平穩(wěn)時(shí)間序列模型的性質(zhì)概述1課件

1、第一節(jié) 自回歸過(guò)程的性質(zhì)一、一階自回歸過(guò)程AR(1)的性質(zhì)二、二階自回歸過(guò)程AR(2)的性質(zhì)三、p階自回歸過(guò)程AR(p)的性質(zhì)2022/7/181第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、一階自回歸過(guò)程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或2022/7/182第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：一個(gè)有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿(mǎn)足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外，即應(yīng)有：2022/7/183第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ar(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)2022/7/184第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/185第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2

2、022/7/186第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/187第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過(guò)上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過(guò)程平穩(wěn)即 時(shí)，AR(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果 ，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果 ， 自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)以負(fù)號(hào)開(kāi)始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。2022/7/188第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖2022/7/189第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖2022/7/1810第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例

3、1：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖:呈指數(shù)衰減2022/7/1811第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖2022/7/1812第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖2022/7/1813第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖:呈正負(fù)交替指數(shù)衰減2022/7/1814第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式2022/7/1815第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022

4、/7/1816第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1817第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1818第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1819第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)2022/7/1820第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)上述結(jié)論說(shuō)明：AR (1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號(hào)取決于 。滯后一階以后PACF截尾。2022/7/1821第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：根據(jù)定義：偏自相關(guān)函數(shù)是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機(jī)變量Xt-1,Xt-2, Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關(guān)性。對(duì)于p階自回歸過(guò)程，當(dāng)sp

5、時(shí)，xt與xt-s有直接的相關(guān)性；而sp時(shí)，兩者沒(méi)有直接的相關(guān)性。因此，對(duì)于AR(p)過(guò)程，在模型的滯后階數(shù)以?xún)?nèi)，通常有非零的偏自相關(guān)系數(shù)；但在滯后階數(shù)以外，偏自相關(guān)系數(shù)則為零。2022/7/1822第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖:滯后一階以后截尾2022/7/1823第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖:滯后一階以后截尾2022/7/1824第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(1)過(guò)程的傳遞形式和格林函數(shù)2022/7/1825第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、二階自回歸AR(2)過(guò)程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或2022/7/182

6、6第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：為滿(mǎn)足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。2022/7/1827第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.AR(2)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)2022/7/1828第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1829第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1830第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1831第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過(guò)上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過(guò)程的平穩(wěn)性條件滿(mǎn)足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即 時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即 時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減

7、。2022/7/1832第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.AR(2)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)2022/7/1833第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1834第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)另一種思路：直接根據(jù)定義2022/7/1835第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過(guò)上述證明可以得出如下結(jié)論：2022/7/1836第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖2022/7/1837第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖2022/7/1838第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1.模

8、擬生成的AR(2)過(guò)程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾2022/7/1839第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖2022/7/1840第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖2022/7/1841第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的AR(2)過(guò)程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾2022/7/1842第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖2022/7/1843第四章

9、時(shí)間序列模型的性質(zhì)-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖2022/7/1844第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)模擬生成的AR(2)過(guò)程自相關(guān)圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾2022/7/1845第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(2)過(guò)程的傳遞形式和格林函數(shù)（1）傳遞形式（2）格林函數(shù)2022/7/1846第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)三、p階自回歸過(guò)程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或2022/7/1847第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)B.平穩(wěn)性：為滿(mǎn)足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。2022/7

10、/1848第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于高階的自回歸過(guò)程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是自回歸過(guò)程平穩(wěn)的必要條件之一。2022/7/1849第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF2022/7/1850第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1851第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過(guò)上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程，有 |i|p時(shí)，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線(xiàn)性組合。于是當(dāng)kp時(shí),有kk=0。所以， AR(p)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。2022/7/1854第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.AR(p)模型的傳遞形式和格

11、林函數(shù)(1)傳遞形式(2)格林函數(shù)2022/7/1855第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例:考察如下AR模型的自相關(guān)和偏自相關(guān)2022/7/1856第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2022/7/1857第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2022/7/1858第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2022/7/1859第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)ACFPACF2022/7/1860第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)第二節(jié) 移動(dòng)平均過(guò)程的性質(zhì)一、一階移動(dòng)平均過(guò)程MA(1)的性質(zhì)二、二階移動(dòng)平均過(guò)程MA(2)的性質(zhì)三、q階移動(dòng)平均過(guò)程MA(q)的性質(zhì)2022/7/1861第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)一

12、、一階移動(dòng)平均過(guò)程MA(1)的性質(zhì)一階移動(dòng)平均模型MA(1)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，t為零均值的白噪聲。 2022/7/1862第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.MA(1)過(guò)程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過(guò)程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿(mǎn)足可逆性，(B)=11B=0 的根必須在單位圓外，即有：2022/7/1863第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)注：以后對(duì)MA(1)過(guò)程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿(mǎn)足，即有：|1|0,那么PACF都為負(fù)，且呈指數(shù)衰減；如果10t為白噪聲滯后一階截尾呈負(fù)指數(shù)衰減2022/7/1874第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下MA(

