(第8章)高斯平面直角坐標教學文稿

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。(第8章)高斯平面直角坐標-第八章高斯平面直角坐標1正形投影的基本公式一、地圖投影的概念1.投影的必要性及其方法投影的必要性：測量工作的根本任務，是測定地面點的坐標和測繪各種地形圖。因：1）橢球面上計算復雜；2）地圖是畫在平面圖紙上，故，有必要將橢球面上的坐標、方向、長度投影到平面上。投影的方法：按一定的數(shù)學法則，得到如下的解析關系（函數(shù)關系）xF1(B，L)yF2(B，L)式中B，L橢球面上的大地坐標x，y投影平面上的直角坐標按高斯投影方法得到的平面直角坐標x，y叫高斯平面直角坐標。2.投影的分類橢球

2、面是不可展開的曲面（圓柱，圓錐面是可展開曲面）。若展開成平面，必產生變形。投影按變形的性質可分為：等距離投影投影后地面點見的距離不變等面積投影保證投影后面積不變等角投影投影后微分范圍的形狀相似3.測量采用的投影測量工作從計算和測圖考慮，采用等角投影（又稱正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把橢球面上的角度，不加改正地轉換到平面上。（注：橢球面上大地線投影到平面上亦為曲線。為實用，需將投影的曲線方向改正為兩點間弧線方向，稱方向改化。方向改化是在平面上為實用而做的工作，非投影工作。且：改化小，公式簡單；只在等級控制改化，圖根控制、測圖不顧及）橢球面上投影面上BBdcdadcdaACACdbdb

3、2）因微分范圍內投影前后圖形相似，則大比例尺圖的圖形與實地完全相似，應用方便。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如圖：對于保角投影：AA；BB；CC所以長度比故，正形投影在一個點（微分范圍）上，各方向長度比相同。即投影后保持圖形相似。例如下圖，對一個任意形狀的微小圖形，總可以取一個邊數(shù)極多的中點多邊形逼近它，對于正形投影：aabbooeeccdd但上述特點只在微分范圍內成立。在廣大范圍內，投影前后圖形保持相似是不可能的（否則意味著橢球面可以展開）。因此，在大范圍內，各處的長度比m必定不同。結論：正形投影的特性：長度比m與方向無關，但隨點位而異。2.正形投影基本公式（充要條件）l+dlL

4、GlB+dBP2BdSP1特定子午線設橢球面上有無限趨近的兩點P1，P2橢球面上：P1(B，L)P2(BdB，LdL)大地線長度dS投影面上：p1(x，y)p2(xdx，ydy)大地線長度的投影dsxP2dsP1yo投影長度比為：下面分別推導上式中dS和ds：（dS和ds為曲線，但對微分線段，將其看成各自三角形的斜邊）dS2(MdB)2(NcosBdl)2(MdB)2(rdl)2r2(dB)2(dl)2引入等量緯度，則dq()dB（引入等量緯度純粹為了推導公式方便）dS2r2(dq)2(dl)2另：xF1(B，L)yF2(B，L)因q與B有確定的關系，l與L有確定的關系，所以有：xf1(q，l

5、)yf2(q，l)微分得：故：P2MdBA90-AP1rdl令：則：ds2Edq22Fdq.dlGdl2故：由微分三角形知：所以：dldqtanA將代入得：欲使投影為正形投影，長度比m應與方向(A)無關。為此：令：F0；EG即：則上式為：（可看出m與方向無關）由式可解得：式代入得：式開平方得：取正號代入得：（注：式取正號意義是：選取橢球面和平面坐標軸方向時，要求在經線方向上q增加時，平面上x也增加；沿緯線方向l增加時，y也增加）故，橢球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：（此即正形投影的充分必要條件）3.證明復變函數(shù)xiyf(qil)當f存在、且0時亦為正形投影證明如下：基本投影公式

