江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué)教案蘇教版必修四第一章《三角函數(shù)》1.2任意角的三角函數(shù)

1、2任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求建議任意 角的三角 函數(shù)值的 定義同角 三角函數(shù) 的基本關(guān) 系三角 函數(shù)的誘 導(dǎo)公式三角函數(shù)的定義域 和函數(shù)值在各象限的符 號、三角函數(shù)線平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系奇變偶不變，符號看 象限在銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上 引出對任意角的三角函數(shù)值的定 義，理解此定義關(guān)鍵把握有向線段 及其數(shù)量的概念；同角三角函數(shù)的 理解基本關(guān)系教學(xué)中應(yīng)突出“同角”兩字，并深化對公式逆用、變用；理 解誘導(dǎo)公式時應(yīng)抓住角的終邊的對 稱性，借助于圖像看三角函數(shù)值的 關(guān)系.二、預(yù)習(xí)指導(dǎo). 預(yù)習(xí)目標(biāo)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；掌握各三角函數(shù)在每一象限的符號；(2)能在單位圓中

2、作出一個角的正弦線、余弦線、正切線；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能靈活應(yīng)用于求值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式.(4)能正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，進(jìn)行簡單三角函數(shù)的化簡和證明.預(yù)習(xí)提綱(1)查閱初中教材(九年級下冊)第7.1至7.4節(jié)，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)一一正弦、余弦、正切函數(shù) 的定義及相關(guān)求值問題；(2)理解任意三角函數(shù)值的定義，并與初中銳角三角函數(shù)的定義相比較，理解三角函數(shù)值與點 P在終邊上的位置無關(guān)；(3)對三角函數(shù)線的理解，首先了解有向線段及其數(shù)量的概念，三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意他們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒；借助于三角函數(shù)值

3、的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系，并體會公式的應(yīng)用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一個，求出其余兩個；化簡三角函數(shù)式；證明簡單的三角恒等式；(5)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)突出了對稱思想，從圖形的角度來理解誘導(dǎo)公式，理解角”的任意性；(6)課本第16頁例1、例2題型是根據(jù)角的正弦、余弦、正切彳1中的一個求出其余兩個值(簡稱“知一求二”)時，要注意這個角所在的象限 .一般涉及開方運(yùn)算時，要分類討論 .課本第17頁例4由兩種解法體會證明恒等式常用方法：從一邊開始，證明它等于另一邊；證明左、右兩邊等于同一式子；分析法，尋找等式成立的充分條件.證明的指向一般“由繁到簡”.例4中證法1使用的是作差法，它是上述方法的變形，

4、其依據(jù)是：a b a b 0.典型例題例1已知角的終邊經(jīng)過點P(3a, - 4a)(a 0),求角 的正弦值、余弦值、正切值.分析：利用三角函數(shù)的定義求解.解：因為 x=3a, y=-4a,且 a0,所以 r J(3a)2( 4a)2 5| a | 5a, TOC o 1-5 h z y4a4x3a3y4a4所以 siny ；cos；tany-.r5a5r5a5x3a3點評：本題考查任意角三角函數(shù)定義，需要注意的是字母運(yùn)算中字母的符號.若去除a0的條件，那么本題又該如何解答？請同學(xué)們試一試.例2當(dāng)(0,3)時，比較,sin , tan 的大小.分析：在單位圓中根據(jù)三角函數(shù)線及弧長公式將問題轉(zhuǎn)化

5、為比較幾何線段的長短.解：如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點P,過P作PMx軸于點M ,則有向線段 MP = sin .過點A(1 , 0)作單 位圓的切線，交角的終邊于點T,則有向線段y*SVOAP1 - OA MP211?12sin , S形 OAP- OA AP2M A -xSVOAT1 -OA AT 2tan 2因為當(dāng)(0,金)時，有 SVOAPS扇形OAPSVOAT，1 所以一sin211,一-tan ,即 sin22tanAT=tan .連結(jié)AP,由弧長公式可得 Ap ,例3分析：由題可得cos w0,則tansin20,故為第二或第四象限角. 22又 sin cos 1 ,所以cos

