數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題課件_第1頁(yè)
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1、1 數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題2研究的歷史 概念、分類及其特點(diǎn)教育價(jià)值及研究的必要性編制問(wèn)題 教學(xué)及注意的問(wèn)題開(kāi)放題及其教學(xué)展望 3教學(xué)理念 數(shù)學(xué)教育要從以獲取知識(shí)為首要目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槭紫汝P(guān)注人的發(fā)展,創(chuàng)造一個(gè)有利于學(xué)生生動(dòng)活潑、主動(dòng)發(fā)展的教育環(huán)境,提供學(xué)生充分發(fā)展的空間 . 新課標(biāo)指出:“教師可以引導(dǎo)學(xué)生解決開(kāi)放性問(wèn)題”. 4(一)研究的歷史 一、國(guó)際研究概況日本:1971年,以島田茂為首的一個(gè)日本學(xué)者群體率先研究“開(kāi)放式結(jié)尾問(wèn)題”,于1977年發(fā)表了名為算術(shù)、數(shù)學(xué)課的開(kāi)放式問(wèn)題改善教學(xué)的新方案的報(bào)告文集。 經(jīng)典問(wèn)題:“水槽問(wèn)題”、“投石子問(wèn)題” “幾何體分類問(wèn)題” 。美國(guó):權(quán)威教育機(jī)構(gòu)全國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)就

2、曾提出,“問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心”,在這一過(guò)程中,一些被認(rèn)為是“好”的數(shù)學(xué)問(wèn)題,有的就是數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題。5二、 國(guó)內(nèi)研究情況1.引入階段階段1980年第4期外國(guó)教育雜志刊登日本學(xué)者澤田利夫從“未完結(jié)問(wèn)題”提出的算術(shù)、數(shù)學(xué)課的教學(xué)方案一文 .2.試驗(yàn)階段1984年,浙江教育學(xué)院教授戴再平首先運(yùn)用開(kāi)放題進(jìn)行測(cè)試;1990年,胡林瑞對(duì)安徽黃山市的一所中學(xué)的學(xué)生也進(jìn)行了數(shù)學(xué)開(kāi)放題的測(cè)試;1993年,戴再平在浙江五所中學(xué)運(yùn)用開(kāi)放題進(jìn)行了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)的題目分別是:783.深入階段國(guó)外有關(guān)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的信息進(jìn)一步介紹到我國(guó)。編制出一批具有中國(guó)特色的數(shù)學(xué)開(kāi)放題,開(kāi)放題開(kāi)始進(jìn)入課堂。數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)廣泛形成,

3、形成一批優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)。開(kāi)放題進(jìn)入中考和高考。 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的研究成果大量涌現(xiàn),研究隊(duì)伍迅速擴(kuò)大. 從數(shù)學(xué)開(kāi)放題走向開(kāi)放式教學(xué) 。9(二)概念及其分類 一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概念 現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典這樣解釋開(kāi)放,“解除禁錮、限制、封鎖等?!奔捶砰_(kāi)自己的心扉容百川之水,這就是開(kāi)放。 數(shù)學(xué)開(kāi)放題,又稱數(shù)學(xué)開(kāi)放型題或叫數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題,它是相對(duì)數(shù)學(xué)封閉題而言的。這是一個(gè)并非業(yè)經(jīng)“全國(guó)自然科學(xué)名詞審定工作委員會(huì)”審定的規(guī)范數(shù)學(xué)名詞。 10代表性的提法: 答案不固定或者條件不完備的題,稱為開(kāi)放題;(戴再平) 具有多種不同的解法,或有多種可能的答案的題稱為開(kāi)放性問(wèn)題;(鄭毓信) 答案不唯一的問(wèn)題稱為開(kāi)放性問(wèn)題;(俞求是)

