電動力學Chapter

1、第三章 靜磁場(cchng)張清民 副教授核科學與技術(jsh)學院能源與動力工程學院西安交通大學共一百零三頁靜磁場(cchng)研究(ynji)的問題:給定傳導電流以及周圍空間介質情況下的磁場 靜磁邊值問題研究的思路:磁矢勢法Page 2共一百零三頁當滿足一定條件:求解區(qū)域(qy)是沒有傳導電流的單連通區(qū)域(qy)磁標勢法Page 3共一百零三頁Page 4目錄(ml) 3.1 矢勢及其微分方程(wi fn fn chn) 3.2 磁標勢 3.3 磁多極矩 3.5 超導體的電磁性質 3.4 阿哈羅諾夫-玻姆效應共一百零三頁Page 5一、 矢勢穩(wěn)定磁場是有旋場 ，一般不能引入標量勢，但是，我

2、們卻可以根據(jù)它的無源性，引入一個矢量函數(shù)矢勢來描述穩(wěn)定磁場。 因為 ， 根據(jù)矢量分析公式，任一矢量旋度的散度恒等于零，即所以磁感應強度可表示為A稱為磁場的矢勢為了看出矢勢A的意義，把B對任一個以回路L為邊界的曲面(qmin)S 積分，得式中左邊是通過曲面S的磁通量(3.1-1)(3.1-2)3.1矢勢及其微分方程(wi fn fn chn)共一百零三頁因此，矢勢A的物理意義(yy)是它沿任一閉合回路的環(huán)量等于以該回路為邊界的任一曲面的磁通量。所以只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點上的A(x)值沒有直接的物理意義由式（3.1-1）可知，通過A可以確定B，但對于某一確定的磁場B，矢勢A卻并不唯一（教

3、材p76舉例）。這是因為，任一標量函數(shù) 的梯度再取旋度恒等于零，即若A是磁場B的一個矢勢, ，則A加上任意標量數(shù)的梯度 后得到的新矢量 (3.1-3)也是磁場B 的矢勢：這就是說，對于一個給定的磁場 B，矢勢可按下面的關系作變換這樣的 可以有無限多個。這種變換叫做矢勢的規(guī)范變換，選定一個 就叫做一種規(guī)范。Page 6共一百零三頁實質上，A的這種任意性是由于 只確定了A的旋度，而要完全確定一個矢量場，還必須給出它的散度。A的這種不確定性表面上看似乎使問題復雜了，實際上卻不然，因為我們可以適當選取 的函數(shù)形式，從而使場方程化成最簡單的形式。通常是取 (3.1-4)按這個條件選擇的A稱為庫侖規(guī)范下的

4、A，(3.1-4)式稱為庫侖規(guī)范條件或橫場條件。從數(shù)學上看，任何一個矢量場都可以看成是縱場和橫場的疊加，旋度為零而散度不為零的場稱為縱場，散度為零而旋度不為零的場稱為橫場。前者的力線具有發(fā)散狀結構，后者的力線又有渦旋狀結構。庫侖條件表明(biomng)：我們所取的A只有橫場而不包含有縱場。Page 7共一百零三頁 為了滿足庫侖規(guī)范條件，應選什么樣的函數(shù)呢?假如有一個矢勢A不滿足庫侖條件，例如 ，我們總可以找到一個新的矢勢 ，使它滿足庫侖條件這就要求 不難看出，滿足這個方程(泊松方程)的 也不是唯一的，所以即使我們選定(xun dn)了庫侖規(guī)范，矢勢A也還不是唯一的，還可以相差一個滿足拉普拉斯方

