第6章z變換離散時間系統(tǒng)的z域分析ppt課件

1、第6章 z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析6.1 引言6.2 Z變換的定義及收斂域6.3 逆Z變換 6.4 Z變換的根本性質(zhì)6.5 Z變換與拉普拉斯變換的關系6.6序列的傅氏變換6.7 利用Z變換求解差分方程6-8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率呼應6-1 引言 信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法 1.延續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運算，時域分解，經(jīng)典時域 分析法，近代時域分析法，卷積積分。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運算，卷積和，差分方程 的求解。二.變換域分析法 1.延續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復頻域 分析。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： Z變換，DFT

2、(FFT)。 Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。6-2 Z變換的定義及收斂域一.Z變換定義： 序列的Z變換定義如下： *實踐上，將x(n)展為z-1的冪級數(shù)。 其中z為復變量，以其實部為橫坐標，虛部為縱坐標構成的平面為 z 平面。二.收斂域 我們知道，一個序列的Z變換有無意義，首先要看它能否收斂，而收斂與否的判別又取決于該變換收斂域的詳細界定， 所以，討論Z變換，就必然要思索其收斂域確實切情形。 1.定義: 使序列x(n)的z變換X(z)收斂的一切z值的集合稱作X(z)的收斂域.2.收斂條件： X(z)收斂的充要條件是絕對可和。 要使上式成立，除和序列x(n)有關以外，和z變量在z平面上取值的

3、域也有關。假設對于某個序列，稱能使上式成立的z變量取值的域為X(z)的收斂域, 那么可以推想, 對于不同的序列, 就有不同的收斂域。 收斂域普通用下式表示： Rx-|z|Rx+ 收斂域普通是用一個環(huán)狀域表示的，這里Rx-和Rx+分別是兩個圓的半徑，收斂域就是用這兩個圓構成的環(huán)狀域表示的，Rx-和Rx+稱為收斂半徑。當然Rx-可小到零， Rx+可以大到無窮大。 jImzRx+Rx-Rez0z變換的收斂域常用的Z變換是一個有理函數(shù)，可用兩個多項式之比表示： 分子多項式P(z)的根是X(z)的零點，分母多項式的根是X(z)的極點。在極點處X(z)不存在，因此可以推想收斂域中一定沒有極點，那么收斂域也

4、一定是以極點為邊境。總結(jié)以上所述, Z變換收斂域的特點是： (1) Z變換只存在在收斂域中，不同的序列有不同的收斂域。(2) 收斂域用環(huán)狀域表示，且總是以極點為邊境。0n2n1n (n).有限長序列三.幾種序列的z變換及其收斂域其收斂域應包括即充溢整個Z平面。例1 求序列的Z變換及收斂域。 解：這相當時的有限長序列，例 2 求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解:x(n) =RN(n)是一個有限長序列，它的非零值區(qū)間是n=0N-1，根據(jù)上面的分析, 它的收斂域應是0|z|。x(n)n0n1.1. 右邊序列*第一項為有限長序列，第二項為z的負冪級數(shù),為了分析它的變換收斂域的特點，將其變換分

5、成兩部分，一部分是n0的部分，另一部分是n0的部分，分析如下：收斂域第一項為有限長序列,其收斂域為0|z|;第二項為z的負冪次級數(shù)，其收斂域為 Rx-|z|;兩者都收斂的域亦為Rx-|z|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點所在的圓內(nèi)。 雙邊序列指n為恣意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。 .雙邊序列0nx第二項為左邊序列，其收斂域為：第一項為右邊序列(因果)其收斂域為：當Rx-Rx+時，其收斂域為例 ：x(n) =a， a為實數(shù)，求其Z變換及它的收斂域。解： 這是一個雙邊序列，它的Z變換求解如下： 在收斂域中，Z變換為 該例題要求|a|1

6、，此時x(n)=a|n|是一個收斂序列；假設0a1，它的波形和收斂域如下圖。 圖 波形(a)與收斂域(b)下面進展簡要的總結(jié)(1) 收斂域中無極點，收斂域普通以極點為邊境。 (2) 有限長序列Z變換的收斂域是整個z平面，特殊點z=0, 另外思索。(3) 右序列Z變換的收斂域是在某個圓的圓外，特殊點z=0, 另外思索。(4) 左序列Z變換的收斂域是在某個圓的圓內(nèi)，特殊點z=0, 另外思索。(5) 雙邊序列Z變換的收斂域是環(huán)狀域，特殊點z=0, 另外思索。(6) 特殊點的思索： 序列x(n)的n值全部取正整數(shù)，收斂域包含z=點，例如因果序列的Z變換的收斂域包含z=點； 序列x(n)的n值全部取負整