6、- 24 _ 2sin-,cos5當(dāng)為第二象限角，則tan2,sin2.5,cos5、55 ；當(dāng)為第四象限角，則tan2,sin2-5,cos5點評：根據(jù)條件要能靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系解題. 號判斷象限的方法，回避了其他不必要的討論.如本題采用先求正切值，并利用其符例4 已知tan3sin 2cos(1);2sin cos分析：可以根據(jù)例4的方法,1一,求下列各式的值.一 4 2(2) 3sin求解出 sin2sin coscos 的值代入,2cos也可以先對代數(shù)式進(jìn)行變形,點評：本題巧用單位圓中的三角函數(shù)線及弧長公式將抽象的問題具體化，利用顯而易見的面 積大小關(guān)系比較線段長短，很好地體現(xiàn)了

7、數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.已知sin =-2cos ,求的正弦值、余弦值及正切值.靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系求解.將所求式化成只含tan的式子再代入，此處采用后一種方法.解：sin 2costan 2(2)2sincos2 tan1 2-3-1;(A3sin22sincos2 cos2-.3sin 2sin cos2 cos2 sin2 cos3tan22 tan 1tan211 217 2 ( 3)1(1)2 1 3點評：本題是關(guān)于sin 、cos的齊次式的處理，將分子、分母同除以cos ，得到只含有tan 的式子再代值計算是處理此類問題的主要方法.值得一提的是對式的變形，此處靈活運(yùn)用了恒等式sin2

8、2 cos1,從而將原式轉(zhuǎn)化為齊次式.例5 已知sincos，求值：（1）sin cos ；(2) tan分析：（1）根據(jù)sin22cos 1 尋求 sin cos 與 sin cos的整體關(guān)系；（2）類比（1）的方法求 sincos,進(jìn)而得sin 、cos ,最后求出tan解：（1）因為sincos1,2一,所以sin 52 cos2sincos125，貝 U sin cos1225；(2)因為sincos12 0,且025所以sin0,cos 0 .又(sin2 cos )2sin cos故sin4-,cos53,所以tan 549一，所以25sinsincoscos點評：本題圍繞恒等式s

9、in22cos 1 考查了 sincoscos 及sin cos 之間的整體關(guān)系,其中對a角函數(shù)值符號的判斷也值得關(guān)注.例6 設(shè)已知sin ,cos是方程x2（V3 1）x m 0的兩個根，求:2coscos sin的值.m的值;sin2sin cos分析：（1）利用韋達(dá)定理及同角的平方關(guān)系得到關(guān)于m的方程求解；（2）先化簡再代入.解：由已知，有sin cos值1， sin cos m,因為sin2cos 1 2sin gpos ,所以3 2 3得m ,經(jīng)檢馴付合;2. 22_ sincossincossin cos33 1 .22sincos(2)sin cos cos sin點評：本題依然

10、圍繞恒等式sin2cos21考查sin cos與sin cos的整體聯(lián)系,但以韋達(dá)定理為背景，因此還要注意對判別式的檢驗；對于代數(shù)式求值問題，一般都是采取 先化簡后求值的方法.例7求值 TOC o 1-5 h z ooooo(1) sin( 1320 )cos1110 cos( 780 )sin 750 tan 495 ;2192107(2)2sin - tan tan( 一 ).434分析：誘導(dǎo)公式的運(yùn)用.解：(1)原式二sin( 4 360o 120o)cos(3 360o 30o) cos( 3 360o 300o)sin(2 360o 30o) tan(360o 135o)= sin1

