復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂PPT第三章-課件

1、第三章 復(fù)變函數(shù)的積分1 復(fù)變函數(shù)積分的概念2 柯西古薩基本定理3 基本定理的推廣復(fù)合閉路定理4 原函數(shù)與不定積分5 柯西積分公式6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系11 復(fù)變函數(shù)積分的概念1.積分的定義2.積分存在的條件及其計(jì)算法3.積分的性質(zhì)21. 積分的定義如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向)，則將 C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲線。設(shè)曲線 C的兩個(gè)端點(diǎn)為 A與 B，如果將 A到 B的方向作為C的正方向，則從 B到 A的方向就是C的負(fù)方向，。 常將兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)作為起點(diǎn)，另一個(gè)作為終點(diǎn)，則正方向規(guī)定為起點(diǎn)至終點(diǎn)的方向。設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光

2、滑)曲線。并記作3而簡單閉曲線的正方向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn) P 順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，鄰近P點(diǎn)的曲線內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方。相反的方向就是曲線的負(fù)方向。定義終點(diǎn)為B的一條光滑有向設(shè)w=f (z)定義在區(qū)域 D內(nèi)，C是 D內(nèi)起點(diǎn)為 AAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO曲線。C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為4Az1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO在每個(gè)弧段zk-1zk (k=1,2,.,n)上任意取一點(diǎn)k，并作和式的長度 ，, , 記當(dāng)n無限增加且趨于零，如有唯一極限，則稱其為f (z)沿曲線 C的積分，記作5容易看出, 當(dāng)C是x軸上的區(qū)間axb, 而f (z

3、)=u (x)時(shí), 這個(gè)積分定義就是一元實(shí)函數(shù)定積分的定義。如果C為閉曲線，則沿此閉曲線的積分記作62. 積分存在的條件及計(jì)算法給出, 正方向?yàn)閰?shù)增加的方向, 參數(shù) a及b對應(yīng)于起點(diǎn) 如果 f (z) = u (x, y) + iv (x, y)在D內(nèi)處處連續(xù)，則u (x, y) 及 v (x, y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。設(shè) zk= xk+ ihk，設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程A及終點(diǎn)B, 并且 。由于7所以，有下面的式子：由于u, v都是連續(xù)函數(shù), 根據(jù)線積分的存在定理, 當(dāng)n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時(shí), 不論對8不論對C的分法如何， 點(diǎn)( xk, hk )的取法如何，上式右端的兩個(gè)和式的

4、極限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是與所以是比較容易記住的。相乘后求積分得到：9而且上式說明了兩個(gè)問題：i ) 當(dāng) f (z) 是連續(xù)函數(shù)而 C 是光滑曲線時(shí)，積分是一定存在的。可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來計(jì)算。根據(jù)線積分的計(jì)算方法，有上式右端可以寫成10所以今后討論積分，如無特別說明，總假定被積函數(shù)是連續(xù)的，曲線C是按段光滑的。如果C是由C1, C2, . , Cn等光滑曲線首尾連接而成,則定義11解直線的方程可寫作, 其中C為原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段。例1 計(jì)算或在C上, 。于是又因12容易驗(yàn)證，右邊兩個(gè)線積分都與路線C無關(guān)，所以的值，不論C是怎樣的連接原點(diǎn)到3+4i的曲線，

5、都等于13解直線的方程可寫作計(jì)算積分例 分別沿y = x與在C上, 。于是拋物線的方程可寫作在C上, 。于是14z0rqz-z0=reiqzOxy的正向圓周, n為整數(shù)。例2 計(jì)算, 其中C為以z0為中心, r為半徑當(dāng)n = 0時(shí)，結(jié)果為當(dāng)時(shí)，結(jié)果為所以解 C的方程可寫作15這個(gè)結(jié)果以后經(jīng)常要用到, 它的特點(diǎn)是與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān)，應(yīng)當(dāng)記住。所以這是因?yàn)?6z1z0=1+iOxy2131) 沿原點(diǎn)到點(diǎn)例3 計(jì)算的值，其中C為所接成的折線。解的直線段2) 沿從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段段，與從到的直線173. 積分的性質(zhì)則( k為常數(shù))設(shè)曲線C長度為L，f (z)在C上滿足,復(fù)函數(shù)的積分也有下列

6、一些簡單性質(zhì)，與實(shí)變函數(shù)中定積分的性質(zhì)類似的：18線因此便得不等式的第一部分，又因兩端取極限，得兩點(diǎn)之間的弧段的長度，所以事實(shí)上，是與兩點(diǎn)之間的距離，為這這里表示連續(xù)函數(shù)(非負(fù)的)沿C的曲19所以這是不等式的第二部分。絕對值的一個(gè)上界。例4設(shè)C為從頂點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段，試求積分解C的方程為。由估值不等式得20從而有而，所以在C上，212 柯西-古薩(Cauchy-Goursat)基本定理22或沿封閉曲線的積分值為零的條件，可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)。究竟關(guān)系如何，不妨先在加強(qiáng)條件下做些初步探討。假設(shè) f (z) = u + iv在單連通域B內(nèi)處處解析，且連續(xù)的，且滿足柯西-