7、數(shù)，收斂域包含z=0點。除了上面兩種情況以外，也就是說, n的取值既有正整數(shù)，也有負整數(shù)時，收斂域不包括z=0, 兩點。表 常見序列的Z變換及其收斂域 6-3 Z逆變換一.定義：知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z反變換。z變換公式：逆z變換是一個對 進展的圍線積分，積分途徑C是一條在Xz收斂環(huán)域Rx-，Rx+以內(nèi)反時針方向繞原點一周的單圍線。0c直接計算圍線積分比較費事，普通不采用此法求z反變換，求解逆z變換的常用方法有：留數(shù)法冪級數(shù)法部分分式法二.求Z反變換的方法1.留數(shù)法 令F(z)=X(z)zn-1， F(z)在圍線c內(nèi)的極點用zk表示，假 設有M個極點。根據(jù)留數(shù)定理

8、下式成立: 假設極點zk是單階極點，根據(jù)留數(shù)定理，極點留數(shù)用下式求解： ResF(z),zk=(z-zk)F(z)|z=zk 假設極點zk是N階極點，根據(jù)留數(shù)定理，極點留數(shù)用下式求解： 根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立： 根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立： 但是上式成立需求一個條件，條件是： 假設X(z)用有理式X(z)=P(z)/Q(z)表示，P(z)和Q(z)分別是M 與N階多項式，要求下式成立： N-M-n+12 或者寫成 N-M-n1 例 1 知X(z)=(1-az-1) -1，收斂域是|z|a|，求其逆Z變換x(n)。 解 由于收斂域包含點，可以推想x(n)是一個因果序列。 為了用留數(shù)定理求解，首先

9、確定被積函數(shù)F(z)的極點。這里要留意F(z)中的n是在-+之間取值，因此F(z)極點能否包含z=0點和n的取值有關。為此將n分成兩部分分析，一部分是n0，此時z=0不是極點； 另一部分是n0，此時z=0是一個n階極點。 當n0時， F(z)的極點是z=a。再確定在圍線c內(nèi)的極點，由收斂域|z|a|知道圍線c內(nèi)的極點也只需z=a點。這樣序列x(n)等于被積函數(shù)F(z)在極點z=a的留數(shù)。x(n)=ResF(z), a極點z=a是一個單階極點，按照求單階極點的方法，得到： x(n)=ResF(z), a= 由于收斂域包含點，這是一個因果序列，因果序列的序列值在n0時，全取零值， 因此n0時的x(

10、n)不需求再求。最后該例題的逆Z變換為 x(n) =anu(n) 上式中的u(n)是為了限制x(n)是一個因果序列。為了練習求逆Z變換的方法，下面用留數(shù)定理求n0時的x(n)，檢驗x(n)能否取零值。 當n0時，F(xiàn)(z)的極點有：z=0, a，其中z=0是一個n階極點，由收斂域知道這兩個極點全在圍線c內(nèi)，由于多階極點留數(shù)不易求，改求圍線c以外的極點留數(shù)。當然, 要求N-M-n12，或者檢查F(z)的分母階次能否比分子階次大于等于2。這里F(z)的分母階次是1，分子階次是n，而且n0 ，因此可以用求圍線c以外的極點留數(shù)替代求圍線c內(nèi)的留數(shù)。但是圍線c外沒有極點，那么得到同樣的結(jié)果： 當n0時，

11、x(n) =0。 例 2 假設x(n)的Z變換用下式表示： 收斂域取|z|a-1|，試求X(z)的逆Z變換。 解 X(z)的極點分布如下圖。首先由于收斂域|z|a-1|包含點，原序列一定是因果序列，只需求解n0的部分即可。下面先確定被積函數(shù)F(z)的極點。 當n0 時，F(xiàn)(z)的極點為：z=a,a-1，極點分布如下圖。由于收斂域是|z| a-1 |，這兩個極點均在圍線c內(nèi)，那么原序列就是這兩個極點的留數(shù)之和。 由于n0，最后得到： x(n)=(an-a-n)u(n) 當然也可以用留數(shù)定理求n0時的x(n)，它一定是x(n)=0。該例題闡明記住序列特點和收斂域的一些結(jié)論可以簡化解題過程。 例 3

