2019-2021年高考數(shù)學（理）真題匯編——專題11 平面向量（教師版）

1、專題11 平面向量1.【2021浙江高考真題】已知非零向量，則“”是“”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，則，推不出；若，則必成立，故“”是“”的必要不充分條件故選：B.2.【2021全國高考真題】已知為坐標原點，點，則( )A.B.C.D.【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，所以，故，正確；B：，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由

2、題意得：，正確；D：由題意得：，故一般來說故錯誤；故選：AC3.【2020年高考全國III卷理數(shù)】6.已知向量a，b滿足，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】，.，因此，.故選：D.【點評】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.4.【2020年新高考全國卷】已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【

3、點評】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.5.【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為A. B.C. D. 【答案】B【解析】因為b，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B.【名師點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為.6.【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知=(2，3)，=(3，t)，=1，則=A.3B.2C.2D.3【答案】C【解析】由，得，則，.故選C.【名師點睛】本題考點為平面向量的

4、數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大.7.【2019年高考北京卷理數(shù)】設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】與的夾角為銳角，所以，即，因為，所以|+|；當|+|成立時，|+|2|20，又因為點A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|”的充分必要條件，故選C.【名師點睛】本題考查充要條件的概念與判斷平面向量的模夾角與數(shù)量積，同時考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想.8.【2021浙江高考真題】已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的

5、最小值為_.【答案】【分析】設，由平面向量的知識可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【點評】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.9.【2021全國高考真題(理)】已知向量.若，則_.【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】，解得，故答案為：.【點評】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條

6、件是其數(shù)量積.10.【2021全國高考真題】已知向量，_.【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.11.【2021全國高考真題(理)】已知向量，若，則_.【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.【詳解】因為，所以由可得，解得.故答案為：.【點評】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分.12.【2021北京高考真題】，則_；_.【答案】0 3 【分析】根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】，.故答案為：0；3.13.【2020年高考全國卷理數(shù)】設

7、為單位向量，且，則_.【答案】【解析】因為為單位向量，所以所以，解得：，所以，故答案為：.【點評】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.14.【2020年高考全國II卷理數(shù)】已知單位向量，的夾角為45，與垂直，則k=_.【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：.【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運算法則，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15.【2020年高考天津】如圖，在四邊形中，且，則實數(shù)的值為_，若是線段上的動點，且，則的最小值為_.【答案】(1). ；(2). 【解析】，解得，以點為

8、坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，的坐標為，又，則，設，則(其中)，所以，當時，取得最小值.故答案為：；.【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.16.【2020年高考北京】已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_；_.【答案；【解析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、，則點，因此，.故答案為：；.【點評】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點的坐標是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.17.【2020年高考浙江】已知平面單位向量，滿足.設，向量，的夾角

9、為，則的最小值是_.【答案】【解析】，.故答案為：.【點評】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18.【2020年高考江蘇】在ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若(m為常數(shù))，則CD的長度是 .【答案】【解析】三點共線，可設，即，若且，則三點共線，即，設，則，.根據(jù)余弦定理可得，解得，的長度為.當時， ，重合，此時的長度為，當時，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點評】本題考查了平面向量知識的應用、余弦定理的應用以及求解運算能力，解答本題的關(guān)鍵是設出.19.【2019年高考全國III卷理數(shù)】已

10、知a，b為單位向量，且ab=0，若，則_.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以 .【名師點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.20.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形中，點在線段的延長線上，且，則_.【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標系，DAB=30，則，.因為，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，所以.所以.【名師點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便.21.【2019年高考江蘇卷】如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_.【答案】.【解析】如圖，過點D作DF/CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC的中點，知BF=FE=EA，AO=OD.，得即故【名師點睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.22.【2019年高考浙江卷】已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值