7、黎曼方程從上節(jié)的幾個(gè)例題中思考，積分的值與路線無關(guān),在B內(nèi)連續(xù)。由于所以 u 和 v 以及它們的偏導(dǎo)數(shù)在 B 內(nèi)都是23則有其中C為B內(nèi)任何一條簡單閉曲線，從格林公式與柯西-黎曼方程(路線 C 取正向)得其中D是C所圍的區(qū)域, 所以上式的左端為零。24閉曲線的積分為零。實(shí)際上，是不必要的。因此有下面一條在解析函數(shù)理論中最基本的定理。因此在上面的假設(shè)下，函數(shù) f (z)沿B內(nèi)任何一條在 B 內(nèi)連續(xù)的假設(shè)柯西-古薩基本定理CB內(nèi)處處解析, 則在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:如果函數(shù) f (z)在單連通域 B定理中曲線C 可以不是簡單曲線。這個(gè)定理又稱柯西積分定理。25CB柯西-古薩基本定理成立

8、的條件之一是曲線 C 要屬于區(qū)域B。如果曲線C是B的邊界, 函數(shù) f (z) 在B內(nèi)與解析，甚至 f (z)在 B內(nèi)解析, 在閉區(qū)域B+C上連續(xù), 則 f (z)在邊界上C上解析，即在閉區(qū)域 B + C 上的積分仍然有26解 由積分運(yùn)算的性質(zhì)可知的正向例 計(jì)算積分其中利用柯西古薩基本定理因此有 273 基本定理的推廣復(fù)合閉路定理28在上一節(jié)中，討論了柯西-古薩定理是在單連通域里，現(xiàn)將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況。設(shè)函數(shù) f (z)在多連通域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線，當(dāng)C的內(nèi)部不完全含于D時(shí)，沿C的積分設(shè)C及C1為D內(nèi)任方向)簡單閉曲線, C1就不一定為零。意兩條(正向?yàn)?/p>

9、逆時(shí)針在C內(nèi)部, 且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D。DCC1AABBD1FEEF29其中A, B在C上, ABD內(nèi)的簡單閉曲線。如右圖，及在C1上構(gòu)成兩條全在作兩條不相交的弧線, 分析，得知將上面兩等式相加, 得DCC1AABBD1FEEF30DCC1AABBD1FEEF將上面兩式相加, 得即或31上式說明在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值, 只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)閉路變形原理?？闯梢粭l復(fù)合閉路G, 其正向?yàn)?上式說明如果將 C 及順時(shí)針, 則沿C逆時(shí)針, 沿D變形過程中不能夠經(jīng)過 f (z)不解析的點(diǎn)一重要事實(shí)，稱為 f (z)不解析的點(diǎn)

10、。這32閉曲線, C1,C2,.,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線, 它們互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果 f (z)在D內(nèi)解析, 則設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單定理(復(fù)合閉路定理)均取正方向；，其中C與為由C及Ck(k=1,2,.,n)DCC1C2C3所組成的復(fù)合閉路(C按順時(shí)針, Ck按逆時(shí)針)。33例如 從本章1的例2知: 當(dāng)C為以z0為中心的正向所以，根據(jù)閉路變形原理，對于包含z0的任何一條正向簡單曲線都有：圓周時(shí), 34解 函數(shù)的任何正向簡單閉曲線。是處處解析的。線, 因此, 它也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)。在G 內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓

11、周C1與C2，C1只例 計(jì)算的值, 為包含圓周|z|=1在內(nèi)在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個(gè)奇點(diǎn)外由于是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲xyO1GC1C2包含奇點(diǎn) z = 0，C2只包含奇點(diǎn) z=1。35則根據(jù)復(fù)合閉路定理可得從這個(gè)例子可以看到：借助于復(fù)合閉路定理，有些比較復(fù)雜的函數(shù)的積分可以化為比較簡單的函數(shù)的積分來計(jì)算它的值。這是計(jì)算積分常用的一種方法。xyO1GC1C236解 函數(shù)的正向。外是處處解析的。C 內(nèi)作三個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例 計(jì)算在復(fù)平面內(nèi)除z=0, i, -i三個(gè)奇點(diǎn)由于C是圓周|z-3|=1, 它包含這三個(gè)奇點(diǎn)。因此在奇點(diǎn) z

12、 = 0，C2只包含奇點(diǎn) z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點(diǎn) z=-i。37則根據(jù)復(fù)合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i38解 函數(shù)的正向。外是處處解析的。C 內(nèi)作三個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例 計(jì)算在復(fù)平面內(nèi)除z=0, i, -i三個(gè)奇點(diǎn)由于C是圓周|z-3|=1, 它包含這三個(gè)奇點(diǎn)。因此在奇點(diǎn) z = 0，C2只包含奇點(diǎn) z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點(diǎn) z=-i。39則根據(jù)復(fù)合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i404 原函數(shù)與不定積分41z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一如果函數(shù) f (z)在單連通域B內(nèi)處處解

