a+kb最值問題

1、“PA+k-PEm的最值問題當k值為1時，即可轉化為“PA+PE之和最短問題，就可用我們常見的 將軍飲馬”模型來處 理，即可以轉化為軸對稱問題來處理。當k取任意不為1的正數(shù)時，通常以動點 P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。其中 點P在直線上運動的類型稱之為 胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為 阿氏圓”問題。一、“將軍飲馬”模型將軍飲馬”：把河岸看作直線 L,先取A （或B）關于直線L的對稱 點A（或B）,連接AB（或BA）,并與直線交于一點P,則點P就是將軍飲馬的地點，即 PA+PB即為最短路線。例1.如圖，在銳角 4ABC 中，AB=4 , / BAC=45 , / BAC

2、的平分線交BC于點 D, M、N分別是 AD和AB上的動點，則 BM+MN 的最小值是 O例2.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 10, AD =6,動點P滿足Sapab = - S3矩形abcd,則點P至IJA, B兩點距離之和 PA+PB的最小值為.例3.如圖，/ AOB=30 ，點 M、N分別是射線 OA、OB上的動點，OP平分/ AOB ,且 OP=6, APMN 的周長最小值為 ;當 PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為變式：“造橋選址”模型例4.如圖，已知直線 all b,且a與b之間的距離為 4,點A到直線a的距離為 2,點B到直線b的距離為 3, AB= 2v30

3、.試在直線 a上找一點 M ,在直線 b上找一點 N,滿足 MN La且AM+MN+NB 的長度 和最短，則此時 AM+NB 的值為。例5.如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且 CD=2，點A（4,0）,連接AC、AD ,設C點橫坐標為 m,求m為何值時， ACD的周長最小，并求出這個最小值。二、“胡不歸”模型有一則歷史故事：說的是一個身在他鄉(xiāng)的小伙子，得知父親病危的消 息后便日夜趕路回家。然而，當他氣喘吁吁地來到父親的面前時，老人剛剛咽氣了。人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃地叨念：胡不歸？胡不歸?早期的科學家曾為這則古老的傳說中的小伙子設想了一條路線。（如下圖）A是出發(fā)地,B

4、是目的地；AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側是沙地。為了急切回家，小伙子選擇 了直線路程AB。但是，他忽略了在驛道上（Vi）行走要比在砂土地帶 （V2）行走快的這一因素。如果他能選擇一條合適的路線 （盡管這條路線長一些， 但速度可以加快），是可以提前抵達家門的。解題步驟：將所求線段和改寫為“Bt V2AD的形式（0VV21）；ViVi在AD的一側，BD的異側，構造一個角度”，使得sin后V2 ;Vi過B作所構造的一邊垂線，該垂線段即為所求最小值.例6.如圖， ABC 中，BC=2, / ABC=30 ,貝U 2AC+AB 的最小值為例7.如圖，四邊形 ABCD是菱形，AB=4 ,且/ ABC

5、=60 , M 為對角線BD （不含 B點）上任意一點 ，則 AM+BM的最小值為 。2例8.如圖，等腰 4ABC 中，AB=AC=3 , BC=2 , BC邊上的高為 AO ,點 D為射線 AO上一點，一動點 P從點 A出發(fā)，沿 AD-DC 運動，動點 P在AD上運動速度 3個單位每秒，動點 P在CD上運動的速度為1個單位每秒，則當AD= 時，運動時間最短為 秒。中考真題二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經過點 A（-1,0）, B （0, - 73）、C （2, 0）,其中對稱軸與x軸交于點 D。若P為y軸上的一個動點，連接PD ,則（2016?徐州）如圖，在平面直角坐標系中,PB PD的

6、最小值為 2 8V32.（2014.成都）如圖，已知拋物線 y x 2 x 4與x軸從左至右依次交于點A、9B,與y軸交于點 C,經過點 B的直線y4 3J與拋物線的另一個交點為3D （-5, 3、3）。設F為線段BD上一點（不含端點），連接 AF , 一動點 M從點A出 發(fā)，沿線段 AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段 FD以每秒2個單位的速度運動到 D后停止，當點F的坐標為 時，點M在整個運動過程中用時最少？三、“阿氏圓”模型【問題背景】 阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B,則所有滿足 PA=kPB（kwi）的點 P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，

7、本題的關鍵在于如何確定“k-PB”的大小，（如圖 2-1-2）在線段 OB上截取 OC使OC=k r,則可說明 BPO 與 PCO 相似，即 k - PB=PC。本題求“ PA+k - PB”的最小值轉化為求“ PA+PC ”的最小值，即 A、P、C三點共線時最?。ㄈ鐖D2-1-3）,本題得解。阿氏圓”一般解題步驟：第一步：連接動點至圓心O （將系數(shù)不為 1的線段兩個端點分別與圓心相連接），則連接OP、OB ;第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、OB長度；op第三步：計算這兩條線段長度的比0P k；OB第五步：連接 AC,與圓0交點即為點 P.例 11. (1)【問題提出】：如圖 1,在 Rt