12、 假設x(n)的Z變換用下式表示： 收斂域取|z|a|，試求其原序列x(n) 。 解 由于收斂域是在以|a|為半徑的圓內(nèi)，可以推論這是一個左序列，又由于收斂域包含z=0點， x(n)的n值全部取負整數(shù)，或者說當n0時，x(n)=0，因此只需求求解n0時的x(n)。 被積函數(shù)F(z)仍用下式表示： 推導公式如下： 最后將序列表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)例 4 假設x(n)的Z變換用下式表示： 收斂域取|a|z|a-1|，試求X(z)的逆Z變換。 解 由于收斂域是一個環(huán)狀域，可以推論原序列是一個雙邊序列。被積函數(shù)仍為下式： 當n0時，F(xiàn)(z)的極點有：z=a,a-1，但圍線c以

13、內(nèi)只需極點z=a，因此x(n)就等于該點的留數(shù)： 當nRx+， x(n)為因果序列，那么X(z)展成Z的負冪級數(shù)。 假設 收斂域|z|a| |z|a| 這時 收斂域為|z|a|。而其收斂域已是整個Z平面。 例:知 ,求其z變換。解：2. 序列的移位假設那么有：這是由于 如作n-n0=m的變量交換，即可得 普通情況下，x(n-n0)的Z變換之收斂域與X(z)的收斂域一樣， 但在z=0或z=處也有能夠出現(xiàn)例外。例如Z (n)在整個Z平面收斂，而(n-1)的Z變換在z=0處就不收斂，而(n+1)的Z變換又在z=處不收斂。 例: 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。解:3. Z域尺度變換(

14、乘以指數(shù)序列)假設，那么證明：4. 序列的線性加權(Z域求導數(shù))假設，那么證明：5. 共軛序列假設，那么證明：6. 翻褶序列假設，那么證明：7. 初值定理證明：例:知X(z)= ，收斂域是|z|0.9，試求出原序列的初值。 解:收斂域闡明這是一個因果序列，利用該性質(zhì)，它的初值推導如下：8. 終值定理證明： 又由于只允許X(z)在z=1處能夠有一階極點，故因子z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z 1的極限。例:知 ，收斂域是|z|0.9，試求出原序列的終值。 解:由收斂域知道它的原序列是一個因果序列，又知極點是z=0.9，且是一階的，根據(jù)終值定理，有 由逆Z變換可知

15、原序列是x(n)=0.9nu(n)，它的終值，即當n時的序列值確是0。 由該例可以推論, 假設因果序列的Z變換在單位圓上無極點，那么該序列的終值為0。9. 有限項累加特性證明：10.序列的卷積和(時域卷積定理) 證明： 例: 知網(wǎng)絡的單位脈沖呼應h(n)=anu(n), |a|1，網(wǎng)絡輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡的輸出序列y(n) 解:求網(wǎng)絡的輸出序列y(n)可以用兩種方法，一種是直接求解線性卷積，另外一種方法是利用Z變換方法。這里要用到序列卷積性質(zhì)。 (1) 直接求解線性卷積：(2) Z變換法： y(n)=h(n)*x(n)將上式進展Z變換，得到： Y(z)=X(z)H(z)式中 H(

16、z)=ZTh(n)=ZTanu(n)= H(z)=ZTx(n)=ZTu(n)= Y(z)=X(z)H(z)= 由于x(n)和h(n)均為因果序列，y(n)必為因果序列。由上式知道Y(z)的極點是a和1，而|a|1，因此選Y(z)的收斂域為|z|1。 最后將y(n)表示為 例解：11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封鎖圍線。 證明從略例:解： 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*表示復共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。 證明從略假設那么有:*幾點闡明： 13. Z變換的定理及性質(zhì)小結(jié) 以上我們討論了Z變換的部分定

17、理和性質(zhì)， 有些在計算及分析Z變換時非常有用。為此，我們將上面討論過的以及其它一些比較有用的性質(zhì)一并列于表2.2(P68)中。表內(nèi)所列區(qū)域為Z變換的收斂域。需求闡明的是，有的時候，即在某些特殊情況下， 收斂域可以大于所示收斂區(qū)域。 表2.2 Z變換的一些根本性質(zhì) 6-5 Z變換與拉氏變換的關系 一.Z變換與拉氏變換的關系1.理想抽樣信號的拉氏變換設 為延續(xù)信號， 為其理想抽樣信號，那么 序列x(n)的z變換為 ，思索到 ,顯然，當 時，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。2.Z變換與拉氏變換的關系( S、Z平面映射關系 S平面用直角坐標表示為： Z平面用極坐標表示為： 又由

