居于馬線性代數(shù)第五章答案

1、第五章 特征值和特征向量 矩陣的對(duì)角化答案1.求下列矩陣的特征值和特征向量：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】(1) 令,則矩陣的特征方程為故的特征值為。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。 當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。(2) 令，則矩陣的特征方程為故的特征值為(二重特征值)。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。(3) 令，則矩陣的特征方程為故的特征值為(三重特征

2、值)。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(其中為不全為零的任意常數(shù))。(4) 令，則矩陣的特征方程為故的特征值為(四重特征值)。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。(5) 令，則矩陣的特征方程為故的特征值為(三重特征值)。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。(6) 令，則矩陣的特征方程為按沙路法（課本P2），得故的特征值為。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。當(dāng)時(shí)，由，

3、即得其基礎(chǔ)解系為，因此，(為非零任意常數(shù))是的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。2.已知矩陣的特征值(二重),求的值,并求其特征向量.【解析】由特征值的性質(zhì)知，即，解得，故。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，故矩陣對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(其中為不全為零的任意常數(shù))。當(dāng)時(shí)，由，即得其基礎(chǔ)解系為，故矩陣對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(其中為非零任意常數(shù))。3.設(shè)是矩陣不同特征值的特征向量，證明不是的一個(gè)特征向量。【解析】設(shè)分別是矩陣屬于特征值的特征向量，且，則。假設(shè)是的屬于的特征向量，則，故，整理得 。由于屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)，故，這與矛盾。因此，不是的一個(gè)特征向量。4.設(shè)是矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，證明

4、不是的特征向量?！窘馕觥糠醋C法。設(shè)是的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，即,得 。 因?yàn)椴煌卣髦祵?duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)，所以，即，這與題設(shè)矛盾，故不是的特征向量。5.證明對(duì)合矩陣()的特征值只能是1或-1.【解析】設(shè)是的一個(gè)特征值，即，則 ，所以，即的特征值或-1.6.設(shè)可逆，討論與的特征值(特征向量)之間的相互關(guān)系?！窘馕觥吭O(shè)的屬于特征值的特征向量為，則，上式兩邊左乘，得。由于可逆，故，且，。因此，上式可整理為。7.若，問(wèn)：是否成立？【解析】由于，故成立。8.已知，求?！窘馕觥坑捎?，故存在可逆矩陣，使得，因此，。故 。9.已知，求。【解析】由于，故而 ，所以，10.設(shè)，是矩陣屬于特征值的特征向量。

5、證明：是矩陣的對(duì)應(yīng)其特征值的一個(gè)特征向量?！窘馕觥坑?，得。所以，是矩陣的對(duì)應(yīng)其特征值的一個(gè)特征向量。11.設(shè)為非奇異矩陣，證明與相似。【解析】由于為非奇異矩陣，即可逆，令，則，即存在可逆矩陣，使得，根據(jù)相似的定義知與相似。12.設(shè)，證明：.【解析】由，可知存在，使得，所以.13.證明階矩陣只有零特征值，其特征子空間是的一維子空間，并求它的基。解：由可知，即只有零特征值。 由及，得是對(duì)應(yīng)的特征子空間的基。所以，特征子空間是的一維子空間。14.若可逆，不可逆，那么，關(guān)于的特征值能做出怎樣的斷語(yǔ)？【解析】由于可逆，不可逆，故，即，由此可得：為的特征值，不是。15.若，證明或至少有一個(gè)是的特征值。【解

6、析】由于，故，由此可得或，即或，因此或至少有一個(gè)是的特征值。16.在第1題中，哪些矩陣可對(duì)角化？并對(duì)可對(duì)角化的矩陣，求矩陣和對(duì)角矩陣，使得?！窘馕觥坑捎?1)中的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣，而實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化，故(1)中的矩陣可以對(duì)角化，并存在可逆矩陣和對(duì)角矩陣，使得。根據(jù)定理5.9可知(2)、(3)、(4)、(5)均不可對(duì)角化，而(6)可以對(duì)角化。對(duì)于(6)中的矩陣，存在可逆矩陣和對(duì)角矩陣，使得。17.主對(duì)角元互不相等的上(下)三角形矩陣是否與對(duì)角陣相似(說(shuō)明理由)？【解析】設(shè)為上三角矩陣，且，則，故的全部特征值為。而，故有個(gè)互不相同的特征值，因此與對(duì)角陣相似。同樣地，下三角矩陣也與對(duì)角陣相似。1

