2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)5

1、蘇教版選修2-12.2.2橢圓的幾何性質(zhì)-江蘇省江陰長涇中學 沈書龍 【教學目標】（1）通過對橢圓標準方程的討論，讓學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并能正確作出圖形（2）讓學生感受運用方程研究曲線幾何性質(zhì)的思想方法（3）學生能運用橢圓的方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題【教學重點】探究橢圓的幾何性質(zhì)；理解橢圓基本量的幾何意義【教學難點】理解橢圓離心率的幾何意義【教學過程】一、問題情境熱愛生活的同學會發(fā)現(xiàn)生活中有很多橢圓形的物件，它們都給我們以美的感覺，但是圖形有大小之分，也有扁圓之別，那么 “想畫出這些橢圓的圖形嗎？”是隨便畫一下，還是有章可循？二、學生活動探究（一）問題1、比如：給你一個方程，你能

2、否根據(jù)這個方程畫出它對應的圖形，而且大小適合，具有美感？提示：怎么畫？大小怎么確定？怎樣體現(xiàn)圖形的美感。問題2、怎么樣取點？取，對應，取，不好算，對應兩個值，取，也如此，取，對應，取？說明方程中有范圍，怎么從方程中得到？研究方程得到范圍獲得結(jié)論：橢圓應該限制在這樣四條直線之間，也就是橢圓應該在這個矩形框內(nèi)由四個點，加上范圍，我們在要求不太精確的前提下，可以畫出橢圓圖形探究（二）問題1、由上述我們畫的橢圓，請同學們觀測一下，橢圓圖形的美嗎？美在哪里？得到：橢圓關(guān)于軸對稱的，除了軸對稱外，還有其他的對稱嗎？怎么從方程的角度加以說明呢？當在橢圓上時，它關(guān)于軸的對稱點，也在橢圓上，即在橢圓方程中把改成

3、，方程并不改變，即得到橢圓是關(guān)于軸對稱的獲得結(jié)論：橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。軸和軸是它的對稱軸，坐標原點是它的對稱中心，對稱中心也叫橢圓的中心-剛才我們通過對橢圓的方程的研究得到橢圓的范圍，對稱性，這些稱為橢圓的幾何性質(zhì)，對于一般的橢圓方程，又具有怎么樣的幾何性質(zhì)呢？這個就是我們今天要研究的橢圓的幾何性質(zhì)-揭示課題我們把中的換成，首先它的范圍怎么樣？，另外，對稱性有沒有變？還是關(guān)于，軸，原點對稱獲得結(jié)論：1、范圍：橢圓位于這樣四條直線所圍成的矩形內(nèi)2、對稱性：橢圓是關(guān)于坐標軸、原點對稱的探究（三）問題1、剛才在畫橢圓的圖形中取到四個特殊的點，即令，得，得，分別是，這些是橢圓與兩坐標軸

4、的交點，而這兩個坐標軸正好是對稱軸，所以它們也是橢圓與對稱軸的四個交點。獲得結(jié)論：3、頂點：橢圓與對稱軸的四個交點，稱為橢圓的四個頂點。因為橢圓的焦點在軸上，所以，而線段的長度是，線段的長度是，所以,即我們把線段叫做橢圓的長軸，；線段叫做橢圓的短軸，而就是橢圓方程中的，所以方程中的的幾何意義就是長軸長度的一半，我們就把叫做長半軸長，相應的，叫做短半軸長，叫做半焦距探究（四）問題1、除了之外，橢圓還有一個參數(shù)是，那么有什么關(guān)系呢？問題2、這個式子像勾股定理，而勾股定理是直角三角形才具備的，你能在橢圓中找到一個直角三角形，使得它的三邊是，而且是斜邊嗎？獲得結(jié)論：4、特征三角形：在中，有，我們把這個

5、三角形叫做橢圓的特征三角形，這個三角形把數(shù)量關(guān)系進行了圖形化，即把橢圓中兄弟三人緊密團結(jié)在一起，也體現(xiàn)出老大的地位探究（五）問題1、在同一坐標系中畫幾個橢圓，如：，發(fā)現(xiàn)橢圓的形狀有什么不同？問題2、為什么會有扁與圓之別？在不變的情況下，的變化導致了橢圓扁的程度變化，也就是說橢圓方程中的不變，變小，橢圓比較扁，即扁的程度與成正比，還有什么方案使橢圓比較扁嗎？橢圓方程中的不變，變大，扁的程度與成反比問題4、我們是不是可以用一個什么式子來刻畫橢圓的扁的程度？用“”，因為不變，變小，變小，橢圓比較扁，反之變大，橢圓比較圓問題5、大家想一下，在橢圓家族中，還有一個量，我們不能把它遺忘，而且是橢圓定義中出

6、現(xiàn)了的，而僅僅是為了簡化橢圓方程，所以引入的，而且具有，當不變，變小時，在增大，此時橢圓變扁，相反，所以，我們也可以用來刻畫橢圓“扁的程度”，當不變，在增大，此時橢圓變扁，即大家觀測圖形，在增大，意味著焦點離開中心越來越遠，在減小，意味著焦點離開中心越來越近，所以我們把：刻畫橢圓“扁的程度”這個量叫做離心率，記為問題6、離心率的的范圍是多少？因為，所以問題7、既然用來刻畫橢圓的扁平程度，而且，那么，假如越來越大，趨近與的時候，橢圓的形狀怎么變？假如越來越小，趨近與的時候，橢圓的形狀又怎么變？獲得結(jié)論：5、離心率：離心率來刻畫橢圓的扁平程度，且，橢圓越來越扁；，橢圓越來越圓當時，這樣的橢圓我們一

7、般叫優(yōu)美橢圓，因為是黃金分割的兩部分的比值，按照這個比例設計出的造型是非常優(yōu)美的 我們把焦點在軸上的標準橢圓的幾何性質(zhì)一起小結(jié)一下，填下表：三、數(shù)學結(jié)論標準方程圖形范圍對稱性頂點坐標長軸及長軸長短軸及短軸長離心率關(guān)系所以：橢圓的焦點決定橢圓的位置，范圍決定橢圓的大小，離心率決定了橢圓的扁圓程度，對稱性是橢圓的重要特征，頂點是橢圓與對稱軸的交點，是橢圓重要的特殊點，若已知橢圓的標準方程，則根據(jù)的值可確定其性質(zhì)，反之有幾何性質(zhì)也可以確定橢圓的方程適時鞏固1橢圓的長軸長 ，短軸長 ，離心率 ，焦點坐標 ，頂點的坐標 ，并畫出這個橢圓的簡圖四、數(shù)學應用例1我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道，是以地

8、球的中心（簡稱“地心”）為一個焦點的橢圓已知它的近地點（離地面最近的點）距地面，遠地點（離地面最遠的點）距地面，是橢圓的長軸，地球半徑約為，求衛(wèi)星運行的軌道方程解：如圖，以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系，交地球與兩點設橢圓標準方程為（），則，解得： ，所以，衛(wèi)星的軌道方程是總結(jié)：實際問題-數(shù)學問題（定形）-建系（定位）-求（定量）思考：橢圓上到右焦點的距離最小的點，是不是右頂點？為什么？練習: 1.設是橢圓的一個焦點，是短軸，則橢圓的離心率為 2、已知橢圓的長軸長等于，離心率等于則橢圓的標準方程為 解：由已知，所以，橢圓的標準方程為或五、回顧反思1、知識上：(1)橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