實變函數(shù)論27講.pptx

1、第27講 Lp-空間簡介 本講目的：掌握Lp-空間的定義及其重要意義， 重點與難點： Newton-Leibniz公式的證明。1第27講 Lp-空間簡介 人們在用迭代方法解微分方程或積分方程時，常常會碰到這樣的問題：盡管任意有限次迭代函數(shù)都是很好的函數(shù)（可微或連續(xù)函數(shù)），但當(dāng)施行極限手續(xù)以求出準(zhǔn)確解時卻發(fā)現(xiàn)，迭代序列的極限不在原來所限定的范圍內(nèi)，這促使人們將函數(shù)的范圍拓寬，空間理論正是在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。1907年，F(xiàn).Riesz與Frechet首先定義了0，1上的平方可積函數(shù)空間，即 2第27講 Lp-空間簡介 隨后,人們又進(jìn)一步考察p-方可積函數(shù)，得到空間 ,考慮這些空間的一個基本思想是，不

2、再是將每一個函數(shù)當(dāng)作一個孤立對象看，而是作為某一類集合中的一個元素，將這個函數(shù)集合看作一個整體討論其結(jié)構(gòu)。如果說前面所研究的Lebesgue可測函數(shù)是一棵棵的樹木, 現(xiàn)在則要將這些樹木放在起構(gòu)成一片森林。 3第27講 Lp-空間簡介一. 空間的定義 我們知道，Rn中有線性運(yùn)算，有距離公式，對于兩個函數(shù)，可以定義它們的線性運(yùn)算，但它們之間所謂“距離”的定義卻不是件簡單的是。首先，所定義的距離必須有意義，例如，對于 中的兩個函數(shù) ，可以用 定義它們的距離，但如果用它來定義一般Lebesgue可測函數(shù)間的距離顯然是不合適的。其次，所定義的距離，必須滿足距離的一些最基本的性質(zhì)。這些性質(zhì)是什么呢？我們可

3、以通過 中的距離歸納出來，即下面的 4第27講 Lp-空間簡介定義1 設(shè) 是一個集合。 的函數(shù)。滿足：（i）對任意 （ii）對任意 （iii）對任意（三角不等式）。則稱是A上的距離是E上的Lebesgue可測函數(shù)， 設(shè)且 。5第27講 Lp-空間簡介 對任意 ，顯然 仍是E上的可測函數(shù)，由于對任意實數(shù) ，有 所以6第27講 Lp-空間簡介因此不難看出 。從 的定義，啟發(fā)我們以下面的方式定義 上的距離：由上面的討論，顯見對任意 ，有7第27講 Lp-空間簡介 即 上非負(fù)的有限函數(shù)。它是不是 上的距離呢？為此，設(shè) ，則得 ， 于是 ，進(jìn)而 由此立得 另一方面，若 8第27講 Lp-空間簡介則 ，從

4、 而 。 上述分析說明， 并不是 上的距離，但使 的函數(shù)必有幾乎處處相等的，反之亦然。因此，我們可以將 中幾乎處處相等的函數(shù)放在一起，從而構(gòu)成新的集合： 當(dāng)且僅當(dāng) 9第27講 Lp-空間簡介 對任意 ，定義 不難看到，對任意 ， ，恒有 故上面的定義是無歧義的，此外，若 ，則顯然有 。這樣， 作為 上的函數(shù)的確滿足距離定義中的（i），至于（ii）則是顯而易見的，所以只需驗證它是否滿足（iii）。 10第27講 Lp-空間簡介 為方便起見，以后也用 記 ，只要說 則指的就是與 幾乎處處相等的函數(shù)類 ，若 說 則指的就是單一的函數(shù) 。 二。幾個重要的不等式 引理1 設(shè) 是正數(shù)， ， ，則 等式成立

5、當(dāng)且僅當(dāng) ，或 中有一個為0。11第27講 Lp-空間簡介 證明：不妨設(shè) （ 情形可類似證 明），由引理的條件知，于是要證的不等式可寫成 即記 ，則對任意 ，存在 ，使 ， 因 ，所以 ，從而 ， 12第27講 Lp-空間簡介 即 。令 ，立得 從證明過程可以看出，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 或 或0，證畢。 定理1（霍爾德（Holder）不等式） 設(shè) ，（滿足條件的 稱作共軛數(shù)）， ， ，則 13第27講 Lp-空間簡介 且 。（1）等式成立當(dāng)且僅當(dāng) 與 相差一個常數(shù)因子。 證明：若 中有一個為0，則（1）式顯然成立（事實上，此時（1）式兩邊都為0），故不妨 設(shè) 均不為0。于是都不為0，14第27講

6、Lp-空間簡介 記 則由引理1，當(dāng) ， 都不為0時，有 即 15第27講 Lp-空間簡介 且等號只有在 即 與 只差一個常數(shù)因子時才成立，不等式兩邊作積分得 ，此即所要的不等式，證畢。 定理2（Minkowski不等式）16第27講 Lp-空間簡介 設(shè) ， ， 則 （2）若 ，則等號只在 與 相差一個非負(fù)常數(shù)因子時成立。 證明：當(dāng) 時，不等式顯然成立，若 , 則不等式也是顯然的，故不妨 17第27講 Lp-空間簡介 設(shè) ，且 ，注意到 時 ， ，故 其中 是 的共軛數(shù)，即 ，于是由Holder不等式得 （3）18第27講 Lp-空間簡介 類似地，也有 （4） 將兩個不等式相加得 19第27講 Lp-空間簡介 兩邊同除以 立得所要的不等式。 要使（2）式中的等號成立，必須且只需（3）、（4）及 （5）的第一個不等式成為 等式，而使 （3）、（4）成