4、數(shù)學(xué)開(kāi)放題是條件不完備,結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題。(劉萍)(三)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教育價(jià)值 及其研究的必要性一、 教育價(jià)值1.有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。 2.能保障學(xué)生的主體地位,有助于學(xué)生主體意識(shí)的形成。 3.開(kāi)放題的教學(xué)有利于全體學(xué)生的主動(dòng)參與,有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)的民主性和合作性。4.開(kāi)放題的教學(xué)有利于學(xué)生體驗(yàn)成功,樹(shù)立自信心,產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 5.數(shù)學(xué)開(kāi)放題有助于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。 二 、研究的必要性1.當(dāng)前我國(guó)教育出現(xiàn)的問(wèn)題(1)來(lái)自一線教師的困惑個(gè)案1 北京市某中學(xué)數(shù)學(xué)考試中有這樣一道題:用尺規(guī)作圖法作出一個(gè)角的對(duì)頂角。個(gè)案2 某校中學(xué)期未考試中有這樣一道題:A、B兩人從甲乙兩地騎車

5、同時(shí)相對(duì)出發(fā),A每小時(shí)行15公里,B每小時(shí)行10里。A行了2小時(shí)后,自行車壞了,修了半個(gè)小時(shí)的車子,然后又騎車行了半個(gè)小時(shí)與B相遇,問(wèn)甲乙兩地相距多少公里? 個(gè)案3 某高校初等數(shù)學(xué)研究課期中考試出了這樣一道題: 若函數(shù)與函數(shù)是兩個(gè)不同類型的函數(shù),且它們有相同的定義域、相同的單調(diào)區(qū)間、相同的周期、相同的奇偶性,試寫出這樣的一個(gè)函數(shù)。 1 教學(xué)設(shè)計(jì)把握了兩點(diǎn):依附 基礎(chǔ)性和層次性引領(lǐng) 針對(duì)性和及時(shí)性 12.關(guān)于開(kāi)放題的教學(xué)過(guò)程要重視過(guò)程 要重視小結(jié)要重視互動(dòng)1 (五)開(kāi)放題教學(xué)對(duì)教師的要求一、更新觀念1. 教學(xué)觀念 第一,教學(xué)要啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 第二,教學(xué)要體現(xiàn)探究的思想。 第三, 提倡合

6、作和交流。 2. 學(xué)習(xí)觀念 保障學(xué)生的主體地位 讓每位學(xué)生學(xué)有所獲 承認(rèn)學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)體差異性 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力 1(2)來(lái)自國(guó)外數(shù)學(xué)家的困惑美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家舍費(fèi)爾德用下面一道題對(duì)中國(guó)的小學(xué)生做了一個(gè)測(cè)試,一艘船上載了75頭牛,32只羊,問(wèn)船長(zhǎng)幾歲?我國(guó)數(shù)學(xué)教育顯著特點(diǎn):重視邏輯思維的訓(xùn)練,重視基本知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練。題外話:在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)中,關(guān)于乘法的以下注解引起了許多爭(zhēng)論?!瓣P(guān)于乘法:3個(gè)5,可以寫作,也可以寫成。讀作3乘5,3和5都是乘數(shù)(也可叫因數(shù))”。14 集體學(xué)習(xí) 用搶答的辦法請(qǐng)學(xué)生在紙上用3分鐘的時(shí)間盡可能多地寫出第(2)題的解答,比誰(shuí)寫得

7、多。5 總結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題:試比較(1) 、(3) 題與第(2) 題有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)?并得出這兩類問(wèn)題的結(jié)論: 共同點(diǎn):三個(gè)題都是討論二次三項(xiàng)式 在整數(shù)范圍內(nèi)的因式分解問(wèn)題:在 系數(shù)之中有一個(gè)是已知數(shù),另一個(gè)是待確定的數(shù)。1 引例: 如果所給的式子是 ,為使式子在整數(shù)范圍內(nèi)仍可因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi)),那么“( )”內(nèi)應(yīng)填什么數(shù)? 師生共同討論引例的解答,教師注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答的多樣性和負(fù)整數(shù)解。2. 個(gè)別學(xué)習(xí) 讓學(xué)生解答第(1)題及下題: (3)為了使 可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi)), 可取那些整數(shù)? 讓學(xué)生獨(dú)立思考(1)、(3)題的解答,要求學(xué)生盡可能多地寫出解答。11.關(guān)于開(kāi)放題

