3.7、3.8含參函數(shù)的單調(diào)性極值最值問(wèn)題

1、積微精課 2016 高二秋季班課程3.7、3.8 含參函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題知識(shí)框架1、導(dǎo)數(shù)解單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，大致步驟可應(yīng)用到解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即確定定義域求出導(dǎo)函數(shù)令 f x 0 解不等式得到遞增區(qū)間后取定義域的補(bǔ)集（減區(qū)間）單調(diào)性列出表格。2、求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)解含參不等式，而定義域?qū)?x 的限制有時(shí)會(huì)簡(jiǎn)化含參不等式的求解。3、關(guān)于分類(lèi)的時(shí)機(jī)與分界點(diǎn)的確定：（1）什么時(shí)候開(kāi)始分類(lèi)？簡(jiǎn)而言之，當(dāng)參數(shù)的不同取值對(duì)下一步的影響不相同時(shí)，就是分類(lèi)開(kāi)始的時(shí)機(jī)。所以一道題是否進(jìn)行分類(lèi)不是一開(kāi)始就決定的，而是在做的過(guò)程中遇到不同值導(dǎo)致不同步驟和結(jié)果，就自然的

2、進(jìn)行分類(lèi)。（2）分界點(diǎn)的確定：分類(lèi)一定是按參數(shù)的符號(hào)分類(lèi)么？不一定。要想找好分界點(diǎn)，首先要明確參數(shù)在問(wèn)題中所扮演的角色。例如上面的不等式 x2 a ， a 所扮演的角色是被開(kāi)方數(shù)，故能否開(kāi)方是進(jìn)行下一步的關(guān)鍵，那自然想到按a 的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)。（3）當(dāng)參數(shù)取值為一個(gè)特定值時(shí)，可將其代入條件進(jìn)行求解（4）當(dāng)參數(shù)a 扮演多個(gè)角色時(shí)，則以其中一個(gè)為目標(biāo)進(jìn)行分類(lèi)，在每一大類(lèi)下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)行進(jìn)一步的分類(lèi)。 1 mx2 m 1 x 1 .例 1、已知函數(shù) f2g x 的單調(diào)性;（1）若 g x f x ,（2）若 f x 在 x 1 處取得極小值，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.1 mx11）

3、g x f x 1 ln x mx m 1 x 0, g x m 解：（.xx m 0 時(shí)，當(dāng) x 0 時(shí)， g x 0 ，所以 g x 在0, 上為增函數(shù)； m 0 時(shí)，當(dāng) x 0 時(shí)， g x 0 ，所以 g x 在0, 上為增函數(shù)；g x 0 ，得 x 1 m 0 時(shí)，令，m-1 -所以當(dāng) x 0, 1 時(shí)， g x 0 ；當(dāng) x 1 , 時(shí)， g x 0 ，m m所以 g x 在 0, 1 上單調(diào)遞增，在 1 , 上單調(diào)遞減，m m綜上所述， m 0 時(shí)， g x 在0, 上為增函數(shù)； m 0 時(shí)， g x 在 0, 1 上單調(diào)遞增，在 1 , m m上單調(diào)遞減.（2） f x ln

4、x m x 1 .當(dāng) m 0 時(shí)， f x 單調(diào)遞增，恒滿足 f 1 0 ，且在 x 1 處單調(diào)遞增，在 0, 1 單調(diào)遞增，故 1 1即1 m 0 .當(dāng) m 0 時(shí)， f xm m綜上所述， m 取值范圍為1, .ex，g(x)=ax-2lnx-a（aR，e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）例 2、（16 屆蘇北三市三調(diào) 19）已知函數(shù) f(x)=ex求 f(x)的極值；若在區(qū)間0, e 上，對(duì)于任意的 x0，總存在兩個(gè)不同的 x1，x2，使得 g(x1)=g(x2)=f(x0)，求 a 的取值范圍解：（1）因?yàn)?f (x) ex ，所以 f (x) (1 x)e ，ex令 f x 0 ，得 x 1 ex