5、程的標量函數(shù)的梯度： (3.1-5) 若A滿足 ， ，則 也滿足 ， . 不過在經典物理的范圍內，這種不唯一性對于我們進一步研究磁場并沒有影響。Page 8共一百零三頁在均勻線性介質內， ，將此式與式 一起代入式 ，得 (3.1-6)由矢量分析(fnx)公式可知取A滿足庫侖規(guī)范條件 ，A滿足的微分方程 可見在穩(wěn)恒場條件下，矢勢A與標勢滿足同樣形式的微分方程，即泊松方程。在三維空間中，上式可分解為三個分量方程。如采用直角坐標系，分量方程為 (3.1-8) 在柱面坐標系和球面坐標系中，(3.1-7)式的分量方程形式比較復雜。參見附錄。(3.1-7)二、 矢勢微分方程(wi fn fn chn)Pa

6、ge 9共一百零三頁在由均勻(jnyn)線性介質構成的無界空間中，靜電勢泊松方程 其解為與此對應，這類無界空間中，(3.1-8)式的解應為 (3.1-9)對三個分量式求矢量和，則有 (3.1-10)在線電流的情況下，作代換 ，上式變?yōu)?(3.1-11)Page 10共一百零三頁這正是(zhn sh)畢奧薩伐爾定律。 對 取旋度，得到(d do)了靜磁場的分布規(guī)律Page 11共一百零三頁(3.1-14)(3.1-15a)(3.1-15b)三、 矢勢邊值關系(gun x)在兩介質分界(fn ji)面上磁場的邊值關系為將介質狀態(tài)方程 和 代入上式后，可得矢勢A的邊值關系(適用于非鐵磁性材料)(適用

7、于鐵磁性材料 )Page 12共一百零三頁 當回路短邊的長度(chngd)取高階無窮小量時，回路所包面積趨于零，則通量由 ，可得到 即 (3.1-16)圖3-1中，對狹長回路(hul)應用安培環(huán)路定理我們還可以導出另一組以A表示的邊值關系。（1）切向分量Page 13共一百零三頁 當圓柱側面面積取高階無窮小量時，可推出 , 即 (3.1-17) 綜上，(3.1.16)和(3.1.17)式合起來(q li)得 (3.1-18) 即在兩介質分界面上，矢勢A是連續(xù)的。在圖32中，對小圓柱體應用(yngyng)高斯定理于庫侖規(guī)范條件 （2）法向分量Page 14共一百零三頁1. 磁場的總能量為 (3.

8、1-20)在靜磁場中，可以用矢勢和電流(dinli)表示總能量.由于 ，則上式第一項在無窮遠界面上的積分趨于零，而因此 (3.1-21)四、靜磁場(cchng)的能量和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能 看作能量密度.附錄(I.21)式Page 15共一百零三頁2. 電流(dinli) J 在外磁場中的相互作用能設電流 在外電流 產生(chnshng)的磁場中， 表示是由 產生的勢， 為 產生的勢，因此整個空間中電流體系的總磁場能量為自能互能Page 16共一百零三頁顯然(xinrn)上面兩式是完全相同所以，減去J和Je分別單獨存在時的能量后，得到電流 J 處在外磁場中的相互作用能的形式

9、為Page 17共一百零三頁例1.無窮(wqing)長直導線載有電流I,求磁場的矢勢和磁場應強度.解法(ji f)一:dzzpRP0五、 例題Page 18共一百零三頁Page 19共一百零三頁解法(ji f)2:RIPR0P0lPage 20共一百零三頁 解：取導體平面為xoz平面， 方向為z 軸方向，用直角坐標系, 由 的方向可知空間各點 A 只有z 分量，且與x、z 無關。所以(suy) , 只有z 分量方程，在由導體平面分開的空間左右方，各用一個微分方程表示：例2無窮大導體(dot)平面上流有均勻面電流 ，求空間中的矢勢A和磁場B.例2圖Page 21共一百零三頁Page 22共一百零