11、200cos30o cos300osin30 o tan135o= sin 600cos30o cos60osin30o tan 45o TOC o 1-5 h z .3.31 1 ,=1 =0;222 2_ . 2 . .324(2)原式= 2sin (4)tan (2)tan( 2)434-.2324= 2sin tan tan 43422= 2sin 一 tan tan 434=2 (7)2 (而2 1=4.點評：本題屬于靈活使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行計算，首先將問題轉(zhuǎn)化為求0360。之間角的三角函數(shù)值，然后將問題轉(zhuǎn)化成求 090。之間角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想.已知sin 2且2k 22

12、k3 (k Z),求 sin 2的值.分析:結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角函數(shù)關(guān)系式加以解決.解：由 sin - 2所以sin - 2即cos又因為2k2k(k Z)由、及同角三角函數(shù)關(guān)系可得:sin,1 cos2所以sin 7sin 7sinsin點評：本題先考慮利用誘導(dǎo)公式對已知和所求進(jìn)行化簡，再用同角三角函數(shù)關(guān)系來溝通已知 與所求.對于此類三角函數(shù)求值問題，也需要關(guān)注已知與所求之間的直接聯(lián)系，例如“已知cos(7S3,且180o90,求 cos(15o)的值”.設(shè)tan87.15 sin 一73cos 衛(wèi)分析：注意對角87的整體處理.解：sin原式二sin 4sinsin8787sin207cos7

13、2273coscos 23coscos8787tantan點評：4.化簡時需要向已知條件看齊，運(yùn)用整體思想. 自我檢測(1)已知角 的終邊經(jīng)過點P(4, - 3),則 2sincos(2)當(dāng) 為第二象限角時,| sin|cos - 日!L 的值是sin|cos |2sin2(3)已知(,2),tan 工，則sin cos2的值是(4)已知sincos8,且4一則 cos 2sin(5)設(shè) tan2,4sin求菰s2cos 田人/士的值.3sin(6)求值: sin(16_o)； cos( 840 )3； sin315o sin( 480o) cos( 330).一 ，、1 i.，3(7)已知

14、cos( )貝U sin(三、課后鞏固練習(xí)1.已知點P(3, y )在角的終邊上，且滿足y V 0, cos3一，求 tan52.若sin tan 0,且 sinx+cosx0,則角x的終邊在第4.函數(shù)ysin x | cosx | | sin x | cosx回上的值域是 | tan x |5.已知角的終邊是OP,角的終邊是OQ,試在圖中作出的三角函數(shù)線，然后用不等號( )填空:sinsin(2)coscostantan6.已知sin5，(2,的值等于7.化簡V1 2sin 4 cos4的結(jié)果是8.已知：3sincos ,求下列各式的值:3cos2-2；sin sin cos(2) 1 si

15、n cos .若sin , cos 是方程2x2 -x -m = 0的兩個根，求 m的值.八”. 2.2.2.222.化簡：(1)sin sin sin sin cos cos一 4 一一22 一一4小、sin cos sin cos44，1 sin cos Ji 2sin10 cos10sin10 .1 sin210.化簡：sin262o tan54otan45otan36o sin2280.設(shè)a是第二象限角，且 cos一：1 cos2 ()，則一是第象限角. TOC o 1-5 h z 2,22,35 、.， 46 、3755，. 求tan( 一)sin( 一)cos- tan的值;636

16、6.化簡：(1)1 2sin( )cos( )(是第三象限角)；22,、1 sin sin(2 ) cos ()2)2sin( ) cos( ) cos( )sin( ) 5cos(2 ). 右 sin( ) 2cos(2 ), 求值： -3cos( ) sin( ).已知 cos() m(|m| 1),求cos(7)的值.6617.已知 cos(751)-,為第三象限角，求cos(15 ) sin( 15)的值. 3B組.已知角”的終邊在直線y= - 3x上，則2sin cos a的值是4.角的終邊在直線y 3x上，且sin 0,若P (m, n)是 角終邊上一點，且|PO|=JT0(O為原