5、當(dāng) x ,1 時(shí)， f x 0 ， f x 是增函數(shù)；當(dāng) x 1, + 時(shí)， f x 0 ， f x 是減函數(shù)所以 f x 在 x 1 時(shí)取得極大值 f 1 1 ，無(wú)極小值f x 單調(diào)遞增；當(dāng) x 1, e時(shí)， f x 單調(diào)遞減（2）由（1）知，當(dāng) x (0,1) 時(shí)，又因?yàn)?f (0) 0 ， f (1) 1 ， f (e) e e1e 0 ，所以當(dāng) x (0, e 時(shí)，函數(shù) f x 的值域?yàn)?0,1 當(dāng) a 0 時(shí)， g x 2ln x 在(0, e 上單調(diào)，不合題意；a(x 2)a當(dāng) a 0 時(shí)， g (x) a 2 ax 2 ， x 0, e，故必須滿足0 2 e ，所以 a 2 ae

6、此時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)， g (x) ， g(x) 的變化情況如下：所以 x 0 ， g(x) ， g( 2 ) 2 a 2 ln 2 ， g(e) a(e 1) 2 aa所以對(duì)任意給定的 x0 0, e ，在區(qū)間0, e上總存在兩個(gè)不同的 x1 ， x2 ，-2 -x(0, 2)a2a( 2 , eag (x)0+g(x)單調(diào)減最小值單調(diào)增2) ，當(dāng)且僅當(dāng) a 滿足下列條件 g( a ) 0,使得 g(x ) g(x ) f (x120g(e) 1,2 a 2ln 2 0,即aa(e 1) 21.令 m(a) 2 a 2 ln 2 ， a ( 2 , ) ，aem(a) a 2 ，由 m(a)

7、 0 ，得 a 2 a當(dāng) a (2, ) 時(shí)， m(a) 0 ，函數(shù) m(a) 單調(diào)遞減；當(dāng) a ( 2 , 2) 時(shí)， m(a) 0 ，函數(shù) m(a) 單調(diào)遞增e所以，對(duì)任意 a ( 2 , ) 有 m(a) m(2) 0 ，e即 2 a 2 ln 2 0 對(duì)任意 a ( , ) 恒成立2ae3由 a(e 1) 2 1，解得 a e 13綜上所述，當(dāng) a , ) 時(shí)，對(duì)于任意給定的 x (0, e ，e 10在區(qū)間(0, e 上總存在兩個(gè)不同的 x1 ， x2 ，使得 g(x1 ) g(x2 ) f (x0 ) 鎮(zhèn)二模 19）設(shè)函數(shù) f(x)x2exk(x2lnx)(k 為實(shí)常數(shù))例 3、（

8、16 屆當(dāng) k1 時(shí)，求函數(shù) f(x)的最小值；若函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)至在三個(gè)極值點(diǎn)，求 k 的取值范圍解：(1) 由函數(shù) f(x)ex(x2lnx)(x0)，（x2）（exx2）f(x)x2因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí)，exx2.理由如下：要使 x0 時(shí)，exx2，只要 x2lnx，x32x2設(shè)(x)x2lnx，(x)1 ，xx于是當(dāng) 0 x2 時(shí)，(x)2 時(shí)，(x)0.即(x)x2lnx 在 x2 處取得最小值(2)22ln20，即 x0 時(shí)，x2lnx，所以 exx20，于是當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)2 時(shí)，f(x)0.所以函數(shù) f(x)在(0，2)上為減函數(shù)，(2，)上為增函數(shù)e2所

9、以 f(x)在 x2 處取得最小值 f(2) 22ln2.4ex(x 2)( k) x2（x2）（exkx2）(2) 因?yàn)?f(x)，x3x當(dāng) k0 時(shí)，exk0，所以 f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，(2，4)上單調(diào)遞增，不存在三個(gè)極值點(diǎn)，所以 k0.x2ex(x 2)( k) x2（x2）（exkx2）又 f(x)，x3x-3 -exe2（x2）令 g(x) ，得 g(x)，x2x3g(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，在 x2 處取得極小值，得 g(2)e2，且 g(4) e4 ，416e2 e4ex于是yk 與 g(x) 在(0，4)內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件是 k (,

10、) .x24 16ex設(shè) yk 與 g(x) 在x2(0，4)內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x ，x ，則有 0 x 2x 3所以函數(shù) f(x)的減區(qū)間是(，0)和(2，)3（2）依題意 m0因?yàn)?f(x)x3mx2m，所以 f (x)3x22mxx(3x2m)2m由 f (x)0，得 x 或 x03當(dāng) 0 x2m時(shí)，f (x)0，所以 f(x)在(0，2m 上為增函數(shù)；)332m2m當(dāng) xm 時(shí)，f (x)0，所以 f(x)在(，m)上為減函數(shù)；332m43所以，f(x)f() m m極大值327當(dāng) 4 m3mm，即 m364，ymax m3m27227當(dāng) 4 m3mm，即 0m36時(shí)，y