6、xF1(B，L)yF2(B，L)亦可寫成xf1(q，l)yf2(q，l)用復變函數(shù)形式寫出為xiyf(qil)（qil復變數(shù)；）令xiyzqilu則zf(u)求導由、式可得因zxiy故將、式代入式得式虛實分開此即柯西黎曼方程。證畢。練習及作業(yè)：1、閱讀8.1，8.22、理解：、投影的必要性及方法。、投影的分類及測量采用的投影類型。、正形投影的特性。2高斯投影及高斯平面直角坐標一、高斯投影的一般解釋及其特性1.高斯投影的幾何意義x中央子午線y邊緣子午線Np1sP1Sp2P2o赤道S高斯投影的幾何意義是橫軸橢圓柱正形投影。設想一橫橢圓柱面套在橢球上，與某一子午線（稱軸子午線或中央子午線）相切。橢圓

7、柱的中心軸通過橢球中心，且與橢球短軸垂直。2.高斯投影的特性高斯投影是正形投影；中央子午線投影后應為x軸，且長度不變。3.高斯投影的一般解釋軸子午線投影到橢圓柱面上展開為x軸。以O為投影中心，將赤道上各點投影到橢圓柱面上，為一長度變形直線。它垂直于x軸，稱為y軸。橢球上任一段大地線S，以O為投影中心在橫橢圓柱上投影為s，sS。長度變形m-1恒為正（軸子午線投影除外）。橢球上大地點P的坐標(B，L)，與投影后的坐標(x，y)，在B，L和x，y之間建立函數(shù)關系，即高斯投影。將中央子午線東西各一定的經差（6、3、1.5）范圍投影到橢圓柱面上，展開后構成高斯平面直角坐標系；每個投影帶構成一個獨立的坐標

8、系統(tǒng)，各帶的計算具有一樣性。4.控制網(wǎng)從橢球面上投影到高斯平面上的投影計算工作起算數(shù)據(jù)投影橢球面上已知元素：P1（B1，L1）；S；A12；投影到高斯平面上：p1(x1，y1)；s；A12；（平面上方位角為：T12A12r；r：平面子午收斂角；：方向改化）P2S軸A12P4子午P1線(B1,L1)P3道赤x軸p2子午T12線A12投sp4影p1(x1,y1)赤道投影p3y觀測數(shù)據(jù)計算：二、高斯投影正算由大地坐標B、L計算平面坐標x、y1.高斯正算基本公式高斯正算公式應滿足高斯投影的特性。首先，應滿足正形投影。取投影基本公式為：xiyf(qil)因l在6帶里最大為3，是微小量，所以，f(qil)

9、可用臺勞級數(shù)展開：（臺勞級數(shù)一般形式：f(x)f(x)f(x)(1/2)2f(x)(1/3!)3f3(x)）故有：軸x子午線DdXxoy設圖中，軸子午線上D投影為d；D的子午線弧長為X；d的縱坐標為x。若滿足高斯投影中央子午線投影為x軸，且長度不變的特性，即：l0時，y0；且xiyf(qil)為：xf(q)X臺勞展開xiyf（qil），并顧及上式：將上式虛實兩部分分開，得高斯正算基本公式：2.高斯正算實用公式由基本公式推導實用公式如下：一階導數(shù)（因dXMdB；dq()dB）二階導數(shù)繼續(xù)求各階導數(shù)，將X對q的各階導數(shù)代入基本公式，得高斯正算實用公式(8-41，8-42)式中：ttanB；e2co

10、s2B由上式可知：1）當B0（X0）時，x0（赤道投影為一直線）2）當l0時，y0（軸子午線投影為一直線x軸）xX（軸子午線投影，長度不變）3）當l常數(shù)，B，yB常數(shù)，l，x（8-42式計算精度可達1mm）三、高斯投影反算（由平面直角坐標x、y反算大地坐標B、L）xBffB(0)Bd(x,y)Xoy有時要跨帶計算兩點間的距離S，這時根據(jù)兩點的大地坐標，在橢球上解算更為方便；有時要用反算檢核正算的正確性。故推導反算公式如下。見圖。過d(x，y)點的緯度為B，對應緯度B，軸子午線弧長為X，有Xf(B)；對應d點的縱坐標，即d點在x軸的垂足f，緯度為Bf（稱底點緯度或垂足緯度）。高斯投影反算，必滿足

