高等數(shù)學(xué)定積分及其應(yīng)用學(xué)習(xí)輔導(dǎo)

1、高等數(shù)學(xué)：定積分及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)定積分及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標了解定積分的概念；知道定積分的定義、幾何意義和物理意義；了解定積分的主要性質(zhì)，主要是線性性質(zhì)和積分對區(qū)間的可加性，( 為常數(shù) )還應(yīng)熟悉以下性質(zhì)了解原函數(shù)存在定理；會求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)。若，則熟練掌握牛頓萊布尼茨公式，換元積分法和分部積分法。4.掌握在直角坐標系下計算平面曲線圍成圖形的面積；會計算平面曲線圍成的圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積。由曲線和及直線圍成的面積，有對于對稱區(qū)間上的定積分，要知道當(dāng)為奇函數(shù)時有當(dāng)為偶函數(shù)時有（一）單項選擇題 （1）下列式子中，正確的是（ ）。A. B. C. D. (2). 下列式子中，正確的是（

2、 ） A. B. C. D. 若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則 。A. B 0C D 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ).A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。在（0，1）區(qū)間內(nèi) C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無關(guān)。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 （4）C。正確。（5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) A正確。 （二）

3、 填空題(1) (2) (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_。 (4) 答案：解：（1） （2） 所圍圖形的面積S=y= 所圍圖形的面積（三）計算下列定積分(1）(2）（3） （4） （5）答案：(1）(2）（3） （4） (5) （四）定積分應(yīng)用例1 計算拋物線與直線所圍成的圖形面積。解：1、先畫所圍的圖形簡圖解方程 , 得交點： 和 。2. 選擇積分變量并定區(qū)間選取為積分變量，則3. 給出面積元素在上， 在上， 4. 列定積分表達式另解：若選取為積分變量，則 顯然，解法二較簡潔，這表明積分變量的選取有個合理性的問題。求橢圓所圍成的面積 。解：據(jù)橢圓圖形的對稱性，整個橢圓面積應(yīng)為位于

4、第一象限內(nèi)面積的4倍。取為積分變量，則 ， 故 ( * )作變量替換 則 ， ( * * )計算心臟線所圍成的圖形面積。解： 由于心臟線關(guān)于極軸對稱， 第一節(jié) 定積分的概念思考題： 1. 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推出下列積分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：若在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負值. （1）由下圖（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上圖（2）所示，.（3）由上圖（3）所示，.（4）由上圖（

5、4）所示，.2. 若當(dāng)，有，下面兩個式子是否均成立，為什么？（1）, （2）.答：由定積分的比較性質(zhì)知（1）式成立，而不定積分的結(jié)果表示一族函數(shù)，與不能比較大小，故（2）式不成立.3. 個數(shù)的算術(shù)平均值與連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值有何區(qū)別與聯(lián)系？答：二者均反映了多個數(shù)的平均值大小，后者是前者的推廣，但個數(shù)的算術(shù)平均值是有限個數(shù)的平均值，而連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值反映的是無限個數(shù)的平均值，前者計算公式是,后者計算公式是.習(xí)作題：1. 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數(shù).解：任取分點,把分成個小區(qū)間，小區(qū)間長度記為=-,在每個小區(qū)間上任取一點作乘積的和式：,記, 則.2. 利用定積分的估值

6、公式，估計定積分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比較 的大小，知，由定積分的估值公式，得,即 .3. 求函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上的平均值.解：平均值.4. 利用定積分的定義證明.證明：令,則，任取分點,把分成個小區(qū)間，并記小區(qū)間長度為，在每個小區(qū)間上任取一點，作乘積的和式,記, 則 .微積分基本公式思考題：1. ?答：因為是以為自變量的函數(shù)，故=0.2. 答：因為是常數(shù)，故.3. ？ 答：因為的結(jié)果中不含，故0.4. ？ 答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知.5. ？ 答：.6. 若，則=？ 答：=.7. 當(dāng)為積分區(qū)間上的分段函數(shù)時，問如何計算定積分？試舉例說明.答：分段函數(shù)的定積分應(yīng)采用定積

7、分關(guān)于積分區(qū)間的分割性質(zhì)，將分解為部分區(qū)間上的定積分來計算.例如：若 則=+=.8. 對于定積分，湊微分法還能用嗎？為什么？答：能用.因為定積分是通過被積函數(shù)的原函數(shù)來計算，而湊微分法所得原函數(shù)不須作變量置換.習(xí)作題：1. 計算下列定積分（1）, （2）, （3）.解：（1）=+ =1.（2）=+ =4+.（3）=+ =2+2=4.2. 求極限.解：此極限是“”型未定型，由洛必達法則，得 =3. 計算下列各題：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）, （6）, （7）,（8）, （9）, （10）,（11）, （12）, （13）.解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）

8、.（7）=.（8）= =. (9) =.(10) =.（11）=.（12）=.（13）=.求下列定積分解：原式定積分的積分方法思考題：1. 下面的計算是否正確，請對所給積分寫出正確結(jié)果：（1）= = =.（2）=2=2.答：（1）不正確，應(yīng)該為：=.（2）不正確，應(yīng)該為： =2.2. 定積分與不定積分的換元法有何區(qū)別與聯(lián)系？答：定積分與不定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分換元積分后要作變量回代，定積分在換元時要同時變換積分限，而不用作變量回代. 聯(lián)系在于：二者均要求置換的變元單調(diào)可導(dǎo)，且選擇變元的規(guī)律相同.3. 利用定積分的幾何意義，解釋奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分所具有的規(guī)律.答：如圖, 設(shè)在上滿足0，則表示由曲線，直線，及軸所圍圖形的面積，不妨記為，則當(dāng)為偶函數(shù)時，(如下圖(1)所示)，當(dāng)為奇函數(shù)時，(如下圖(2)所示).xyOa-aAAxya-aAAO（2）習(xí)作題:1. 計算下列定積分:(1), (2).解：（1）令=,