13、1)過(guò)程的趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖：2022/7/1875第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1876第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)Xt=t (0.85)t-1 =(1(0.85)B) t其中1=0.850呈正負(fù)交替指數(shù)衰減滯后一階截尾2022/7/1877第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.MA(1)過(guò)程的逆轉(zhuǎn)形式2022/7/1878第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、二階移動(dòng)平均過(guò)程MA(2)的性質(zhì)二階移動(dòng)平均模型MA(2)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，t為零均值的白噪聲。 2022/7/1879第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.MA(2)過(guò)程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過(guò)程總是平穩(wěn)的。B.可

14、逆性：為滿(mǎn)足可逆性, 的根必須在單位圓外。2022/7/1880第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)ACF2022/7/1881第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1882第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1883第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(2)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)2022/7/1884第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于MA(2)過(guò)程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是實(shí)數(shù)，則kk是兩個(gè)衰減指數(shù)的和；如果其根是復(fù)數(shù)，則kk 是一衰減的正弦波。2022/7/1885第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1886第四章 時(shí)間序列模

15、型的性質(zhì)滯后二階截尾指數(shù)衰減(拖尾)2022/7/1887第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/1888第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)2022/7/1889第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.MA(2)過(guò)程的逆轉(zhuǎn)形式2022/7/1890第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)三、q階移動(dòng)平均過(guò)程MA(q)性質(zhì)2022/7/1891第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動(dòng)平均過(guò)程MA(q)總是平穩(wěn)的。 B.可逆性：為滿(mǎn)足可逆性，的根必須在單位圓外。2022/7/1892第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)對(duì)于高階的移動(dòng)平均過(guò)程，其可逆性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜

16、，但都有最基本的一點(diǎn)：這是移動(dòng)平均過(guò)程可逆的必要條件之一。2022/7/1893第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.MA(q)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)2022/7/1894第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)因而：MA(q)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是滯后q階截尾的。2022/7/1895第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對(duì)MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或阻尼正弦波衰減。2022/7/1896第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例:考察如下MA模型的相

17、關(guān)性質(zhì)2022/7/1897第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾 2022/7/1898第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾 2022/7/1899第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 2022/7/18100第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 2022/7/18101第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)MA模型可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)2022/7/18102第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型。 2022/7/18103第四章 時(shí)

18、間序列模型的性質(zhì)第三節(jié) 自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)過(guò)程一、 ARMA(1,1)的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過(guò)程的性質(zhì)2022/7/18104第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)一、ARMA(1,1)的性質(zhì)2022/7/18105第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(1,1)過(guò)程的平穩(wěn)性和可逆性2022/7/18106第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ARMA(1,1)過(guò)程的ACF2022/7/18107第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/18108第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/18109第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)通過(guò)上式可以看出，ARMA(1,1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有AR(1)過(guò)程和M

19、A(1)過(guò)程的組合特性。當(dāng)k=1時(shí)，自相關(guān)系數(shù)有一峰值，并且是由1和1共同決定，。當(dāng)k2時(shí)，自相關(guān)系數(shù)僅取決于1即自回歸部分對(duì)應(yīng)的差分方程的根，呈指數(shù)衰減。2022/7/18110第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)3.ARMA(1,1)過(guò)程的PACFARMA(1,1)過(guò)程的PACF和它的ACF一樣，也是滯后一階有一峰值，一階以后呈指數(shù)衰減，不過(guò)指數(shù)衰減的形態(tài)由1和1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比MA(1)過(guò)程PACF指數(shù)衰減形式更多2022/7/18111第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例1：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過(guò)程的樣本ACF和樣本PACF：2022/7/18112第四章 時(shí)間序

20、列模型的性質(zhì)例1.模擬生成的ARMA(1,1)過(guò)程的樣本ACF和樣本PACF滯后一階有一峰值之后呈指數(shù)衰減滯后一階有一峰值之后呈指數(shù)衰減2022/7/18113第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2：模擬產(chǎn)生的250個(gè)數(shù)據(jù)的如下ARMA(1,1)過(guò)程的樣本ACF和樣本PACF：2022/7/18114第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)例2.模擬生成的ARMA(1,1)過(guò)程的樣本ACF和樣本PACF指數(shù)拖尾指數(shù)拖尾滯后一階有峰值2022/7/18115第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)4.ARMA(1,1)過(guò)程的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式（1）傳遞形式和格林函數(shù)：xt=-1(B)(B)at（2）逆轉(zhuǎn)形式和逆函數(shù)-1(B) (B) xt =at2022/7/18116第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)二、ARMA(p,q)過(guò)程的性質(zhì)2022/7/18117第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)1.ARMA(p,q)的平穩(wěn)性和可逆性2022/7/18118第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/18119第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2.ARMA(p,q)過(guò)程的ACF2022/7/18120第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)2022/7/18121第四章 時(shí)間序列模型的性質(zhì)由上推導(dǎo)可以得出結(jié)論：ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函