11、xiyf(qil)之反函數(shù)式，即qilxiyy為小量，上式可在d的底點f處臺勞展開根據(jù)高斯投影條件：中央子午線投影為x軸，且長度保持不變，有y=0，則l=0，即ql=0=x，且x=Xf，故ql=0=Xfqf，于是上式改寫成根據(jù)，推導出各階導數(shù)代入上式，并將虛實分開得實際應用上式時，還應把q-qf換成B-Bf（過程可參見武測、同濟合編控測下），經整理得式中，Bf是底點f的大地緯度，可根據(jù)x值（f點的子午弧長）由子午弧長公式反解求得。子午線弧長反解公式詳見朱華統(tǒng)教授著常用大地坐標系及其變換第二章，第五節(jié)，P47、P48;或教材P18，7.4.2式7-109，7-110。四、平面子午收斂角的計算x切

12、線坐子標午北線投影B0平行圈投影切線dxPdyyo平面子午收斂角定義：通過P點的子午線投影在平面上有一切線，該切線與坐標北的夾角為平面子午線收斂角。由右圖知又xf1(B，L)yf2(B，L)有圖中：BCt（常數(shù)）0，故dB0故由正算公式分別對l求導，代入上式得為使用方便，變換形式。令：tanu，則arctanu，展開得u(1/3)u3(1/5)u5即將式代入上式，整理得平面子午線收斂角計算公式8-81rdl=NcosBdldy平行圈子MdB午dx線dSds（注：為奇函數(shù)，與l符號一致）五、長度比、長度變形及投影帶的劃分1.長度比和長度變形定義：投影的長度比為投影的長度變形為m1由右圖微分三角形

13、知：由正算公式得由子午線收斂角推導知將、式代入m2式，則用B，L（lLl0）計算長度比的公式為將反算公式代入上式，得顧及，(ecosB是微小值)；N4R4；則用x、y計算長度比的公式為由、式可以表明：1）長度比m隨點的位置而異，但在一點上與方向無關；G03691215182）當l0，y0時，m1，即中央子午線投影的長度不變；3）l0，y0時，m1，即s總是大于S（中央子午線除外）；4）變形與l2、y2成比例地增大，即愈遠離軸子午線，變形愈迅速增大。2.投影帶的劃分投影帶的劃分長度變形是客觀存在的，不能將它完全消除，只能對其合理地加以限制，使其在用圖和測圖時影響很小，以致可以忽略。為此采用分帶投

14、影，即：取軸子午線兩側適當范圍（兩條邊緣子午線為界），投影到與軸子午線相切橫橢圓柱面上。而該范圍以外地區(qū)，另設中央子午線投影。以此控制投影后長度變形不超過一定限度。我國國家投影帶為六度帶和三度帶，三度帶是六度帶的加密，如圖：根據(jù)式，長度變形m1(1/2)l2cos2B（取該式主項），算得在我國北緯B20以南地區(qū)，位于六度帶邊緣處（l3），長度變形可達1/820。故，只有1/2.5萬至1/10萬國家基本圖才采用六度帶。而1/萬地形圖在六度帶邊緣地區(qū)圖廓長度約5km，則長度變形約6m，引起圖上0.6mm變形，這是絕對不允許的，故1/萬或更大比例尺地形圖規(guī)定采用三度帶。北緯B20處，三度帶邊緣地區(qū)（

15、l1.5），變形約為1/3300，對1/2000地形圖，圖廓長度約1km，將引起0.3m的變形，圖上變形0.15mm，勉強滿足1/2000地形測圖的要求。對1/1000、1/500地形圖，根據(jù)其長度變形情況（測區(qū)B、L），往往采用1.5度帶或獨立投影帶。高斯投影帶帶號和中央子午線的關系：1）已知帶號求中央子午線經度：設中央子午線經度為L0，若已知帶號（六度帶）N和（三度帶）n，則：六度帶：L06N3三度帶：L03n2）已知點的經度L求其帶號：六度帶：N(L3)/6三度帶：nL/3（按四舍五入取整數(shù)確定帶號）坐標算法的規(guī)定：為避免y值出現(xiàn)負號（我國位于北半球，x均為正），造成抄錄成果出錯，規(guī)定在