7、8.設(shè)階矩陣的個(gè)元素全為1，試求可逆矩陣，使為對(duì)角陣，并寫出與相似的對(duì)角陣?！窘馕觥坑捎?，則的特征方程為故的全部特征值為(重)，。當(dāng)時(shí)，由，即可得線性無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)時(shí)，由，即可得線性無(wú)關(guān)的特征向量。由于的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)，根據(jù)定理5.9可知可以對(duì)角化，且存在可逆矩陣和對(duì)角矩陣，使得。19.已知4階矩陣的特征值(三重)，；對(duì)應(yīng)于的特征向量有，對(duì)應(yīng)于的特征向量為。問(wèn)：可否對(duì)角化？如能對(duì)角化，求出及(為正整數(shù))?！窘馕觥繉?duì)進(jìn)行初等行變換，得，故，因此，線性無(wú)關(guān)。由于的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)，根據(jù)定理5.9可知可以對(duì)

8、角化，且存在可逆矩陣和對(duì)角矩陣，使得，從而。下面求：故 ，20.設(shè)三階實(shí)矩陣有二重特征值，如果都是對(duì)應(yīng)于的特征向量，問(wèn)可否對(duì)角化？【解析】三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征方程是三次方程，必有一個(gè)實(shí)根。又是的二重特征值，所以是單根。設(shè)對(duì)應(yīng)于的特征向量為。對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)（不成比例）的特征向量有兩個(gè)，如（或或或）（注意不可能有多于兩個(gè)的線性無(wú)關(guān)的特征向量），不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。所以，三階矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，可以對(duì)角化。21.已知。若，求。【解析】由，得.由，得的特征值。對(duì)應(yīng)的特征向量分別為：。令，則.于是，即。從而22. 設(shè)，求(為正整數(shù))?！窘馕觥苛?，其中，則。的特征值為，它們對(duì)應(yīng)的特

9、征向量分別為。令，則,不可以對(duì)角化，記，其中，則。用二項(xiàng)式展開(kāi)計(jì)算得于是，23.對(duì)5.2節(jié)例1的矩陣，求正交矩陣，使得為對(duì)角陣。【解析】例1中已求出對(duì)應(yīng)于的特征向量為，單位化得。對(duì)應(yīng)于的特征向量為，用施密特正交化方法，先正交化，得：再單位化，得：，。取正交矩陣，則為對(duì)角矩陣，且。24.對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，求正交矩陣和對(duì)角矩陣，使：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ?！窘馕觥?1) 的特征方程為故的全部特征值為(二重)，。對(duì)于，由，即可得其特征向量為。用施密特正交化方法，先正交化得：再將單位化，得： 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得：。取正交矩陣，則。(2) 的特征方程

10、為,故的全部特征值為,，。 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。取正交矩陣，則。(3) 的特征方程為,故的全部特征值為,，。 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。 對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。取正交矩陣，則。(4) 的特征方程為故的全部特征值為,，。對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。對(duì)于，由，即可得其特征向量為，單位化，得。取正交矩陣，則。(5)

11、的特征方程為故的全部特征值為(三重)，。對(duì)于，由，即可得線性無(wú)關(guān)的特征向量。由于，故相互正交。將單位化，得。對(duì)于，由，即可得特征向量，單位化，得。取正交矩陣，則。25.設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且，證明存在正交矩陣，使得。【解析】設(shè)的對(duì)應(yīng)于的特征向量為，則，。又由于，則。因?yàn)?，所以，故或。由于是階實(shí)對(duì)稱矩陣，由定理5.12知存在階正交矩陣，使得。26.設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值。證明：存在特征值都是非負(fù)數(shù)的實(shí)對(duì)稱矩陣，使得?！窘馕觥繛閷?shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交陣，使得。于是。注意：，得，其中實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值。27.設(shè)為階實(shí)對(duì)稱冪等矩陣，求?！窘馕觥坷?5題結(jié)果：(其中1有個(gè))。由，得 。28.設(shè)多項(xiàng)式，是

12、矩陣的一個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量。證明是的特征值，且仍是對(duì)應(yīng)于的特征向量?！窘馕觥坑捎谑蔷仃嚨囊粋€(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量，故。由特征值和特征向量的性質(zhì)可知：是矩陣的一個(gè)特征值，即，兩邊同乘以，得，故，兩邊同時(shí)加上，得，即。由特征值和特征向量的定義可知是的特征值，且仍是對(duì)應(yīng)于的特征向量。29.設(shè),，證明：?！窘馕觥坑捎?，故存在可逆矩陣，使得。而，故即存在可逆矩陣，使得，由相似的定義知。30.設(shè)，已知0是的二重特征值，1是的單重特征值，求矩陣的特征多項(xiàng)式。【解析】利用，即，得，所以。31.設(shè)階矩陣的每行元素之和皆為1，問(wèn)：能否至少求得的一個(gè)特征值？【解析】由于的每行元素之和皆為1，令，則即