17、點)，則m n .sin1 cos2.若角為第二或第四象限角，則,的值等于sin2 cos.已知 | sin | = sin , |cos | = - cos ,且 sin cos 0 ,試判斷 P(tan , sin ) 在第 象限.利用單位圓寫出符合下列條件的角x：(1)若 sinx v 1,則 xe 2(2)若 cos x 【，則 x e 223. e(o,2）且$田 ,cos 是萬程5x12 x530的兩根，求sin3cos,11 ，tan高一，,a”iOT 的值.24.若 sin tan0,化簡:1 sin.1 sin：1sin11 sin322cos sin (225.設(shè) f( )

18、 = 22 2cos2()sin(一 ) 32,求f(_)的值.)cos( )33 、126.已知 sinx sin( x) J2,求tanx 的值.2tan( x).若 f(sinx)= cos2x ,貝U f (cos15o)的值為.設(shè) sin( )m-3, cos()2m1,求m與 tan 的值. TOC o 1-5 h z m 1m 1C組29.已知角 ”的終邊經(jīng)過點 P(sin cos2?),且0w a0),則使f(a) = 的一個函數(shù)是一若 f(n)=sinnT,貝U f(1) f f(5) f f f(11) =.已知 tan a+=:，貝U tan2 a+ 2=tan a 4s

19、in acos a tan2 a224(1)若 sinsin 1 ,貝U cos cos .33(2)已知 4sin cos 5sin 5cos 1 0,那么 sin cos=.已知 sin1 ,求值：tan 2 tan . (1)若 f (sinx) = sin3x,求 f(cosx)；(2)若 f(cosx) = cos(2009x),求 f (sinx). TOC o 1-5 h z 22.化簡： COS ()COS ()；44(2) sin4n 1sin4n 1(n Z).37.設(shè) f(x)sin x(x 0)f (x 1) 1(x 0)g(x)cos x(x1 g(x 1) 1(x

20、2)3,f -的值438.在三角形 ABC中，若sin(2A) 2sin( B),.3 cos(2 A)J2cos(B) 求ABC的三個內(nèi)角 A、B、C的大小.39.已知 1 cos cos sin cos 0,1 cos sin sin sin 0, 求 sin .40.若等式vtan2 x sin2 xtanxsinx成立，求x的集合.知識點任意角三角函數(shù)值的 定義三角函數(shù)值的符號誘導(dǎo)公式三角函數(shù)線的應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系綜合題題號汪思點注意分類討論的思想方法注意分類討論的思想方法熟練運(yùn)用公式，體會化歸思 想注意三角函數(shù)線由方向確定 數(shù)量的正負(fù)注意平方關(guān)系的靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用同角關(guān)系和誘導(dǎo)公四

21、、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野三角學(xué)在我國的發(fā)展我國對三角知識的研究淵源較早.西漢末東漢初（約一世紀(jì)），我國古老的數(shù)學(xué)書籍周髀算經(jīng)一書里，記載著公元前7, 8世紀(jì)人們?nèi)绾斡嬎愕孛嬉稽c到太陽距離的方法.當(dāng)時人在周城（周成李所建的都城洛邑，就是現(xiàn)在河南洛陽），立8尺高的竿，如圖所示.某一天正午測得竿影長是6尺，又在北方相距2000里的地方立同樣高的竿子，測得它的影長為6尺2寸.他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距離是2000 60 6000（里），太陽距離地面的高62 60日 2000 80是 80000（里）.然后根據(jù)勾股定理，求出測者到太陽的距離是100000里.62 60據(jù)記載，周代的天文官員，利用“重差術(shù)”測得太陽高遠(yuǎn).三國時著名數(shù)學(xué)家劉徽，在 古人“重差術(shù)”的基礎(chǔ)上，編撰了海島算經(jīng)一書.春秋時代的考工說一書，對“角”已有初步認(rèn)識.用“倨句”表示角度的多少，其 中直角叫做“矩” .唐朝開元六年（7