16、y值上人為地加上500km；為了區(qū)別不同投影帶，前面再冠以帶號（我國領土經度自東經75135，按6帶，包含1323帶；按3帶，包含了2446帶，相互無重合。因此，觀其帶號，不須注明即可知是6帶亦或3帶）例：y20499799.75m，該點在6帶第20帶，y-200.25m。y36517148.26m，該點在3帶第36帶，y17148.26m。投影帶的重疊度為了拼圖和使用方便，規(guī)定每六度帶向東加寬30，向西加寬15或7.5，從而保證在重疊部分有兩套坐標和兩套地形圖。練習及作業(yè)：1、閱讀：、教材8.1-8.5。、高斯-克呂格投影坐標計算表2、思考：、高斯投影的幾何意義及一般解釋。、高斯投影的特性。

17、、高斯投影的計算工作包括那些？、我國投影帶采用的幅寬為多少？如何分帶？、測圖時如何選用投影帶？、推導帶號和經度的關系。、坐標寫法有何規(guī)定？3、作業(yè)：已知：B350442.9854，L1182249.9705，進行高斯投影正算，并以反算進行檢核。（分別按克氏橢球和IAG-75橢球計算）3橢球面上的觀測結果化歸到高斯平面上控制網(wǎng)由橢球面歸化到高斯平面上的內容有：起算數(shù)據(jù)：P1(L1，B1)p1(x1，y1)A12A12；使用T12A12112S12s12觀測數(shù)據(jù)：likLiklikikAAccbbBBaaCC在國家三四等及城市、工程控制網(wǎng)中，往往起算坐標和方位角，均為高斯平面上數(shù)值。實際工作中只遇

18、到大量方向改化的計算和一定數(shù)量的距離改化計算。一、方向改化的計算1.球面角超的概念對于球面閉合三角形180球面角超180球面角超數(shù)值的概念abc2km時，0.009abc10km時，0.22abc50km時，5.48球面角超的計算：由球面三角可知式中F球面三角形的面積，R球面平均曲率半徑由球面三角面積公式故式中R球面的曲率半徑平面歸化角根據(jù)洛戎德爾定理/3/3/3在計算時，平面歸化角還是未知數(shù)，故可用代替，兩次趨近求：1）用代替計算的第一次近似值1，得平面歸化角近似值1=1/3，2）用1代替計算的第二次近似值。當17、邊長90km時，式中第二項為小項，可以忽略不計，且可用、代替平面歸化角、，即

19、：軸子P2午F2線F1P12.方向改化的計算方向改化近似公式(推導中有三點近似)如下：近似：設橢球為一直徑為R的圓球，則：球面上四邊形（兩大圓弧之間）的內角和為：218012投影到平面上四邊形的內角和為：21801221因為是高斯投影（正形投影）。故投影后保證xP2(x2,y2)P1(x1,y1)2180122180|12|21|即12|12|21|近似：設|12|21|則122故：近似：設兩球面面積，等于兩平面面積，則（）以上討論的是絕對值?？紤]到符號，（下式可直接加到方向值上）的計算公式如下：（上式適用三等以下網(wǎng)）2BBCC3AA1詳細公式（上式適用二等網(wǎng)）由上式可知，大地線在平面上的投影

20、凹向軸子線。為了對方向改化有一個數(shù)值的概念，參見p82，表8-5。3.方向改化的檢核因AA(1312)AABB(2123)BBCC(3231)CC所以ABCABCABC即180180ABC故ABC-4.計算方向改化所需坐標x、y的精度已知微分得若令d(x1x2)dymdP則對于二等網(wǎng)，方向值精確到0.1，改正數(shù)取至0.01。?。篸0.01；ym350km（6帶邊緣）；R6370km；(x1x2)13km算得：dP10.8m故：近似坐標取至10m，計算過程中取至米即可。對于三、四等網(wǎng)，方向值精確到1，近似坐標取至100m，計算過程中取至10m已足夠了。二、距離改化的計算xDdDsdsy將橢球面上

