北京北師特學校2022年高考數(shù)學四模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個

2、到的概率是（ ）ABCD2已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數(shù)，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是ABCD3已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是( )ABCD4中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（ ）A2或B2或C或D或5甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四人中只有一個人說的是真話，則年紀最大的是（ ）A甲B乙C丙D丁6如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，則的

3、最大值為（ ）ABC2D7已知函數(shù)，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（ ）ABCD8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（ ）ABCD9如圖，在ABC中，點M是邊BC的中點，將ABM沿著AM翻折成ABM，且點B不在平面AMC內(nèi)，點P是線段BC上一點.若二面角P-AM-B與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經(jīng)過ABC的（ ）A重心B垂心C內(nèi)心D外心10下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）ABCD11如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為( )A BCD12已知無窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4

4、小題，每小題5分，共20分。13若變量，滿足約束條件，則的最大值為_14已知復數(shù),其中是虛數(shù)單位若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為_15設是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且，則_.16已知，滿足，則的展開式中的系數(shù)為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值18（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.19（12分）已知函數(shù)，（）求的最小正周期；（）求在上的最

5、小值和最大值20（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知外接圓半徑,求的周長.21（12分）已知函數(shù)，(其中，).（1）求函數(shù)的最小值.（2）若，求證：.22（10分）已知函數(shù)（）（1）函數(shù)在點處的切線方程為，求函數(shù)的極值；（2）當時，對于任意，當時，不等式恒成立，求出實數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到

6、達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是. 故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.2B【解析】此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.3A【解析】由題知，利用求出，

7、再根據(jù)題給定義，化簡求出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以 的周期為， 則， 所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對新定義的理解.4A【解析】根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點在x、y軸上兩種情況討論，進而求得雙曲線的離心率【詳解】設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得： ，得雙曲線的一條漸近線的方程為 焦點在x、y軸上兩種情況討論：當焦點在x軸上時有： 當焦點在y軸上時有： 求得雙曲線的離心率 2

8、或故選：A【點睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線 的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值此題易忽視兩解得出錯誤答案5C【解析】分別假設甲乙丙丁說的是真話，結(jié)合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答案.【詳解】假設甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，年紀最大的不是甲；假設乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說

9、的是真話，故乙說謊，年紀最大的也不是乙；假設丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，年紀最大的也不是乙；假設丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年紀最大的，故假設成立，年紀最大的是丙.綜上所述，年紀最大的是丙故選：C.【點睛】本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說明這種情形不會發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.6C【解析】建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表

10、達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為 可得到點的坐標為： 故得到 故得到 ， 故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數(shù)方程的應用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.7C【解析】根據(jù)的零點和最值點列方程組，求得的表達式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對

11、應的取值范圍，由為整數(shù)對的取值進行驗證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此當時，此時取可使成立，當時，所以當或時，都成立，舍去；當時，此時取可使成立，當時，所以當或時，都成立，舍去；當時，此時取可使成立，當時，所以當時，成立；綜上所得的最大值為故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.8D【解析】由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論【詳解】執(zhí)行該程序可得故選：D【點睛】本題考查程序框圖解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論

12、，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解9A【解析】根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SPBM=SPCM，得到答案.【詳解】二面角P-AM-B與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-ABM=VP-ACM，即VA-PBM=VA-PCM，兩三棱錐高相等，故SPBM=SPCM，故BP=CP，故P為CB中點.故選：A.【點睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10C【解析】結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符

13、合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎題.11C【解析】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關(guān)鍵.12A【解析】依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項，再求出，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳驗闊o窮等比數(shù)列的公比為2，則無窮等比數(shù)列的公比為。由有，解得，所以，故選A。【點睛】本題主要考查無窮等比數(shù)

14、列求和公式的應用。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示： 將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.14【解析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.

15、故答案為:【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.1518【解析】先由，可得，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】解：因為，所以，.故答案為：18.【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運算，重點考查了等差數(shù)列的前項和公式，屬基礎題.161【解析】根據(jù)二項式定理求出，然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結(jié)合組合的知識求得系數(shù)【詳解】由題意，的展開式中的系數(shù)為故答案為：1【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理的應用是解題關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由

16、面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解；（3）設,則,求得,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大

17、值.（3）設,則有,得,設,那么,所以,所以.因為,所以.又因為,所以,設平面的法向量為,則,即,可得,即 因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.18（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點為，連接，根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，為，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，如下圖所示：因為，所以，故為等邊

18、三角形，則.連接，因為，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知，因為平面平面，平面，所以平面，以為原點，為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易求，則，則，.設平面的法向量，則即令，則，故.設平面的法向量，則則令，則，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.19（）;（）最小值和最大值【解析】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）得函數(shù)，分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值由已知，有的最小正周期（2）在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為考點：1兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性20（1）（2）3+3【解析】（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0A，可求A的值（2）由正弦定理可求a，利用余弦定