10、三頁Page 23例3半徑為a的導線園環(huán)載電流為I，求空間的矢勢和磁感應強度。解: 首先(shuxin)求解矢勢zyxRrao共一百零三頁Page 24由于具有軸對稱性，可以把觀察點選在xz平面上，這樣的好處(ho chu)是=0，故 只與r,有關。其中即得zyxRrao(a, )共一百零三頁又 圓電流環(huán)在xy平面上，故 ，于是得到(d do)因此得到：zyxRrao (a, )柱坐標(zubio)Page 25共一百零三頁作變換(binhun)，令Page 26共一百零三頁這樣(zhyng)于是有Page 27共一百零三頁 令 ，則有考慮選擇的x-z平面情況，這里(zhl)y 方向實際上就是

11、 方向。Page 28共一百零三頁因此(ync)上式可改為：Page 29共一百零三頁令這里(zhl)(k), F(k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到故磁感應強度的嚴格表達式可以由上式給出。Page 30共一百零三頁當Ra情況(qngkung)下，上式分母展開為：于是得到討論(toln)：圓形電流在遠處產生的場，即Ra，且有Page 31共一百零三頁因為(yn wi)Ra，所以Page 32共一百零三頁于是(ysh)磁感應強度為 可見，對于(duy)一個圓電流環(huán)，在遠處所激發(fā)的磁場，相當于一個磁矩為 的磁偶極子激發(fā)的場。Page 33共一百零三頁解靜磁場矢勢微分方程比解靜電場標勢微分方程

12、要復雜，因為前者要解三個標量微分方程而后者只解一個標量微分方程。那么在解靜磁場問題時能否(nn fu)有類似于靜電場那樣引入磁標勢，從而使問題得到簡化呢？ 3.2 磁標勢Page 34共一百零三頁一個空間區(qū)域V中的磁場可用標勢描述的條件是在其中作出的任何一條閉合曲線都不連環(huán)著自由電流。在區(qū)域V中任取一條閉合曲線L，設S是以L為邊界的任一曲面，規(guī)定L的繞行方向與S法向成右手螺旋關系。由于L不連環(huán)電流，流過曲面S的電流強度為零，由安培環(huán)路(hun l)定理：即 由于S面是任意的，在區(qū)域內必有 (3.2-1)所以H是個無旋場，可以引進一個標量函數(shù)描述。一、 磁場可以(ky)用標勢描述的條件共一百零三

13、頁必須(bx)注意，僅僅式(3.2-1)成立，即所考慮的區(qū)域內不存在電流，并不能保證這個區(qū)域中的磁場一定可以用磁標勢描述，例如空間一根無限長載流直導線，導線外的空間中不存在電流，但在導線外空間中仍可作出連環(huán)著電流的閉合曲線(如圖3.2-1中的L)。為了使導線外空間滿足可以用標勢描述的條件，我們需要去掉含導線在內的整個半無限大平面。這時(圖3.2-1)中的閉合曲線L，由于去掉了在半無限大平面上的點，就不再(b zi)是閉合的了。其余空間中任何一條閉合曲線都不會再連環(huán)著電流。共一百零三頁從物理上看上述作法相當于把磁場由橫場變?yōu)榭v場。由于去掉的部分切斷了原來閉合的磁力線，使磁力線從殼的一面發(fā)出，而終

14、止在殼的另一面上(對圖3.2.1情況是從半無限大平面(pngmin)一側發(fā)出，終止在另一側上)，就好象殼的一面分布有正磁荷，而另一面上有負磁荷，這樣磁力線就成為由正磁荷發(fā)出，終止在負磁荷上的縱場。因此可以用標勢描寫。至于永久磁鐵的磁場，由于其磁場是由分子電流激發(fā)，全空間中沒有自由電流，因而在全空間中都可用標勢描述。 同樣，對于(圖3.2-2)所示的電流圈，為了使除去電流圈的空間可以(ky)用標勢描述，需要去掉包含電流圈在內的一個薄殼層。共一百零三頁在其中磁場可以用標勢描述的空間區(qū)域中，磁場滿足 (3.2.2) (3.2.3)介質的電磁(dinc)性質方程是 (3.2.4)這里不寫 ，而寫成更一