21、的大地線長度歸化為平面上的弦線長度，此即為距離改化。1.投影后的曲線s與兩點間的直線D的長度關系取距離的微分段如圖：；dDcosds又：可知：max(方向改化)故：（此項極小）所以cos1，即Ds，亦即：大地線的投影s可做為弦線長度D。2.距離改化的計算由Simpson近似積分公式，將積分區(qū)間n等分時將積分區(qū)間二等分時yy0y1y2yny=f(x)hhoabxx0 x1x2xnxm2P2s/2mmPmm1s/2P1yo設有大地線如圖；dsmdS利用Simpson積分（積分區(qū)間二等分）將長度比代入上式得式中ym(y1y2)/2y(y2y1)故，距離改化上式當S70km，ym350km時，計算誤差

22、1mm，適用一等邊長。二等邊長的實用公式，即將上式中ym4項舍去；三、四等邊長的實用公式，可進一步將y2項舍去。3.計算所需近似坐標的精度由距離改化的主項微分得根據(jù)城市測量規(guī)范，取dS0.1mm（二等）；dS1mm（三等），S9km（二等）；S5km（三等），取Rm6371km，ym350km，則dym(二等)1.29m；dym(三等)23m故，在計算近似坐標時，二等應正確至米，計算過程中取至分米；三等、四等可正確至10m，計算過程中取至米。練習及作業(yè)：1、閱讀8.6，8.72、思考、橢球面上元素化算到高斯平面上都有哪些？、什么是方向改化？其公式形式？、大地線投影在高斯平面上是什么形狀？何以證

23、明？、方向改化計算如何檢核？、什么是距離改化？其公式形式？、方向、距離改化所用近似坐標精度如何？如何推算？4相鄰投影帶的坐標換算一、相鄰投影帶的坐標換算的實質解決相鄰帶之間的聯(lián)系。即：已知P點西帶坐標x1、y1，求其東帶坐標x2、y2；已知P點東帶坐標x2、y2，求其西帶坐標x1、y1。二、相鄰帶換算的用途1、A點的坐標換算到第帶，統(tǒng)一到第帶網(wǎng)中使用。（66、33）2、將較寬帶坐標換算到較窄帶上，得到較小的長度變形。（63、31.5、1.5獨立帶等）l1l2y1y2x1x2西帶軸子午線東帶軸子午線邊緣子午線A軸邊緣軸邊緣軸三、坐標換算方法1.間接法坐標換算程序為：x1，y1反算B，l1B，l2

24、正算x2，y2。+l-ly1y2y2x1x2x2西帶軸子午線東帶軸子午線邊緣子午線此方法經過正、反兩次運算，工作量較大。但目前應用電算，工作量大已不成問題。2.直接法直接法公式推導思路如下：變“一點兩帶”問題，為“兩點一帶”問題選一與P1對稱于邊緣子午線的“對稱點”P2，如圖。B2B1；ll；P1點東帶的坐標為x2，y2；P2點在西帶的坐標為x2，y2。由圖可知x2x2；y2y2故，換帶計算求x2，y2，歸結為求x2，y2。變坐標換算為坐標增量計算在邊緣子午線上，選取輔助點M（x0，y0），輔助點是已知的。因P1、P2對分界子午線對稱，所以MP1MP2S；AMP1A1，AMP2360A1；x0

25、，y0及0可按半帶經差及選定之B0算出。由圖可知：N分帶子午B=常數(shù)線P2360-A1P1SSA1MxN0p2(x2,y2)D2西p12帶(x1,y1)D1M0(x0,y0)ox1x1x0D1cosT1y1y1y0D1sinT1(1)x2x2x0D2cosT2y2y2y0D2sinT2(2)式中：Ti弦長Di的坐標方位角，為方便，選M點時使T1270。代入（1）有x1x1x00y1y1y0-D1(3)又T2A202(360A1)02(360(T10)0290(202)(4)至此，求出2則由(4)式可求得T2。若再求得D2，則可由(2)式求得x2，y2，從而求出x2，y2，進而求出x2，y2。由