18、于 所以有：因此， ;這就是說， Z的模只與S的實部相對應, Z的相角只與S虛部相對應。 =0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外 。j00(1).r與的關系= 0，S平面的實軸， = 0，Z平面正實軸；=0(常數(shù))，S:平行實軸的直線， = 0T,Z:始于 原點的射線； S:寬 的程度條帶， 整個z平面.0jImZReZ(2).與的關系=T二.Z變換和傅氏變換的關系 延續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=j 的特例,因此映射到Z平面上為單位圓。因此, 這就是說,抽樣序列在單

19、位圓上的Z變換,就等 于理想抽樣信號傅氏變換。 用數(shù)字頻率作為Z平面的單位圓的參數(shù)， 表示Z平面的輻角，且 。所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。6.6序列的傅氏變換1.正變換:2.反變換:傅氏變換的一些對稱性質(zhì)一、共軛對稱序列與共軛反對稱序列 1.共軛對稱序列 設一復序列，假設滿足xe(n)=xe*(-n)那么稱序列為共軛對稱序列。下面分析它們的對稱關系。 設序列 其中 分別表示的實部和虛部。對其兩邊取共軛，那么再將-n代入，那么根據(jù)定義，那么這闡明共軛對稱序列的實部是偶對稱序列偶函數(shù)，而虛部是奇對稱序列奇函數(shù)。*特殊地，如是實序列，共軛對稱序列就是偶對稱序列。2.共軛反對稱序列

20、設一復序列，假設滿足xo(n)=-xo*(-n) 那么稱序列為共軛反對稱序列。同樣有：根據(jù)定義，那么 這闡明共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列奇函數(shù)，而虛部是偶對稱序列偶函數(shù)。 *特殊地，如是實序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。 二、任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和三、序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量 與共軛反對稱分量之和其中，四、兩個根本性質(zhì)證明：證明：五、序列的實、虛部與其傅氏變換偶、奇部 的關系 1.序列的實部的傅氏變換等于其傅氏變換的偶部證明：2.序列的j倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部證明：六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實、 虛部的關系1.序列的偶部的傅氏變換等于

21、其傅氏變換的實部證明：2.序列的奇部的傅氏變換等于其傅氏變換的虛部再乘以j。證明：七、序列為實序列的情況8.實序列也有如下性質(zhì)：6.7 利用Z變換求解差分方程N階LTI離散系統(tǒng)的差分方程普通方式為 7.6-1 當x(n)是因果序列，知初始邊境條件y(-1), y(-2), , y(-N)時，可利用Z變換求解式7.5-1，對式7.5-1等式兩邊取Z變換，利用單邊Z變換的位移性，得到 7.6-2 式中, y(l)是初始條件。 1. 零形狀呼應 零形狀呼應是僅由鼓勵引起的呼應。當鼓勵x(n)是因果序列時，并且系統(tǒng)初始條件為零y(l)=0, -Nl-1，那么式7.6-2為 7.6-3 由式7.6-3得

22、零形狀呼應為 7.6-4令 7.6-5式中, H(z)為系統(tǒng)傳輸函數(shù)，零形狀呼應還可表示為 7.6-67.6-7 例7.6-1 知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n), 求y(n)。其中x(n)=anu(n), y(-1)=0。 解 由于y(-1)=0， 是零形狀呼應。對方程兩邊取Z變換 2. 零輸入呼應 零輸入呼應是僅由系統(tǒng)初始儲能引起的呼應，與初始邊境條件y(-1)、y(-2)、y(-N)親密相關。此時鼓勵x(n)=0，式7.6-1差分方程右邊等于零， 式7.6-2變?yōu)?7.6-8 7.6-9 其中, y(l)為系統(tǒng)的初始邊境條件， -Nl-1 7.6-10 例7.6-

23、2 差分方程同例7.6-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。 解 鼓勵x(n)=0，是零輸入呼應。 對方程兩邊取Z變換 3. 全呼應 利用Z變換，不需求分別求零形狀呼應與零輸入呼應，可以直接求解差分方程的全呼應。 7.6-11 例7.6-3 系統(tǒng)差分方程、鼓勵x(n)同例7.6-1，y(0)=0，求y(n)。 解 先求出邊境條件y(-1), 將n=0代入原方程迭代 y(0)-by(n-1)=x(0)=1解出y(-1)=-1/b，此時的y(n)是全呼應。 方程兩邊取Z變換Y(z)-bz-1Y(z)+y(-1)=X(z) 例7.6-4 知某離散系統(tǒng)模擬如圖7.6-1所示，求系統(tǒng)函數(shù)H(z)及沖激呼應h(n)。 解 圖 7.6-1 例7.6-3離散系統(tǒng) 線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣呼應h(n)x(n) (n) H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率呼應。6-8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率呼應一.系統(tǒng)函數(shù):