在解決對數(shù)問題時運用化歸思想的橋梁在剛開始學(xué)習(xí)對數(shù)問題時，我們可以把它化歸為指數(shù)問題，利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有關(guān)的運算的性質(zhì)及其方法技巧來解決；反過來我們也可以把較復(fù)雜的指數(shù)式的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題，從而使問題得到簡捷的解法可見指對數(shù)式的互化是進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)，同時也是對概念的鞏固師：在例2中如果不給出結(jié)果，要你求出對數(shù)值，你還會嗎？例3求下列各式的值： （1） ； （2） 解：（1）；（怎么算出？引導(dǎo)回歸定義，直接由指數(shù)式化為所求的對數(shù)式）（2）（引導(dǎo)回歸定義，向指數(shù)式尋求幫助） 設(shè)，則根據(jù)對數(shù)的定義知，即，得，（此處的推理依據(jù)是什么呢？）（指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性） 因此，所以【例3設(shè)計意圖】由

13、例3的過程再次讓學(xué)生感受首先是一個符號：它是用底數(shù)a和冪表示對應(yīng)的指數(shù)的符號，是指數(shù)式的另一種等價表示形式；其次由例3的結(jié)果明白是一種運算：已知底數(shù)和冪求指數(shù)的運算，即求關(guān)于的方程的解的運算四、歸納類比、提升能力：其他同學(xué)躍躍欲試，那就讓我們趁熱打鐵，求幾個值，動動手，試試看！探究3：（幾個重要等式）練習(xí)：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 師：通過計算我們可以反思，是不是每一個對數(shù)式都需要化為指數(shù)式求解呢？實際上，通過定義可以看出，的含義也就是“求N是a的多少次方”那么，大家看就是求什么呢？（求100是10的多少次方）師：對于簡單的對數(shù)求值，解讀符號的含義就可以直接得到答案師：我

14、們再來回顧一下求值過程大家可以試著從中提取出更加一般的公式（變式引導(dǎo)歸納）大膽猜想還要小心求證這些等式成立嗎？（逐個證明）生1：(1) ；（1的對數(shù)等于0）(2) ；（底數(shù)的對數(shù)等于1）(3)生2：如果將，化成指數(shù)式，就是，顯然是成立的生3：設(shè)，則根據(jù)對數(shù)的定義知，得，所以師：兩個方法都是從定義出發(fā)，一個是指對數(shù)互化，一個是像例三這樣利用方程思想以求代證看來定義是我們解決問題的重要依據(jù)，那就讓我們重新觀察一下定義中的兩個式子，你能由定義直接證出這個等式嗎？（引導(dǎo)觀察）由定義中的兩式能不能直接推導(dǎo)出？（引導(dǎo)觀察字母變化）師：真是眾里尋它千百度，原來它在定義中??！原來只要將指數(shù)式代入對數(shù)式，消去N

15、就可以得到結(jié)論了如果嘗試將對數(shù)式代入到指數(shù)式，能得到怎樣的等式呢？（） 師：大家是否見過類似結(jié)構(gòu)的式子？（）師：這個等式我們稱為對數(shù)恒等式這幾個等式將會簡化我們求對數(shù)值的過程，后兩個公式在運用時一定要注意整理成“同底”的結(jié)構(gòu)，希望大家能通過具體運算記住它們【探究3設(shè)計意圖】探究3讓學(xué)生體驗由計算結(jié)果“廣泛聯(lián)系、思維發(fā)散”，再“高度概括，思維斂聚”的過程，通過歸納類比得到兩個性質(zhì)和指對數(shù)恒等式，是對本節(jié)課內(nèi)容的總結(jié)提升在教學(xué)中，不僅注重公式本身的運用，更加注重在公式生成過程中學(xué)生思維能力的提升五、回顧反思，完善認(rèn)知：這節(jié)課我們認(rèn)識了一種新形式的數(shù)對數(shù)，對數(shù)讓我們稱為了朋友，親愛的朋友們，你們都掌握了哪些關(guān)于對數(shù)的知識呢？（提問）師：總結(jié)的很全面！這節(jié)課同學(xué)們很好地展示了風(fēng)采！不愧為錢鐘書老先生的校友！老師也詩興大發(fā)，賦詩一首，送給大家：“心生疑惑求解難，追溯歷史引概念；互化求值導(dǎo)公式，一切盡在定義間！”備用練習(xí)：求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）lg(lne)答案：（1）3；（2）；（3）-3；（4）-2；（5）3；（6）0數(shù)學(xué)史簡介：（備用）在16、17世紀(jì)之交，天文、航海等事業(yè)中的計算越來越精確，數(shù)字計算的工作量也越