26、距離改化公式；兩式相除，忽略四次方以上各項，得略去項，得(5)將（3）（4）（5）式代入（2）式，得(6)而sin(202)sin20cos202(7)又略去項，得2(y0/2R2)x2(8)將（7）（8）代入（6）得同理(9)（9）式含未知數(shù)x2，y2不能直接應用，可用逐次趨近法（以（9）右端第一項作為x2，y2的近似值代入上式）求解。由圖（a）（c）可知：x2x0 x2y2(y0y2)在上面公式推導中，只推求了公式的主項，實際上公式的系數(shù)要復雜得多。為方便實用，已編制出高斯-克呂格坐標換帶表，供66、63、33之間換算。四、應用換帶表進行換帶計算的實用公式1.查表法換帶計算公式（保證1mm

27、坐標精度）對3帶換帶表，y180km；對6帶換帶表，y160km，采用嚴密（修正項）公式如下x2x1m(m1m2y1)y1y1xy2y0n(n1n2y1)y1y1y對3帶換帶表，y180km；對6帶換帶表，y160km，采用修正項為公式如下x2x1（mm1y1）y1xy2y0（nn1y1）y1y式中x1，y1已知點P的坐標x2，y2待求坐標（P點在相鄰帶的坐標）x0，y0輔助點在西帶的坐標，x0 x1，y0永為正值（以x1為引數(shù)查表方法見下）m、m1、m2、n、n1、n2換帶系數(shù)，以x1為引數(shù)查表x、y、x、y坐標修正項，以x1，y1為引數(shù)查表y1y1y0(y1即P點y坐標自然值)2.符號說明

28、西東，規(guī)定：y1y1y0東西，規(guī)定：y1y1y0西東，計算得y2應為負值；東西，計算得y2應為正值。3.查表方法例：y0表列y0Xkmy0d(y0)（以x1為引數(shù)查表）式中Xkm已知點的縱坐標x1，與略小于x1的表列引數(shù)之差y0對應每公里Xkm，y0的變化值d(y0)y0的修正值參見武測、同濟合編教材下冊P129：y180km，采用修正項的公式以3274km查取表列y0值：145353.1538；y012.9244(m)X1.110535km=1110.535m，以Xm引數(shù)查右邊小表得：d(y0)=0.0020m代入上式得：y0145338.7986y1y1y090.0984344km(80k

29、m)至此，根據(jù)y1是否大于80km，確定用修正項（或）公式。練習及作業(yè)：1、閱讀、參考閱讀：教材8.8、孔祥元，梅是義主編控制測量學P333，7.8、借閱高斯-克呂格坐標換帶表2、思考、什么是換帶計算?、相鄰帶換算的用途、什么是間接換算方法?、如何用電算換帶?、如何用查表法換帶?3、參考閱讀武測、同濟合編控測教材（下）P128“始6，按”5工程測量投影面與投影帶選擇的概念一、工程測量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點1.投影變形的概念邊長歸算到橢球面上的變形影響變形(1)式中Hm歸算邊平均大地高S歸算邊的長度R歸算邊方向法截弧曲率半徑相對變形(2)上兩式計算值(S1km，R6370km)列入下表

30、：Hm/m10204080160100020003000S1/mm-1.6-3.1-6.3-12.6-25.1-157-314-472S1/S1/63.7萬1/31.8萬1/15.9萬1/7.9萬1/3.9萬1/6.3千1/3.1千1/2.1千可知邊長歸算到橢球面上總是縮短，其影響與Hm成比例。將橢球面上邊長改化到高斯平面上的變形影響變形(3)式中ym歸算邊兩端橫坐標平均值S橢球面上邊長相對變形(4)上兩式以S1km，R6375.9km(B=4152)計算值列入下表：ym/km1020304050607080150S2/mm1.24.911.119.730.744.360.3078.7276.7S2/S1/81萬1/20萬1/9萬1/5萬1/3.2萬1/2.2萬1/1.6萬1/1.2萬1/3.5千可知，邊長投影到高斯平面上，總是增大。離中央子午線越遠，變形越大。其影響與ym平方成正比。2.工程控制網(wǎng)對長度變形的要求一般施工放樣方格網(wǎng)和建筑軸線測量精度為1/50001/20000。由歸算引起的長度變形應小于其1/2，即相對變形應小于1/100001/40000，也即每公里歸算長度改正數(shù)，不應大于10cm2.5cm。3.工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點在滿足上述工程測量精度要求的前提下，應將觀測結果歸算至參考橢球面上，并