15、般形式，是因為磁標勢法的一個重要應用就是求鐵磁性物質中的磁場。而對于鐵磁性介質， 不成立。我們用H描述磁場。把式(3.2.4)代入式(3.2.3)得 (3.2.5)二、 磁標勢的微分方程(wi fn fn chn)和邊值關系共一百零三頁和電介質極化電荷密度相仿 ，磁介質磁化假想磁荷密度可表示為 (3.2.6)將式(3.2.6)代入式(3.2.5)得 (3.2.7)引進磁標勢 描述磁場 (3.2.8)代入式(3.2.7)中，得磁介質內部磁標勢滿足的方程 (3.2.9)對于均勻(jnyn)、線性、各向同性磁介質， 式(3.2.9)中Poisson方程可化為Laplace方程。?共一百零三頁上面是應

16、用了靜電場考慮無電荷分布的情況下 對應關系(gun x)得到的由電荷(dinh)到磁荷的觀點共一百零三頁磁標勢在兩介質交界面上的邊值關系可以從普遍(pbin)磁場的邊值關系 (3.2.10) (3.2.11)得出。式(3.2.11)可以用邊值關系 代替。直接把 , 代入式(3.2.10)中，得出另一邊值關系其中對于非鐵磁質來說， ，故得到 (3.2.13) (3.2.14)(進行(jnxng)分量展開) (3.2.12) 共一百零三頁 三、 磁標勢和靜電場標勢比較(bjio)共一百零三頁這樣我們就可從靜電場的一組公式得到靜磁場的另一組公式。主要差別就是在磁場情況下不存在與自由電荷對應的磁荷，而

17、是與極化電荷相對應。上述對照表明(biomng)，引進磁標勢后，求解磁場的問題可以借助于求解靜電場的方法得到解決。共一百零三頁解：如圖，由邊界條件0則表面上任意兩點的磁標勢之差 ，表面為磁等勢面。此結果對設計磁極很重要：一般磁鐵材料的 很大。因之磁化后表面近似為等磁勢面，由表面 =常數(shù)的邊界條件可以解出磁極之間的磁場。適當(shdng)選擇磁極表面的形狀可以獲得不同的磁場。四、例題(lt)共一百零三頁解：共一百零三頁共一百零三頁共一百零三頁共一百零三頁解：思路，將載流線圈看成(kn chn)由L所圍的曲面上許多載流小線圈組合而成。共一百零三頁一、 矢勢的多極展開給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場(

18、cchng)矢勢為如果電流分布于小區(qū)域V內，而場點x又距離該區(qū)域比較遠，我們可以把A(x)作多極展開. 把 的展開式代入(3.3.1)式得 (3.3.1) 3.3 磁多極矩 小區(qū)域中的電荷在遠區(qū)的電場可以(ky)表示為各級電多極矩的迭加?，F(xiàn)在我們來證明，分布在小區(qū)域中的電流，其在遠區(qū)產生的磁場也可表示為各級磁多極矩的迭加。共一百零三頁其中(3.3.2)在穩(wěn)恒電流(dinli)條件下，線電流(dinli)全空間矢量和為零共一百零三頁小區(qū)域電流在遠處產生(chnshng)矢勢的多極展開式中，與小區(qū)域電荷在遠處產生(chnshng)標勢的多極展開式中電荷項是一一對應的。說明總磁荷(磁單極子)項為零，

19、這與自然界中不存在自由(zyu)磁荷的事實有關。對于展開式的第二項，由于穩(wěn)恒電流可以看作是由許多閉合電流管構成，我們就考慮一個閉合線圈來進行研究，假設電流為I，則（3.3.3）共一百零三頁即令則上式將變?yōu)楣惨话倭闳摾?lyng)恒等式其中(qzhng)令稱為回路電流的磁偶極矩它是小區(qū)域電流的磁偶極矩。電流磁偶極矩的這一定義是小圓形電流環(huán)磁偶極矩定義的推廣和普遍化。共一百零三頁對于(duy)連續(xù)分布的電流，做替換 得 (3.3.6) 所以(suy) (3.3.4) 將會是更高級的磁矩激發(fā)的矢量勢。因為比較復雜，所以 以上的近似一般不去討論。 綜上所述：小區(qū)域電流分布所激發(fā)的磁場，其矢勢可看作

