立體幾何 合理建系 優(yōu)化運算

1、合理建系優(yōu)化運算類型一、斜棱柱中建坐標系 例1-1 (2021南京二模T20)如圖，三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱長都為2, B；,且(1)求證：平面平面A8C；(2)假設(shè)點P在棱BBi上且直線CP與平面ACCiAi所成角的正弦值為右求BP 的長.【解析】(1)略；(2)解：以。C, DA,所在直線為, y, z軸建立如下圖的空間直角坐標 系，那么 A(0, 1, 0), 3(0, -1, 0), C4,0, 0),囪(0, 0, 回因此麗 =(0, 1,事), 工=(5，-1, 0), 幅=鬲 =(0, 1,5).因為點P在棱仍|上，貝I設(shè)用=入函=0, 1,5),其中08X1.那么曰=

2、遂 + 初=遂+2麗=(一小，1+九 小力. 設(shè)平面ACGAi的法向量為=(x, y, z),0IV人得A4i=0,取 x=l, y=,y=0, z=0.z= - 1,所以平面ACGAi的一個法向量為=(1,小,-1).因為直線CP與平面ACCiAi所成角的正弦值為小B%8分nCP _2狙4所 以 COS V 幾，CP = / /- y; 5 = |川 X| 守I 小 x3 +(a-1)2 + 3%5化簡得16萬一82+1 =0,解得丸=,所以 5P=188=* 12分解決關(guān)鍵點：選擇坐標系的原那么就是將底面頂點盡可能多的置于坐標軸上，這樣能確保正確讀取空間點的坐標.(2)求直線以與平面總C所

3、成角的正弦值.0），設(shè)平面PBC的法向量為n = (%,y,z),那么萬萬=0,即元PC = 0V3 .0 x+y-z = 0 2y/3X . Z = 0類型二、棱錐建系例2 (2021邢臺月考)如圖，在四棱錐pA8C。中，平面PAD,平面A3C。，ABAD AB = 叵，AACD是邊長為2的等邊三角形，AR4。是以AO為斜邊 2的等腰直角三角形.(1)證明：平面PDCJL平面【解析】(1)略;(2)解：取4)的中點O,連接P。，CO,因為B4 = PD,所以POLAD,又因為POu平面B4O,平面 平面 45CD,所以POJ_平面ABCD,因為COu平面ABCD,所以POLCO,因為AC =

4、 CO,所以O(shè)CJ_AO.如圖，建立空間直角坐標系。-孫Z,由題意得，A(0, 1,C(V3,0,0) , 0(0, -1, 0) , P(0, 0, 1),所以胡= (0,1,1), PC = (V3,O,-1), PB = (,1,-1).令X=l,那么zM ,所以萬=(母病所以|cosm麗|二| .上nPA所以|cosm麗|二| .上nPA/2 x19VH4938那么直線批與平面詠所成角的正弦值為嶗.解題關(guān)鍵點：盡量利用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，再建立空間直角坐標 系.建系時讓一些點、線段盡量與坐標軸重合.【鞏固練】如圖，在四棱錐P-A8CQ中，底面ABC。為菱形，為正三角形, 平面

5、%。，平面ABCD E,尸分別是AZ), C。的中點.(1)證明：BD.LPF；(2)假設(shè)NA4D=60。，求直線PC與平面P3O所成角的正弦值；【解析】(1)連接AG因為在AOC中，E,尸分 別是A。，C。的中點，所以EF/AC, 又因為在菱形ABC。中ACLBQ,所以30,政； 因為以。為正三角形，為AO中點，所以PJ_ AD；又因為平面 出。，平面A3CD 平面B4DCI平面 ABCD=AD, PEu 平面 PAD ,所以PEJ_平面A3CD,又灰)u平面A5CZ),所以 PE1BD；因為PECIEQE, PE,EFu平面PEF,所以5。，平面PEE又Pbu平面PER所以BQJ_PF；(

6、2)連接8石，因為NA4Q=60。，所以ADB為等邊三角形，所以8ELAD；由(1)知，PEJ_平面ABC。，故以為原點，建立如下圖的空間直角坐標系設(shè) AQ=2，那么 P(0,0，G)，網(wǎng)0,瓜,0), 42,鳥,0), D(-aOO)那么 PC =12a,百a,-y3aj,BD =卜a,-Ca,O),PD =卜,0,-ga) 設(shè)平面P8。的法向量為為=(8y, z), TOC o 1-5 h z n - BD = -ax - yj3ay = 0( r _ 廠 ，可取萬=- K，l，l , n - PD = -ax - j3az = 07所以cos無，萬=逅，故直線PC與平面P&）所成角的正弦

