01集合 王振堂 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)課件

1、 一、集合的概念 二、集合的表示法 三、全集與空集 四、子集 五、集合的運算 六、集合運算律 七、集合的笛卡爾乘積1.1 集合一、集合的概念 集合是具有某種屬性的事物的全體, 構(gòu)成集合的事物或?qū)ο蠓Q為集合的元素. 集合舉例: 例1. 1980年2月1日在北京市出生的人. 例2. 彩電, 電冰箱, 錄像機. 例3. x2-5x+6=0的根. 例4. 全體偶數(shù). 例5. 直線x+y-1=0上所有的點. 通常用大寫字母A、B、C等表示集合, 用小寫字母a、b、c等表示集合的元素. 如果a是集合A的元素, 那么記作aA, 讀作a屬于A; 如果a不是集合A的元素, 那么記作aA, 讀作a不屬于A. 由有

2、限個元素構(gòu)成的集合稱為有限集合, 由無限多個元素構(gòu)成的集合稱為無限集合. 一、集合的概念 集合是具有某種屬性的事物的全體, 構(gòu)成集合的事物或?qū)ο蠓Q為集合的元素. 二、集合的表示法列舉法: 按任意順序列出集合的所有元素, 并用花括號括起來. 例1. 由a、b、c、d四個元素組成的集合A可表示為 A=a, b, c, d. 例2. 由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合B可表示為 B=2, 3. 描述法: 設(shè)P(a)為某個與a有關(guān)的條件或法那么, A為滿足P(a)的一切a構(gòu)成的集合, 那么記為 A=a|P(a). 例3. 由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合B可表示為 B=x|x2-5x+6=0.

3、例4. 全體偶數(shù)構(gòu)成的集合可表示為 D=x|x=2n, n為整數(shù). 三、全集與空集全集: 由所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集, 記為U. 全集是相對的, 一個集合在一定條件下是全集, 在另一條件下就可能不是全集. 例如, 討論的問題僅限于正整數(shù), 那么全體正整數(shù)的集合為全集; 討論的問題包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù), 那么全體正整數(shù)就不是全集. 空集: 不包含任何元素的集合稱為空集, 記作. 例. x2+1=0的實數(shù)根構(gòu)成的集合為空集. 三、全集與空集全集: 由所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集, 記為U. 四、子集 定義1.1 如果集合A的每一個元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那

4、么稱A為B的子集. 記為AB或BA, 讀作A包含于B或B包含A. 例1. 設(shè)N表示全體自然數(shù)的集合, F表示全體有理數(shù)的集合, 那么有NF. 例2. 設(shè)A=1, 2, 3, 4, 5, B=1, 3, 5, 那么BA. 定義1.2 設(shè)有集合A和B, 如果BA且AB, 那么稱A與B相等, 記作A=B. 例3. 設(shè)A=x|x為大于1小于4的整數(shù), B=x|x2-5x+6=0, 那么A=B. 四、子集 定義1.1 如果集合A的每一個元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那么稱A為B的子集. 記為AB或BA, 讀作A包含于B或B包含A. 關(guān)于子集有以下結(jié)論: (1) AA; (2) A;

5、 (3)如果AB, BC, 那么AC. 定義1.2 設(shè)有集合A和B, 如果BA且AB, 那么稱A與B相等, 記作A=B. 四、子集 定義1.1 如果集合A的每一個元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那么稱A為B的子集. 記為AB或BA, 讀作A包含于B或B包含A. 五、集合的運算 定義1.3 設(shè)有集合A和B, 由A和B的所有元素構(gòu)成的集合稱為A與B的并, 記為AB. 即AB=x|xA或xB. AB 定義1.4 設(shè)有集合A和B, 由A和B的所有公共元素構(gòu)成的集合稱為A與B的交, 記為AB, 即 AB=x|xA且xB. 五、集合的運算 定義1.3 設(shè)有集合A和B, 由A和B的所有元

6、素構(gòu)成的集合稱為A與B的并, 記為AB. 即AB=x|xA或xB. ABAB集合的并與交有以下性質(zhì): (1) AAB, BAB; ABA, ABB. (2)對任何集合A有 A=A, AU=U, AA=A; A=, AU=A, AA=A. 五、集合的運算ABAB 例1. 設(shè)A=1, 2, 3, 4, B=3, 4, 5, 6, 那么 如果AB=, 那么稱A、B是別離的. ABAB 例4. 如果A為奇數(shù)集合, B為偶數(shù)集合, 那么ABAB 例3. 設(shè)A=x|-1x1, B=x|x0, 那么表示會英語且會日語的人的集合. 表示會英語或會日語的人的集合, 例2. 設(shè)A為某單位會英語的人的集合, B為會

7、日語的人的集合, 那么=3, 4. =1, 2, 3, 4, 5, 6, ABABABAB=x|0 x1. =x|x-1, =. =x|x為奇數(shù)或偶數(shù), 定義1.5 設(shè)有集合A和B, 屬于A而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合稱為A與B的差, 記為A-B. 即 A-B=x|xA且xB. 例5. 設(shè)A=1, 2, 3, 4, B=3, 4, 5, 6, 那么A-B =1, 2. A-B補集有以下性質(zhì): 定義1.5 設(shè)有集合A和B, 屬于A而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合稱為A與B的差, 記為A-B. 即 A-B=x|xA且xB. A-B 例6. 設(shè)參加考試的學(xué)生為全集U. 如果A表示及格的學(xué)生集合, 那

8、么A表示不及格的學(xué)生集合. 補集有以下性質(zhì): 定義1.5 設(shè)有集合A和B, 屬于A而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合稱為A與B的差, 記為A-B. 即 A-B=x|xA且xB. 六、集合運算律 (1)交換律: AB=BA AB=BA (2)結(jié)合律: (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (3)分配律: (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) (4)摩根律:七、集合的笛卡爾乘積 將兩個元素x和y按前后順序排列成一個元素組(x, y), 稱為二元有序數(shù)組. (x, y)與(y, x)是兩個不同的二元有序數(shù)組. 類似地, 有三元有序數(shù)組(x, y, z), , n元有序數(shù)組(a1, a2, , an). 定義1.7 設(shè)有集合A和B. xA, yB, 所有二元有序數(shù)組(x, y)構(gòu)成的集合稱為集合A與B的笛卡爾乘積, 記為AB. 即 AB=(x, y)| xA, yB . 類似地, 可以定義 ABC=(x, y, z)| xA, yB, zC . 例1. 設(shè)A=1, 2, 3, 4, B=2, 3