8、的教學(xué)內(nèi)容要注意低起點(diǎn) 開(kāi)放題要有趣味性開(kāi)放題要有層次性 開(kāi)放題要有一定的開(kāi)放度 11 綜合一些學(xué)者的觀點(diǎn),我認(rèn)為: 開(kāi)放題應(yīng)該是指那些條件不完備或答案不確定的習(xí)題。 這里的條件不完備是指條件不足、不充分(有時(shí)甚至有多余),而答案不確定是指答案需要進(jìn)行多方面、多層次、多角度地進(jìn)行探索才能逐步明確或確定。其中條件的不完備性和答案的不確定性是開(kāi)放題的兩個(gè)基本特征。12如,計(jì)算 .改變問(wèn)題: 試寫出一個(gè)有關(guān)乘法運(yùn)算的式子,要求其運(yùn)算結(jié)果為6,即 .顯然, 都符合要求 .13對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的認(rèn)識(shí),有幾點(diǎn)值得我們注意:第一,我們這里所說(shuō)的開(kāi)放題不同于傳統(tǒng)意義上所說(shuō)的“一題多解”。 如:甲、乙兩數(shù)的和是18

9、,甲、乙兩數(shù)的比是2:7,甲數(shù)是多少?14 其解法有: , , , , ;或設(shè)甲數(shù)是 , 乙數(shù)為 ,方程為 。15 第二,我們這里所指的答案,是指問(wèn)題本身的答案,而不是形式上的答案。 如,解方程 方程有兩個(gè)解: 但其中任意一個(gè)不能單獨(dú)地成為問(wèn)題的正確答案 。也就是說(shuō)方程的答案是唯一的。 因此,這是一道封閉題。16 如果我們改變這個(gè)問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式: 試找出使等式 成立的實(shí)數(shù) 。 這時(shí)方程的一個(gè)解或兩個(gè)解都可以成為問(wèn)題的正確答案,它具備了開(kāi)放題的特征,可以認(rèn)為是一道開(kāi)放題。17 第三,我們?cè)诶斫鈹?shù)學(xué)問(wèn)題的答案時(shí)還應(yīng)與數(shù)學(xué)命題的結(jié)論區(qū)別開(kāi)來(lái)。這是兩個(gè)不同的概念,不能混為一談。 戴再平教授認(rèn)為:?jiǎn)栴}的

10、“結(jié)論”是問(wèn)題系統(tǒng)內(nèi)部相對(duì)問(wèn)題的“條件”而言,問(wèn)題的“答案”(解法)是相對(duì)于整個(gè)問(wèn)題而言的。如, 例 在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使得式子成立。 顯然這里的結(jié)論是唯一的,但問(wèn)題的答案卻是多種多樣。18第四,開(kāi)放題應(yīng)該是相對(duì)于特定經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平的一類學(xué)生而言的. 一個(gè)問(wèn)題是不是開(kāi)放,特別是對(duì)一些開(kāi)放度比較低的問(wèn)題,更是要視其對(duì)象自身的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平而論.一般說(shuō)來(lái),知識(shí)越多,經(jīng)驗(yàn)越豐富,問(wèn)題的開(kāi)放度相應(yīng)地也就要求高一些.如,試盡可能地找出使不等式 成立的實(shí)數(shù) .又如,19第五,相對(duì)于開(kāi)放題而言,還有一種探索題,這種題型曾被不少學(xué)者認(rèn)為是開(kāi)放題,有必要將這兩者區(qū)別開(kāi)來(lái)。探索題是按數(shù)學(xué)題構(gòu)成要素標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類

11、的一種題型。開(kāi)放題是按開(kāi)放性分類的題(開(kāi)放題和封閉題),是針對(duì)封閉題而言的,其主要特征是條件不完備或答案不確定,并在設(shè)問(wèn)方式上要求解題者進(jìn)行多方面、多角度、多層次的探索。20盡管探索題和開(kāi)放題都離不開(kāi)探索,但探索的目的和自由度是不一樣的。前者主要是對(duì)未知要素加以探索,思維有一定的方向性;后者則主要要求在設(shè)問(wèn)方式上進(jìn)行多方探索,思維呈發(fā)散性。開(kāi)放題大都屬于問(wèn)題性題,也有的可能屬于探索性,即開(kāi)放題集合與探索題集合的交集應(yīng)該是非空的。21二、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類 依據(jù)開(kāi)放題的解題目的,可分三種:發(fā)現(xiàn)關(guān)系和法則的問(wèn)題;分類問(wèn)題;數(shù)值化問(wèn)題。 依據(jù)答案結(jié)構(gòu),可分為有限窮舉型、有限混沌型、無(wú)限離散型、無(wú)限連續(xù)

