函數(shù)單調(diào)性凹凸性和極值

1、關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性凹凸性與極值第一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月12.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 在第一章, 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加(或減少)的幾何解釋: 在某個(gè)區(qū)間上對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)是上升或下降的. 如 單調(diào)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一. 它既決定著函數(shù)遞增和遞減的狀況, 又有助于我們研究函數(shù)的極值、證明某些不等式、分析描繪函數(shù)的圖形等.y= (x)oxxyyoy= (x)一、函數(shù)單調(diào)性的判別法第二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月22.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的有比較法、比值法等.但繁! 下面討論如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.若 y = f (x)在區(qū)

2、間(a, b)上單調(diào)遞增若y = f (x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞減各點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為正各點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為負(fù)第三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月32.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定方法) 設(shè) y =(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù), 在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 則對(duì)即函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間保號(hào)從而此函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一定單調(diào).證則 (x) 在區(qū)間a, b內(nèi)單調(diào)遞增加;則 (x) 在區(qū)間a, b內(nèi)單調(diào)遞減少.根據(jù)拉格朗日中值定理, 有第四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月42.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 內(nèi)單調(diào)遞增;內(nèi)單調(diào)遞減.第五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作

3、于2022年6月52.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注1 研究函數(shù)的單調(diào)性, 就是判斷它在哪些區(qū)間內(nèi)遞增, 哪些區(qū)間內(nèi)遞減. 由定理 1 對(duì)可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性, 可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況予以確定. 注2 定理 1 的結(jié)論對(duì)其他各種區(qū)間 (包括無(wú)窮區(qū)間) 也成立.解例1第六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月62.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性注 如果函數(shù)且等號(hào)僅在個(gè)別點(diǎn)處成立, 則定理1仍成立. 如oxy注 反過(guò)來(lái), 若(x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加(或減少), 則(x)在(a,

4、 b)內(nèi)必有單調(diào)增加.若則稱(chēng)點(diǎn) x0 為函數(shù) f(x) 的駐點(diǎn).第七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月72.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)利用定理1可以討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.問(wèn)題 一般地,函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如何判斷函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間上的單調(diào)性?若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)方法注 不存在的點(diǎn)就是使導(dǎo)數(shù) 沒(méi)意義的點(diǎn).第八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月82.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)(1) 確定函數(shù)定義域; (2) 確定函數(shù)的駐點(diǎn) 的點(diǎn), 以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)劃分定義域?yàn)槎鄠€(gè)子區(qū)間; (3)確定

5、在各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào), 從而定出(x)在各子區(qū)間的單調(diào)性.解 函數(shù) f(x) 定義域?yàn)?例2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.確定函數(shù) y = (x) 的單調(diào)性的一般步驟是:第九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月92.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)x 列表討論如下: 故 是(x)的遞增區(qū)間. 1, 2 是遞減區(qū)間. (端點(diǎn)可包括也可不包括)將 分成 討論函數(shù) 的單調(diào)性.解 函數(shù)定義域?yàn)榫氁痪毜谑畯?，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月102.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)x故在 內(nèi)(x)是遞增的, 在 內(nèi)遞減.列表討論如下:不可導(dǎo)點(diǎn).第十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月112.4 導(dǎo)數(shù)的

6、應(yīng)用(118)例3解單調(diào)區(qū)間為第十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月122.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例4證注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,第十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月132.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)小結(jié)與思考題1單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.第十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月142.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題第十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月152.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題

7、解答不能斷定.例但第十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月162.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，注意 可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增第十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月172.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題第十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月182.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月192.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題答案第二十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月202.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第二十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月212.4 導(dǎo)

8、數(shù)的應(yīng)用(118)三、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn) 函數(shù)(x)的單調(diào)性與極值是函數(shù)的重要性態(tài).在研究了函數(shù)的單調(diào)性后, 若不知道曲線(xiàn)的彎曲方向, 仍不能準(zhǔn)確描繪曲線(xiàn)變化的特點(diǎn). 一般地, 函數(shù)單調(diào)增加或單調(diào)減少都有兩種方式, 所以只討論函數(shù)的單調(diào)性是不夠的, 還必須討論它的凹凸性.第二十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月222.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)BAC如圖中曲線(xiàn)弧AB是單增的曲線(xiàn). 但從A 到 C 的曲線(xiàn)是向上凸的; 從 C 到 B 的曲線(xiàn)是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界點(diǎn), 我們稱(chēng)為拐點(diǎn).顯然, 曲線(xiàn)的彎曲方向和彎曲方向(上凸和下凸)的分界點(diǎn)對(duì)我們研究函數(shù)的性態(tài)是十分重要的