11、maxm272-4 -x(0，x1)x1(x1，2)2(2，x2)x2(x2，4)4x202exk x20e2k40e4 k 16f(x)000f(x)遞減極小值遞增極大值遞減極小值遞增4 m3mm36，272綜上，ymax3 6m0m2（3）設(shè)兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 x1，x2則函數(shù) f(x)在這兩點(diǎn)的切線的方程分別為322322y(x1 mx1 m)(3x1 2mx1)(xx1)，y(x2 mx2 m)(3x2 2mx2)(xx2)將(2，t)代入兩條切線方程，得322322t(x1 mx1 m)(3x1 2mx1)(2x1)，t(x2 mx2 m)(3x2 2mx2)(2x2)因?yàn)楹瘮?shù) f

12、(x)圖象上有且僅有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，所以方程 t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且僅有不相等的兩個(gè)實(shí)根整理得 t2x3(6m)x24mxm設(shè) h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2(3xm)(x2)當(dāng) m6 時(shí)，h (x)6(x2)20，所以 h(x)單調(diào)遞增，顯然不成立m當(dāng) m6 時(shí)， h (x)0，解得 x2 或 x 3列表可判斷單調(diào)性，當(dāng) x2 或 xm，3m12h(x)取得極值分別為 h(2)3m8，或 h( ) m3 m2m3273要使得關(guān)于 x 的方程 t2x3(6m)x24mxm 有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則 t3m8，或 t 1 m32

13、m2m273因?yàn)?t0，所以 3m80，（*），或 1 m32m2m0（*）273解（*），得 m8，解（*），得 m93 6或 m93 63因?yàn)?m0，所以 m 的范圍為(0，893 6，)3ax21五月信息卷 20）已知函數(shù) f (x) ，直線 y x 為曲線 y f (x) 的切線例 5、（16 屆exe（1）求實(shí)數(shù) a 的值；（ 2 ）用 minm, n 表示 m, n 中的 最小值， 設(shè)函數(shù) g(x) min f (0) ，若 函數(shù) h(x) g(x) cx 2 為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍(2 x)解：（1）對(duì)函數(shù) f (x) 求導(dǎo)得 f (x) a 2(ex )2(ex )21

14、ax 2 0 x設(shè)直線 y 1 x 與曲線 y f (x) 切于點(diǎn) P(x , y ) ，則 e0ex01，00 x (2 x )e e a 00 e x0解得 a x0 1所以 a 的值為 1211（2）記函數(shù) F(x) f ， x 0 ，下面x函數(shù) y F (x) 的符號(hào)-5 -x(2 x) 1 1對(duì)函數(shù) y F (x) 求導(dǎo)得 F (x) ， x 0 exx2當(dāng) x 2 時(shí)， F (x) 0 恒成立當(dāng)0 x 2 時(shí)，)2 1 ，12從而 F 所以 F (x) 0 在(, 0)因?yàn)?F (1) 1 0 ， F (2) 0成立，故 y F (x) 在(, 0) 內(nèi)單調(diào)遞減4 3 0 ，所以

15、F (1) F (2) 0 e2e2又曲線 y F (x) 在區(qū)間1, 2 上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，存在唯一的實(shí)數(shù)x0 (1, 2) ，使 F (x0 ) 0 所以 x (0, x0 ) ， F (x) 0 ； x (x0 , ) ， F (x) 0 ,0所以 g(x) min f .0 x 1 c1 2c1,x002從而 h(x) g(x) cx x2所以 h (x) g(x)c2x) e2c0.c0.xxe由函數(shù) h(x) g(x) cx 2 為增函數(shù)， 且曲線 y h(x) 在 (0, ) 上連續(xù)不斷知 h(x) 0 在 (0, x ) ，0(x0 , ) 恒成立當(dāng) x x 時(shí)， x(2 x) 2cx 0 在(x , 成立，即 2c x(2 x) 在(x , ) 恒成立000exex記u(x) = 2 x ， x x ，則u(x) = x 3 ， x x 00exex當(dāng) x 變化時(shí)， u(