7、值為亞 55類型三、旋轉(zhuǎn)體例3-1 （2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標I ）如圖，。為圓錐 的頂點，。是圓錐底面的圓心，為底面直徑，AE = AD. ASC是底面的內(nèi) 接正三角形，。為。上一點，po=do.6（1）證明：PAJ_平面尸3C；（2）求二面角PCE的余弦值.【解析】（1）由題設(shè)，知D4E為等邊三角形，設(shè)A = l,那么。0 =左，co = bo = -ae = -9 所以 po = do =也, 22264PC =+ 0。2邛,注份漏邛,又為等邊三角形，那么蕊=2見所以昨孝,又為等邊三角形，那么蕊=2見所以昨孝,3PA2 +PB2 =- = AB2 9 貝 lJZAM

8、 = 90,所以 PA_LP3, 4同理 PA_LPC,又 PCCPB = P,所以 B4_L 平面 P3C； (2)過。作QVBC交于點N,因為POJ_平面ABC,以。為坐標原點，04為x軸，0N為y軸建立如下圖的空間直角坐標系,那么叫O0）,P（0,0，）I（廿里。）,。（一* 亭0）那么叫O0）,P（0,0，）I（廿里。）,。（一* 亭0）麗=4%爭，而=（-；,（）,邛）,設(shè)平面PCB的一個法向量為 =（5,y,4）,fH - PC 0 /曰-X= 0由卜麗=0,付葭+島=0令工1=垃,得Z=Th=0,所以 7 =（夜,0,-1）,設(shè)平面PCE的一個法向量為根= （%2，%，Z2）m

9、- PC = 0m - PE - 0 所以m=（1,且一0）,設(shè)二面角3PC石的大小為。，那么8$。= 撞5【鞏固練】用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的幾何體稱為圓臺, 也可稱為“截頭圓錐在如圖的圓臺OO中，上底面半徑為1,下底面半徑為2, 母線長為2.(1)結(jié)合圓臺的定義，寫出截面A6CQ的作圖過程；(2)圓臺截面ABCQ與截面AZ)所是兩個全等的梯形，假設(shè)AB = AF = 2,求二面角 E-AD-3的平面角的余弦值.z軸建立如下圖的空間【分析】(1)由圓臺的定義，延長圓臺的軸與母線交于點P, 在底面圓。上任取一點A ,作出圓錐的兩條母線，兩 條母線與圓臺的上下底面相交，即可得

10、到截面.(2)取4方的中點G,連接0G.那么可得以0 為坐標原點，OG, OB,。所在的直線分別為龍，V, 直角坐標系.利用向量法求解二面角.【解析】(1)延長圓臺的軸與母線交于點P, 在底面圓。上任取一點A,連接轉(zhuǎn)，交圓。于點連接。4, OD,在圓。內(nèi)，以點A為圓心畫弧，交圓。于點8, 連接03，PB,交圓。于點C,連接Oc, CD, 那么四邊形ABC。即為截面.(2)取A廠的中點G,連接0G.由= A尸=。歹=。5 = 2 等邊Q4F中可得OGJ_A尸，由N3N + NOE4 = ,可得08/A尸, 所以(9GJ_O3,在圓臺中，00平面A3OF,所以O(shè)OOG, OOf LOB, 所以以。

11、為坐標原點，OG, OB, OO,所在的直線分別為, y, z軸建立如圖所 示的空間直角坐標系.因為 BC = 2, 08 = 2, OfC = l9 所以 G那么點 A(l,0), 3(020) , F(V3,-l,0),。虧亍G , 所以麗= (-6,1,0), AD= -,-,V3 ,包= (0,2,0).設(shè)平面ABCQ的法向量為勺=(5，x，zj ,.(-1,0) = 0,(%，)，令芯=1,得) = (1,G/).設(shè)平面ADE尸的法向量為2式心必心)., g 幾, AD = 0由心，AO,小J_E4得一八, n2- FA = 0畀叫=。，令占=2,得區(qū)= (2,0,1),(工2，%/2)(。2。) = 0由圖易知二面角-4)-3為鈍角,所以二面角E-4)-8的平面角。的余弦值cosa35解決關(guān)鍵點：向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取.建：建立空間