9、. 這就是下面討論的凸性與拐點(diǎn).1. 曲線(xiàn)的凸性第二十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月232.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)問(wèn)題: 如何研究曲線(xiàn)的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方第二十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月242.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定義 若曲線(xiàn)y = (x)在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù),則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是向上凹(或凸)的.oxyABy = (x)oxyABy = (x) 將曲線(xiàn)具有的向上凹或向上凸的性質(zhì)稱(chēng)為曲線(xiàn)的凹凸性.第二十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月252.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定義2 設(shè)函數(shù)

10、 y = (x) 在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo).若該函數(shù)曲線(xiàn)在 I 內(nèi)總是位于其上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)上方 (即曲線(xiàn)向下彎曲), 則稱(chēng)該曲線(xiàn)在 I 內(nèi)是向上凹的; 區(qū)間 I 為該曲線(xiàn)的向上凹區(qū)間.用符號(hào)表示 .稱(chēng)函數(shù) y = (x) 為在區(qū)間 I 內(nèi)的凸函數(shù).oxyy =(x)向上凹（或 凸）的另一種定義： 若該函數(shù)曲線(xiàn)在 I 內(nèi)總是位于其任意一點(diǎn)的切線(xiàn)下方(即曲線(xiàn)向上彎曲), 則稱(chēng)該曲線(xiàn)在I 內(nèi)是向上凸的; 區(qū)間 I 為該曲線(xiàn)的向上凸區(qū)間. 用符號(hào)表示 . 稱(chēng)函數(shù) y = (x) 為在區(qū)間 I 內(nèi)的凹函數(shù).oxyy=(x)第二十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月262.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)

11、2. 曲線(xiàn)凸性的判定AB 顯然, 用定義來(lái)判別曲線(xiàn)的凸性是極不方便的.由定義2知向上凸曲線(xiàn)從點(diǎn)A移到點(diǎn)B 時(shí), 對(duì)應(yīng)的切線(xiàn)斜率 單調(diào)減少的.注 向上凹凹向上凸凸AB向上凹曲線(xiàn)從點(diǎn)A移到點(diǎn)B時(shí), 對(duì)應(yīng)的切線(xiàn)斜率 單調(diào)增加的. 第二十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月272.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)從而, 當(dāng)存在時(shí), 則可用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判別曲線(xiàn)的凹凸性.于是利用二階導(dǎo)數(shù)可以判定函數(shù)的凹凸性.第二十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月282.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)定理1 設(shè)函數(shù) y = (x)在 I 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù), 則例1解注第二十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2

12、022年6月292.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)因而f(x)為向上凹的函數(shù);f(x)為向上凸的函數(shù).解練一練光滑曲線(xiàn)是指曲線(xiàn)上每一點(diǎn)都有切線(xiàn)且切線(xiàn)隨切點(diǎn)的移動(dòng)連續(xù)移動(dòng), 即若 在a, b上連續(xù), 則曲線(xiàn) 在a, b上就是光滑曲線(xiàn).第三十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月302.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)oxyy= (x)aABbcC定義3 設(shè)函數(shù) y = (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 則曲線(xiàn) y = (x) 在該區(qū)間內(nèi)向上凹部分與向上凸 部分的分界點(diǎn)C(c, (c)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).C(c, (c)就是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).如右圖, 從 A到 C與從C到B的分界點(diǎn)3. 曲線(xiàn)拐點(diǎn)的定義 注 拐點(diǎn)是

13、曲線(xiàn)上的點(diǎn), 從而拐點(diǎn)的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)表示, 不能僅用橫坐標(biāo)表示.這與駐點(diǎn)及極值點(diǎn)的表示方法不一樣.第三十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月312.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例2 判斷曲線(xiàn) 的凸性, 并求其拐點(diǎn).oxyoxy解曲線(xiàn)故點(diǎn)(0, 0)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)的.4. 拐點(diǎn)的求法第三十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月322.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)證 因?yàn)辄c(diǎn)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn), 則點(diǎn) x0 的兩側(cè)異號(hào), 且由已知 存在, 則定理2 (拐點(diǎn)的必要條件)若函數(shù) y = (x)在 x0 處的二階導(dǎo)數(shù)存在, 且點(diǎn)為曲線(xiàn) y = (x) 的拐點(diǎn), 則條件而非充分條件. 存