12、型四類 。 依命題要素,可分條件開(kāi)放型、策略開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型和綜合開(kāi)放型。 但從開(kāi)放題的涵義看,我認(rèn)為,開(kāi)放題可分為三類:條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型和綜合開(kāi)放型。22 若僅是條件不完備,則為條件開(kāi)放題. 已知 是 中 邊上的兩點(diǎn), 要證明 ,還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)什么條件? 條件開(kāi)放型此題的結(jié)論唯一,即證明 . 尋求這個(gè)結(jié)論成立的方法(答案)卻是多種多樣的,或通過(guò)角的關(guān)系,或通過(guò)線段的關(guān)系,或通過(guò)三角形的面積關(guān)系等,可找到若干補(bǔ)充條件的方法.232. 結(jié)論開(kāi)放型 若僅是結(jié)論不確定,則為結(jié)論開(kāi)放題. 例 如圖,在平行四邊形ABCD 中,E、F 分別是AD、BC的中點(diǎn),AF、CE 分別交BD 于G、H,試就有

13、關(guān)圖形的形狀、大小和關(guān)系得出盡可能多的結(jié)論。 本題可以從角的相等、角的互補(bǔ)、線段的相等、線段成比例、直線平行、三角形全等、三角形相似、圖形面積等多方面探求結(jié)論,故屬結(jié)論開(kāi)放題。243.綜合開(kāi)放型 若問(wèn)題只給出一定的情境,其條件、解題策略與結(jié)論都需要解題者自行設(shè)定與尋找,則此類題便為綜合開(kāi)放題.例 在一矩形地塊上,欲劈出一部分作為花壇,要使花壇的面積為矩形面積的一半,請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì)(第17世界國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)會(huì)議的公開(kāi)課的問(wèn)題).此題只用一般性的語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題的背景,解題的策略和依據(jù)都不明確.其條件和結(jié)論均呈現(xiàn)出極大的開(kāi)放性,故是一道綜合性開(kāi)放題.25三、開(kāi)放題的特點(diǎn) 內(nèi)容具有新穎性條件復(fù)雜、

14、結(jié)論不定、解法靈活、無(wú)現(xiàn)成模式可套形式具有生動(dòng)性追溯條件多種、探求多種結(jié)論、尋找多種解法 問(wèn)題解決具有發(fā)散性綜合運(yùn)用觀察、想象、分析、綜合、類比、演繹、歸納、概括等思維方法, 教育功能具有創(chuàng)新性 (三)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教育價(jià)值 及其研究的必要性一、 教育價(jià)值1.有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。 2.能保障學(xué)生的主體地位,有助于學(xué)生主體意識(shí)的形成。 3.開(kāi)放題的教學(xué)有利于全體學(xué)生的主動(dòng)參與,有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)的民主性和合作性。4.開(kāi)放題的教學(xué)有利于學(xué)生體驗(yàn)成功,樹(shù)立自信心,產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 5.數(shù)學(xué)開(kāi)放題有助于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。 二 、研究的必要性1.當(dāng)前我國(guó)教育出現(xiàn)的問(wèn)題(1)來(lái)自一線教師的困

15、惑個(gè)案1 北京市某中學(xué)數(shù)學(xué)考試中有這樣一道題:用尺規(guī)作圖法作出一個(gè)角的對(duì)頂角。個(gè)案2 某校中學(xué)期未考試中有這樣一道題:A、B兩人從甲乙兩地騎車同時(shí)相對(duì)出發(fā),A每小時(shí)行15公里,B每小時(shí)行10里。A行了2小時(shí)后,自行車壞了,修了半個(gè)小時(shí)的車子,然后又騎車行了半個(gè)小時(shí)與B相遇,問(wèn)甲乙兩地相距多少公里? 個(gè)案3 某高校初等數(shù)學(xué)研究課期中考試出了這樣一道題: 若函數(shù)與函數(shù)是兩個(gè)不同類型的函數(shù),且它們有相同的定義域、相同的單調(diào)區(qū)間、相同的周期、相同的奇偶性,試寫出這樣的一個(gè)函數(shù)。 28(2)來(lái)自國(guó)外數(shù)學(xué)家的困惑美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家舍費(fèi)爾德用下面一道題對(duì)中國(guó)的小學(xué)生做了一個(gè)測(cè)試,一艘船上載了75頭牛,32