20、一系列在原點的磁多極矩對場點激發(fā)的矢勢的迭加。共一百零三頁二、 磁偶極矩的場和磁標勢由 ，可得磁偶極矩的磁場當 時，由習題1.6知在電流分布以外(ywi)的空間中，磁場應該可以用標勢描述。由于m為常矢量，由矢量分析公式可知 電勢(dinsh)-電偶極矩共一百零三頁圖3.3-2三、 靜磁屏蔽用靜磁勢的方法解靜磁屏蔽問題，現(xiàn)在只討論一個簡單例子如圖3.3-2，將一個均勻磁介質的球殼放在勻強外磁場中設球殼的外半徑為r1，內半徑為r2，磁導率為 , 用 ， 分別代表球殼外部、球殼之中以及球殼內部的靜磁勢。設外加磁場沿正z軸方向，其強度為H0 . ， ，都滿足(mnz)拉普拉斯方程，問題具有軸對稱性，可

21、在球坐標系中求解，并根據(jù)邊值關系有限(yuxin)解的具體形式共一百零三頁由此可見，當磁殼的相對磁導率 很大時，磁殼內的磁感應強度比無磁殼時( )大大減弱了，這就是磁殼對外磁場的磁屏蔽作用通常在實驗上采用高磁導率的材料(例如數(shù)量級 )，實現(xiàn)磁屏蔽圖3.3-3就是磁屏蔽的B線分布(fnb)情況及給定的邊界條件來確定解。最后得到(d do)球殼內部的磁感應強度 3共一百零三頁圖3.3-3因為 是有限(yuxin)的，所以也不能完全實現(xiàn)磁屏蔽 共一百零三頁設外磁場Be的矢勢為Ae，電流分布 在外磁場中的相互作用能量為載電流為 I 的線圈在外磁場中的能量為S為電流回路L所包圍的曲面， 是外磁場Be 穿

22、過此曲面的磁通量。把回路所在區(qū)域內的適當(shdng)位置取為原點，將Be 對原點附近展開可得上式表示磁偶極子在外磁場中的相互作用能。m是電流線圈的磁偶極矩。(3.3.12)(3.3.13)(3.3.14)(3.3.15)四、小區(qū)域(qy)內電流分布在外磁場中的能量電偶極子在外電場中的能量？和此比較一下。共一百零三頁現(xiàn)在討論磁偶極子在外磁場中所受的力和力矩(l j)問題。設磁偶極子的電流為I, 其回路為L，產生外磁場Be的電流為Ie，回路為Le。這兩個電流系統(tǒng)的總相互作用能為若保持電流 I 和 Ie 不變，則磁能的改變?yōu)榈?，由于磁通量改變，在線圈上產生感應電動勢，它對電流作功，就會改變I 和

23、Ie 的值為了保持I 和 Ie不變，必須由電源提供能量，以抵抗感應電動勢所作的功在線圈I和Ie上的感應電動勢分別為(3.3.16)共一百零三頁才能保持(boch)I和Ie不變。設線圈移動時場對它作功 ，根據(jù)能量守恒，電源提供的能量 應等于總磁能的改變 加上對線圈所作的功 ：即對線圈所作的功等于磁能的增量而不是其減小量。用勢函數(shù)U使作功等于勢函數(shù)的減小，應有 共一百零三頁或 ，這是由于產生外場的電流(dinli)一般不出現(xiàn)在磁矩m所在的區(qū)域內。共一百零三頁例1.半徑為a的均勻帶電圓板,電荷密度(md)為,繞通過圓心垂直于板面的軸以恒定角速度轉動,求圓板的磁偶極矩及遠處的矢勢.五、例題(lt)共一