13、，其中，由此可得為的一個(gè)特征值。32.設(shè)是矩陣的個(gè)特征值。證明：。【解析】由，知于是即 所以，是的特征值，是的跡，即。33.(超綱)34.設(shè)都是階矩陣，有個(gè)互不相同的特征值。證明：的充分必要條件是的特征向量也是的特征向量?！窘馕觥勘匾裕涸O(shè)，則。因是的單重特征值，所以對(duì)應(yīng)于的任意兩個(gè)向量都成比例，于是，。故也是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。充分性：因有個(gè)互不相同的特征值，所以有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可對(duì)角化。記的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為(也是的特征向量)，其對(duì)應(yīng)的和特征值分別為，即。令，則利用對(duì)角矩陣與的乘積可交換，得到,上式兩邊左乘，右乘，即得。35.設(shè)都是階矩陣，的特征多項(xiàng)式。證明：可逆的充要

14、條件為的任一特征值都不是的特征值?！窘馕觥勘匾裕涸O(shè)的特征值為，即的特征多項(xiàng)式為，于是，。由可逆，即由此可得 。所以，的特征值都不是的特征值。充分性：因?yàn)橛?，即得，所以，可逆。注意：不能把代入中的而去求，這樣成了一個(gè)數(shù)而不是矩陣了。36.證明反對(duì)稱實(shí)矩陣的特征值必是零或純虛數(shù)?！窘馕觥恳阎?，得。設(shè) ， 上式兩邊取共軛和轉(zhuǎn)置，然后再右乘，將代入，得由于時(shí)，所以，。因此，必是零或純虛數(shù)。37.已知是中兩個(gè)非零的正交向量，證明：矩陣的特征值全為零，且不可對(duì)角化。【解析】由正交，知，所以。設(shè)為的任意一個(gè)特征值，即，則。由于，故，所以的特征值全為零。當(dāng)時(shí)，則.因?yàn)闉榉橇阆蛄?故,所以.又故。的基礎(chǔ)解系僅

15、含個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即沒(méi)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以不可對(duì)角化。38.設(shè)，且。試求矩陣的特征值，并求可逆矩陣，使成對(duì)角形?！窘馕觥渴紫惹缶仃嚨奶卣髦怠７椒ㄒ唬河捎?，所以。又由于，所以。 設(shè)是屬于特征值的特征向量，則。對(duì)式兩邊右乘，得。而，所以，又由于，所以。由于 ，當(dāng)時(shí)，對(duì)做初等行變換，得由于，所以，故基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量，即對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為，由定理5.8可知至少是重特征值。又由于，所以是重特征值。方法二：由于，所以。又由于，所以。上式兩邊同時(shí)右乘，得 設(shè)是屬于特征值的特征向量，則。由特征值和特征向量的性質(zhì)可知。式兩邊同時(shí)右乘，得。由于，所以(重)。下面求的特征向量。

16、當(dāng)時(shí)，由，即可得特征向量。當(dāng)時(shí)，由，即可得個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。取，則存在可逆矩陣，使得。39.已知的一個(gè)特征向量。(1) 確定及對(duì)應(yīng)的特征值；(2) 能否相似于對(duì)角矩陣？說(shuō)明理由?！窘馕觥坑桑纯傻茫?。因此，。 矩陣的特征方程為，由此可得的所有特征值為(三重)。對(duì)進(jìn)行初等行變換，得，故，所以對(duì)應(yīng)于特征值只有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，由定理5.9知不能與對(duì)角矩陣相似。40.設(shè)，已知，且有一特征值，其特征向量，試求及?！窘馕觥坑捎谟幸惶卣髦?，其特征向量，故。又由于，故可逆，且。對(duì)兩邊同時(shí)左乘，得，即 由此可得。由于，所以，故。41.設(shè)，已知有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且是其二重特征值，求，使(對(duì)角矩陣

17、)?！窘馕觥繉?duì)作初等行變換，得，故，由定理3.14知：存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中含個(gè)解向量。又由于有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且是其二重特征值，所以對(duì)應(yīng)于有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故。所以，。由于，故。當(dāng)時(shí)，由，即可得對(duì)應(yīng)于線性無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)時(shí)，由，即可得對(duì)應(yīng)于線性無(wú)關(guān)的特征向量。 取，則存在可逆矩陣，使得.42.設(shè)均為非零向量，已知。試求：(1) ；(2) 的特征值與特征向量?！窘馕觥?1)由于，所以，故。(2)設(shè)的特征值為，則，兩邊左乘，得。由于，所以。又由于所以。由于 ，當(dāng)時(shí)，對(duì)作初等行變換，得：由于為非零向量，所以，故基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量，所以至少是重特征值。由于，即，即。又由于，而，所以。由此可得為重特征值。由于為非零向量，這里不妨設(shè)。當(dāng)時(shí)，由，即可得個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 下列43-46題為選擇題。43.已知是階矩陣的個(gè)特征值，則行列式( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .【解析】設(shè)的特征值為，對(duì)應(yīng)于的特征向量為，則。兩邊減去，得，故的特征值為，即。而，故，故C正確。44.已知階矩陣的行列式，為的一個(gè)特