16、只羊,問(wèn)船長(zhǎng)幾歲?我國(guó)數(shù)學(xué)教育顯著特點(diǎn):重視邏輯思維的訓(xùn)練,重視基本知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練。題外話:在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)中,關(guān)于乘法的以下注解引起了許多爭(zhēng)論。“關(guān)于乘法:3個(gè)5,可以寫作,也可以寫成。讀作3乘5,3和5都是乘數(shù)(也可叫因數(shù))”。292. 時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教育提出了新要求當(dāng)今天時(shí)代,知識(shí)與信息呈兩大特點(diǎn):一是種類繁多,二是發(fā)展迅速. 培養(yǎng)學(xué)生的能力-具有迅速、準(zhǔn)確的感知、判斷、信息的能力.培養(yǎng)學(xué)生新的價(jià)值觀念-自尊、自信、自強(qiáng),不盲從權(quán)威,不迷信書本. 30 1. 弱化條件(1)去掉限制性的詞語(yǔ)例 三條直線最多能把平面分成幾個(gè)部分?這里“最多”一詞,使問(wèn)題的答案唯一。若

17、去掉“最多”一詞,則使問(wèn)題變得開(kāi)放。即有開(kāi)放題:“三條直線能把平面分成幾個(gè)部分?”此問(wèn)題可根據(jù)三條直線不同的位置關(guān)系,而得出不同的答案 .(四)數(shù)學(xué)開(kāi)放題編制問(wèn)題31(2)減少條件個(gè)數(shù) 例:已知 是等腰三角形,過(guò) 的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線把 分成兩個(gè)小等腰直角三角形,問(wèn) 的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少? 原問(wèn)題的條件包含有三: 是等腰三角形;兩小三角形是等腰三角形;兩小三角形是直角三角形。 將等腰、直角三角形這兩條件予以弱化,即去掉直角三角形這個(gè)條件,變等腰直角三角形為等腰三角形,就得開(kāi)放題: 已知 是等腰三角形,過(guò) 的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線把 分成兩個(gè)小等腰三角形,問(wèn) 的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)可能是多少?32(3)

18、改變條件如,封閉題“因式分解 ”.以字母分別取代一次項(xiàng)系數(shù)7和常數(shù)項(xiàng)-18而獲得開(kāi)放題:為了使式子:“(1) ,(2) 可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi)), 可以取那些整數(shù)?”332.隱去結(jié)論 如: “學(xué)校有足球6 只,籃球比足球多3 只,排球數(shù)是籃球的2倍。學(xué)校一共有足球、籃球和排球多少只?” 我們只要隱去此題的結(jié)論“學(xué)校一共有足球、籃球和排球多少只?”,就可得開(kāi)放題: 學(xué)校有足球6 只,籃球比足球多3 只,排球數(shù)是籃球的2倍。根據(jù)上述條件可提出那些問(wèn)題? 343.引伸推廣如前例中,我們把“最多”一詞去掉后得開(kāi)放題:三條直線能把平面分成幾個(gè)部分?在此基礎(chǔ)上,我們補(bǔ)充一句話,“試將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行推廣”

19、,又可得新的開(kāi)放題:三條直線能把平面分成幾個(gè)部分?試將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行推廣。這道開(kāi)放題可考慮按直線的數(shù)目和平面向空間的方向推廣。如:(1)三個(gè)平面將空間分成幾個(gè)部分?(2)平面上4條直線把平面分成幾個(gè)部分?當(dāng)然還可以考慮把“4條直線”推廣為“ 條直線”.354.改變實(shí)際背景和數(shù)據(jù)例: 把含鹽的食鹽水和含鹽的食鹽水混合制成含鹽的食鹽水克,應(yīng)取兩種食鹽水各多少克?請(qǐng)參照此題編一道類似的應(yīng)用題,使得所編題滿足如下要求:(1)改變實(shí)際背景和數(shù)據(jù);(2)不改變列二元一次方程組的形式和解法。不難得出上述問(wèn)題中的方程組具有形式:36 適當(dāng)改變問(wèn)題中的背景和數(shù)值,能得出一組新的應(yīng)用題: (1)甲、乙兩工廠,計(jì)劃在