24、百零三頁zrRo共一百零三頁在經典電動力學中，場的基本物理量是電場強度 和磁感應強度 ，勢 和 是為了數(shù)學上的方便而引入的輔助量， 和 不是唯一確定的。為對應一個磁場，可以有無窮多的矢勢 ，所以在經典意義上說， 和 不是直接觀察意義的物理量。但是，在量子力學中，勢 和 具有可觀測的物理效應。1959年，阿哈羅諾夫(Aharonov)和玻姆(Bohm)提出這一新的效應（以下簡稱A-B效應），并被隨后(suhu)的實驗所證明實。 下圖為電學雙縫衍射實驗裝置。3.4 阿哈羅(h lu)諾夫玻姆效應共一百零三頁一束以電子槍發(fā)射出來的電子經雙縫分為兩束，分別經過路徑c1,c2到達熒光屏上，兩束電子有一定

25、的相位差，在屏上可得到 干涉花紋。若在雙縫后面放置一個細長螺線管 ，管上加一定電壓，以阻止電子進入螺線管，電子只能在管外區(qū)域(qy)行進。dLc1c2y共一百零三頁實驗分兩步進行：首先在螺線管不通電的情況下進行，這時整個空間 ， 。屏幕上有一定的干涉條紋。然后給螺線管通電，管外區(qū)域 （可視為無限長螺線管），但管外區(qū)域 ，這是因為在包圍螺線管的任一閉合路徑積分有 ，其中 為管內磁通。實驗發(fā)現(xiàn)(fxin)，屏幕上的干涉條紋發(fā)生移動。因為電子不會進入管內區(qū)域，因而兩種情況下的差別僅在于管外區(qū)域的矢勢 不同，所以可以認為管外的矢勢 對電子運動產生了作用。共一百零三頁干涉條紋的移動是由于兩束電子產生了附

26、加的相位差, 這種現(xiàn)象稱為阿哈羅諾夫玻姆效應(即A-B效應），這一實驗結果說明，磁場(cchng)的物理效應不能完全用 來描述，而 不再是一個沒有直接觀測意義的物理量，它可以影響電子波束的相位，從而使干涉條紋發(fā)生移動。A-B效應是量子力學現(xiàn)象?，F(xiàn)在從量子力學的基本原理出發(fā)，對以上實驗結果作一簡要分析。共一百零三頁當螺線管不通電時， 。自由電子波函數(shù)由平面波描述，即其中 是電子的動量， , 為普朗克常數(shù)(chngsh)。兩束電子波函數(shù)的相位差為其中d為雙縫寬度（即雙縫的間距），L為雙縫到屏幕的距離，因為Ld, yTc時，加上外磁場，這時超導環(huán)所圍的孔內也有一定的磁通，當T降到Tc之下后，把外磁場

27、移去，此時(c sh)環(huán)孔內磁通量保持不變，這就稱為磁通俘獲。對閉合回路C（足夠深以滿足Js=0）應用麥克斯韋(mi k s wi)方程對閉合回路C為邊界的任意曲面上進行積分共一百零三頁C將倫敦(ln dn)第一方程代入對時間進行積分(jfn)，并利用斯托克斯定理得稱為類磁通量，它是一個守恒量，說明了超導環(huán)的磁通量俘獲特性(積分常數(shù))共一百零三頁2. 磁通量子化一個(y )超導電子在磁場中的正則動量為A為矢勢將Ps 對圖中的回路(hul)C作線積分由及再利用斯托克斯公式上式變?yōu)楦鶕?jù)量子論，正則動量大小與德布羅意波長的關系為共一百零三頁由于超導電子在閉合環(huán)內運動時沒有能量損耗，是一種穩(wěn)定的運動，類似于氫