8、A ABC 中，/ ACB =90, CB = 4, CA = 6,一 ，、1 一OC半徑為2, P為圓上一動點，連結 AP, BP,求AP BP的最小值為2(3).【拓展延伸】：已知扇形COD 中，/ COD = 90o, 0C = 6, OA = 3 , OB =5,第四步:OC OP在 OB上取點C,使得0c OPOP OBk ；例9.如圖，點 A、B在O 0上，且 0A=0B=6 ,且 OA，OB ,點 C是OA的中點，點(2)【自主探索】 阿氏圓”構造共邊共角型相似構造PABsCAP 推出 PA2= AB ?AC即：半徑的平方 =原有線段X構造線段D在0B上，且 0D=4 ,動點 P

9、在O 0上，則 2PC+PD的最小值為,1 一 1_ _, 一 ， 一在問題提出”的條件不變的情況下，-AP BP的最小值3點P是CD上一點，則 2PA + PB的最小值為【模型類比】胡不歸”構造某角正弦值等于小于1系數(shù)起點構造所需角(k=sin / CAE )-過終點作所構角邊的垂線-利用垂線段最短解決其中3一 t q的最小值AC=1 , BD=2 , P 為弧AB上一動點，求彳PC+PD例10.如圖，半圓的半徑為1 , AB 為直徑，AC、BD為切線,拓展：“費馬點”問題背景資料：在已知4ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后

10、向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為費馬點” .如圖，當 4ABC三個內角均小于1200時，費馬點 P在4ABC內部，此時/ APB= / BPC= / CPA=120 ，此時， PA+PB+PC 的值最小.解決問題：(1)如圖，等邊 4ABC內有一點 P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為 3,5,求/ APB的度數(shù).為了解決本題，我們可以將ABP繞頂點A旋轉到4ACP處，此時 ACPABP,這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段 PA, PB, PC轉化到一 個三角形中，從而求出/APB= ;基本運用：(2)請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：如圖， 4ABC 中，/

11、 CAB=90 , AB=AC , E, F 為 BC 上的點，且/ EAF=45 判斷BE, EF, FC之間的數(shù)量關系并證明；能力提升：(3)如圖，在 RtAABC 中，/ C=90 , AC=1 , / ABC=30 ，點 P 為 RtAABC 的 費馬點，連接 AP , BP, CP,求PA+PB+PC 的值.阿氏圓最值問題例題精講C4 = 6, 0C半徑為 2, P例L問題提出：如圖1,在RtZLABC中，ZCB = 90, CB = 4,（圖3）：如圖2,連接CP,在C8上取點 0,使 CD=1,則有理=亥=4，又： NPCD=NBCP, AAPCDABCP, Lr Co ZPD

12、111，PD=q8P,，4P+產=4P+PD.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：4P+38P的最小值為1自主探索：在“問題提出的條件不變的情況下，AP+8P的最小值為拓展延伸：已知扇形C。中，ZCOD = 90% OC=6, 04 = 3,。8 = 5,點P是CD上一點，求2P4 + P8的最小值.例2：如圖，在-45。中，BC = 4, AB = 2AC,則的面積的最大值為強化訓練向內構造類型 1、如圖；已如AC=6； BC=8, AB=10,。的半徑為4,點D是0。上的動點，迄接AD,BD,則 + /）的好小道為.2、在 RtZXABC 中，ZACB = 90 , AC-4, BO3,點

13、 D 為ZaABC 內一動點，且滿足 CD-2,2則4D + 3D的最小值為 3美1題圖第2題圖3、如圖，在RtzlABC中，NC=900, CA=3, CBT.。的半役為2,點P是OC上一動點,則4尸+ ,總的最小值為24、如織，四邊形ABCD為邊長為4的正方形,03的半徑為2, P是03上一動點，如產Z）+ = PC的最小值為.；尸。+4PC的最小值為5、如可，G）。的半徑為石，PO = M AQ = 2, ZPOAf = 90 0為。上一動點點9則尸0 +的最小信為【變式訓練】 （胡不歸問題） TOC o 1-5 h z .如圖，等腰ABC中，AB=AO3, BC二2, BC邊上的高為1A0,點D為射線A0上一點,一動點P從點A出發(fā)，沿AD-DC卜1運動，動點P在AD上運動速度3個單位每秒，動點P在 /CD上運動的速度為1個單位每秒，則當AD-時，|運動時間最短為秒.答案：好,.如圖，在菱形ABCD中，AB,且NABC=150 ,點P是對角線AC上的一個動點，貝 ij pa+pb+pd 的最小值為.答案：60【中考真題】（胡不歸問題）（2016徐州）如圖，在平面宜角坐標系中，二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像經過點A（-l, 0）, B （0, -Q）、C（2, 0）.其中對稱軸與x軸交于點D。若P為y軸上的一個動