14、在的必要注在 存在時(shí),有 , 但點(diǎn) (0, 0) 不是該曲線(xiàn)的拐點(diǎn).第三十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月332.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注 不存在的點(diǎn)也有可能成為拐點(diǎn). 例如的二階導(dǎo)數(shù)在 x = 0不可導(dǎo), 但 (0, 0) 是該曲線(xiàn)的拐點(diǎn).或 不存在. 綜上所述,若點(diǎn)是曲線(xiàn) 的拐點(diǎn),則必有或 不存在時(shí),但是, 若曲線(xiàn)上的點(diǎn)不一定是拐點(diǎn), 或 不存在的點(diǎn)可能成為曲線(xiàn)所以 的拐點(diǎn), 須用下面的定理進(jìn)一步判斷.第三十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月342.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)曲線(xiàn) y = (x) 的拐點(diǎn). (1) 若在點(diǎn) x = x0 的兩側(cè), 異號(hào), 則點(diǎn)為

15、線(xiàn) y = (x)的拐點(diǎn).(2)若在點(diǎn) x0 兩側(cè), 二階導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則點(diǎn)不為曲利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判別曲線(xiàn)的拐點(diǎn).定理2(拐點(diǎn)第一判別定理) 設(shè)函數(shù) y = (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)第三十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月352.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)綜上所述, 確定曲線(xiàn) y = f(x) 的拐點(diǎn)的一般步驟是:(1) 確定函數(shù)的定義域;(2) 求二階導(dǎo)數(shù), 在定義域內(nèi)求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(3) 用(2)中求出的點(diǎn)將函數(shù)定義域分成若干個(gè)部分區(qū)間,在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào), 確定曲線(xiàn)是否存在拐點(diǎn), 若在拐點(diǎn), 求出拐點(diǎn).例3 判斷曲

16、線(xiàn)的凸性, 并求其拐點(diǎn).解第三十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月362.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)x 結(jié)論: 曲線(xiàn)在拐點(diǎn)為(0, 0)和 內(nèi)是上凸的; 內(nèi)是下凸的; 曲線(xiàn)在第三十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月372.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)解下凸上凸下凸拐點(diǎn)拐點(diǎn)練一練第三十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月382.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)定理3(拐點(diǎn)第二判別定理) 設(shè)函數(shù) y = (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)注 拐點(diǎn)第二判別定理對(duì)于 的點(diǎn)不適用.例3解第三十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月392.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第四十張，PP

17、T共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月402.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)練一練設(shè)三次函數(shù) 在 x=-1 處取極大值, 點(diǎn)(0, 3)是拐點(diǎn), 則求a, b, c的值.略解由極值的必要條件由拐點(diǎn)的必要條件第四十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月412.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答例第四十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月422.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題第四十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月432.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)三 函數(shù)的極值及求法第四十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月442.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)極值的定義：第

18、四十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月452.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).函數(shù)極值的求法：定理(必要條件)注意:第四十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月462.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例如,定理 (第一充分條件)第四十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月472.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)(是極值點(diǎn)情形)(非極值點(diǎn)情形)如圖所示：第四十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月482.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:第四十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月492.4

19、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例 9解列表討論極大值極小值第五十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月502.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)圖形如下第五十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月512.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)定理(第二充分條件)證第五十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月522.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第五十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月532.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例10解圖形如下第五十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月542.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注意:第五十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月552.4 導(dǎo)數(shù)的

20、應(yīng)用(118)例11解注意: 函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).第五十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月562.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)求函數(shù)極值的步驟：函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)同稱(chēng)為函數(shù)的臨界點(diǎn).(2)求函數(shù)的臨界點(diǎn)；第五十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月572.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件.(注意使用條件) 小結(jié)與思考題3第五十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月582.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題下