20、上月份共生產(chǎn)機(jī)床臺(tái),結(jié)果甲廠完成了計(jì)劃的,乙廠完成了計(jì)劃的。兩廠共生產(chǎn)了機(jī)床臺(tái),上月份兩廠各超額生產(chǎn)了機(jī)床多少臺(tái)? (2)某校初三年級(jí)有兩個(gè)班,中考體育成績(jī)優(yōu)秀者共有人;全年級(jí)的優(yōu)秀率為,其中一班的優(yōu)秀率為,二班的優(yōu)秀率為,求一、二班的人數(shù)。 (3)某村的兩塊小麥地原來(lái)可以收小麥公斤,改用良種后,這兩塊地一共收小麥公斤。已知第一塊地的收成增加,第二塊地的收成增加。這兩塊地原來(lái)各可以收小麥多少公斤?37 注意: 第一,問(wèn)題應(yīng)體現(xiàn)某一完整的數(shù)學(xué)思想方法,能通過(guò)開(kāi)放題幫助理解、掌握和深化數(shù)學(xué)知識(shí); 第二,問(wèn)題要把握一個(gè)合適的度,具備知識(shí)起點(diǎn)適當(dāng)、解題策略多樣的特點(diǎn); 第三,問(wèn)題的解答要有層次性,有的

21、在現(xiàn)有的思維水平上,有的在其思維發(fā)展的最近發(fā)展區(qū); 第四,問(wèn)題要有進(jìn)一步拓展引申的可能,使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)更一般、內(nèi)在的規(guī)律,以促進(jìn)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力的形成。38(五)開(kāi)放題教學(xué)及應(yīng)注意 的問(wèn)題一、教學(xué)案例 問(wèn)題:為了使下列式子可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi)), 可以取那些整數(shù)? (1) ,(2) .教學(xué)過(guò)程:1. 課題引入 復(fù)習(xí)提問(wèn):因式分解 要求學(xué)生口答結(jié)果 ,并說(shuō)明用什么方法因式分解(復(fù)習(xí)十字相乘法).39 引例: 如果所給的式子是 ,為使式子在整數(shù)范圍內(nèi)仍可因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi)),那么“( )”內(nèi)應(yīng)填什么數(shù)? 師生共同討論引例的解答,教師注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答的多樣性和

22、負(fù)整數(shù)解。2. 個(gè)別學(xué)習(xí) 讓學(xué)生解答第(1)題及下題: (3)為了使 可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi)), 可取那些整數(shù)? 讓學(xué)生獨(dú)立思考(1)、(3)題的解答,要求學(xué)生盡可能多地寫出解答。403 班級(jí)交流 請(qǐng)幾位學(xué)生向全班介紹自己的工作,待學(xué)生窮盡了所有答案,并從直觀上深信不再有其它解答后,引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題: 這類問(wèn)題解答的個(gè)數(shù)與什么有關(guān)?為什么 可取6個(gè)不同的整數(shù), 可取10個(gè)不同的整數(shù)? 讓學(xué)生在討論中領(lǐng)悟到規(guī)律:解答的個(gè)數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)分解的方法數(shù)有關(guān)。414 集體學(xué)習(xí) 用搶答的辦法請(qǐng)學(xué)生在紙上用3分鐘的時(shí)間盡可能多地寫出第(2)題的解答,比誰(shuí)寫得多。5 總結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題:試比較(1) 、(3) 題與第(2) 題有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)?并得出這兩類問(wèn)題的結(jié)論: 共同點(diǎn):三個(gè)題都是討論二次三項(xiàng)式 在整數(shù)范圍內(nèi)的因式分解問(wèn)題:在 系數(shù)之中有一個(gè)是已知數(shù),另一個(gè)是待確定的數(shù)。42不同點(diǎn):題(3)題中 是已知數(shù),若 ,則 .因?yàn)?的分解方法是有限的,所以 可取的整數(shù)值也有限; 題(2)中 是已知數(shù),若 ,則則 ,因?yàn)?表示為兩個(gè)整數(shù)的方法是無(wú)限的,所以 的可取值有無(wú)限多個(gè). 此外,教師還可作進(jìn)一步的分析.43 教學(xué)設(shè)

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