21、命題正確嗎？第五十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月592.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答不正確例第六十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月602.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)在1和1之間振蕩故命題不成立第六十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月612.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題第六十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月622.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第六十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月632.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題答案第六十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月642.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定

22、義3 當(dāng)曲線(xiàn) y = (x)上動(dòng)點(diǎn)M沿著曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)移動(dòng)時(shí), 若該動(dòng)點(diǎn)M到某直線(xiàn)L的距離無(wú)限趨近于零 (如右圖), 則稱(chēng)此直線(xiàn)L是曲線(xiàn) y = (x) 的漸近線(xiàn).oxyy=(x)MQL: y=ax+b 曲線(xiàn) y = (x) 的漸近線(xiàn)按其與 x 軸的位置關(guān)系, 可分為以下三種:四 函數(shù)的漸近線(xiàn)第六十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月652.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)則稱(chēng)直線(xiàn) y = c 為曲線(xiàn) y = (x)的水平漸近線(xiàn) (c為常數(shù)) .因?yàn)?. 水平漸近線(xiàn)如果曲線(xiàn) y = (x)的定義域是無(wú)限區(qū)間, 且有 問(wèn)題:曲線(xiàn)是否有水平漸近線(xiàn)？分別是什么？所以曲線(xiàn) y = arctan

23、x有水平漸近線(xiàn)第六十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月662.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)2.垂直(鉛垂)漸近線(xiàn)如果曲線(xiàn) y = (x) 在 x0 處無(wú)定義(或不連續(xù)), 且則稱(chēng)直線(xiàn) x = x0 為曲線(xiàn) y = (x) 的垂直漸近線(xiàn).因?yàn)閛xy所以曲線(xiàn)有一條垂直漸近線(xiàn) x = 0. 問(wèn)題:曲線(xiàn)是否有垂直漸近線(xiàn)？分別是什么？第六十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月672.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)3. 斜漸近線(xiàn)則稱(chēng)直線(xiàn) y = ax + b為曲線(xiàn) y =(x) 的斜漸近線(xiàn). (如圖)oxyy=(x)MQL:y=ax+b第六十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

24、682.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)斜漸近線(xiàn)求法:注1注2 注1中兩種情況只能得到不存在斜漸近線(xiàn), 但不能排除有水平或垂直漸近線(xiàn). 第六十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月692.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例1解第七十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月702.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 求下列函數(shù)的漸近線(xiàn):故垂直漸近線(xiàn): x = 0 斜漸近線(xiàn): y = x +2 解 因?yàn)榫氁痪毜谄呤粡?，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月712.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)故斜漸近線(xiàn):y = x + / 2 及 y = x / 2解 因?yàn)榈谄呤?，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年

25、6月722.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)練一練(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.B曲線(xiàn) 有( )漸近線(xiàn).解為水平漸近線(xiàn).令第七十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月732.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)為垂直漸近線(xiàn).函數(shù)沒(méi)有斜漸近線(xiàn).第七十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月742.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題第七十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月752.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答第七十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月762.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 五 函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形，步驟如下：第一步第二步第

26、七十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月772.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第三步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)以及其他變化趨勢(shì);第五步第七十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月782.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)作圖舉例：例13解非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱(chēng)性.第七十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月792.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)第八十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月802.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)作圖第八十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月812.4

27、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第八十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月822.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例14解偶函數(shù), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).第八十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月832.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)第八十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月842.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第八十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月852.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例15解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降、 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):第八十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月862.4 導(dǎo)數(shù)

28、的應(yīng)用(118)拐點(diǎn)極大值極小值第八十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月872.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第八十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月882.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凹的凸的單增單減小結(jié)與思考題5第八十九張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月892.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題第九十張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月902.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答第九十一張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月912.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練

29、習(xí)題第九十二張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月922.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題答案第九十三張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月932.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第九十四張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月942.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)*補(bǔ)充1：最值的求法第九十五張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月952.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)求最值的步驟:1. 求函數(shù)的臨界點(diǎn);2. 求區(qū)間端點(diǎn)及臨界點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,最大者即最大值,最小者即最小值 .注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極(大或小)值,則這個(gè)極(大或小)值就是最(大或小)值。第九十六張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月962.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)應(yīng)用舉例：例16解計(jì)算第九十七張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月972.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)比較得第九十八張，PPT共一百一十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月982.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)點(diǎn)擊圖片任