13、析, 則積分與連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的路線C無關(guān)。由定理一可知, 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)z0和終點(diǎn)z1有關(guān), 如圖所示, 有42z1z2BC1C2z1z2C1C2B固定z0，讓z1在B內(nèi)變動(dòng)，令z1=z，則積分在B內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù)對這個(gè)函數(shù)我們有下面的定理。43證 從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來證。設(shè)z為B內(nèi)任意一點(diǎn), 以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K, 取定理二如果 f (z)在單連通域B內(nèi)處處解析, 則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù), 并且在K內(nèi)。于是可得充分小使z+DzzKzz044z+DzzKzz0, 存在, 當(dāng)即時(shí), 總有又任給又因從而有因此根據(jù)積分的估值性質(zhì)有45這就是說即這個(gè)定理跟

14、微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似在此基礎(chǔ)上，也可以得出類似于微積分學(xué)中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。先引入原函數(shù)的概念。46容易證明，f (z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。設(shè)G (z)和H (z)是 f (z)的何任兩個(gè)原函數(shù), 則定義如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于 f (z), , 則稱為 f (z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù)。定理二表明是 f (z)的一個(gè)原函數(shù)。所以c為任意常數(shù)。因此, 如果函數(shù) f (z)在區(qū)域B內(nèi)有一個(gè)原函數(shù) F (z), 即47則，它就有無窮多個(gè)原函數(shù), 而且具有一般表達(dá)式 F(z) +c，c為任意常數(shù)。可推得跟牛頓-萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分計(jì)跟在微積分學(xué)

15、中一樣，定義：f (z)的原函數(shù)的一般形式F (z) + c (其中c 為任意常數(shù))為 f (z)的不定積分,利用任意兩個(gè)原函數(shù)之差為一常數(shù)這一性質(zhì)，記作算公式。48證 因?yàn)橐彩?f (z)的原函數(shù), 所以或當(dāng)z=z0時(shí), 根據(jù)柯西-古薩基本定理, ，因此有f (z)的的一個(gè)原函數(shù), 則如果 f (z)在單連通域B內(nèi)處處解析, G(z)為 這里z0, z1為域B內(nèi)的兩點(diǎn)。定理三49解原函數(shù)為zsin z + cos z。所以例1 求積分的值函數(shù) zcos z在全平面內(nèi)解析, 容易求得它有一個(gè)有了原函數(shù)、不定積分和積分計(jì)算公式，復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算。50在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解

16、析。它的一個(gè)原函例2 試沿區(qū)域數(shù)為，所以內(nèi)的圓弧|z|=1, 計(jì)算的值。積分 解 函數(shù)51解例 求下列積分的值:或52解例1 求下列積分的值:53解例1 求下列積分的值:545 柯西積分公式55都是相同的?，F(xiàn)在來求這個(gè)積分的值。設(shè)B為一單連通域，為B中一點(diǎn)。若 f (z)在B內(nèi)解形原理，這積分的值沿任何一條圍繞的簡單閉曲線析，則函數(shù)在不解析。所以在B內(nèi)圍繞的一條閉曲線C的積分一般不為零。又根據(jù)閉路變則取以z0為中心，半徑為的很小的圓周既然沿圍繞z0的任何簡單閉曲線積分值都相同。(取其正向)作為積分曲線C。56由于 f (z)的連續(xù)性，在C上的函數(shù) f (z)的值將隨著的值也將隨著d的縮小而接近

17、于其實(shí)兩者是相等的, 即因此有下面的定理。的縮小而逐漸接近于它在圓心 z0 處的值, 從而可以猜想57析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內(nèi)部完全含于D，z0為C內(nèi)的任一點(diǎn)，則如果 f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處解定理(柯西積分公式) DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部, 時(shí), , 存在, 當(dāng)證 由于 f (z)在z0連續(xù), 任給設(shè)以z0為中心, R為半徑的圓且。那么有58對上式右邊第二個(gè)式子整理可得這表明不等式右端積分的?？梢匀我庑? 只要R足夠小就行了, 根據(jù)閉路變形原理, 該積分的值與R無關(guān), 所以只有在對所有的 R 積分值為零才有可能, 因此, 上式即為要證的式子。

18、59上式稱為柯西積分公式。如果 f (z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)及C上解析，那么公式仍然成立。即即, 解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。如果C是圓周, 則定理可變?yōu)?0解 由公式有例 求下列積分(沿圓周方向)的值：61解 由公式有例 求下列積分(沿圓周方向)的值：62解 例 求下列積分(沿圓周方向)的值：63解 被積函數(shù)例 計(jì)算積分C分別為：有兩個(gè)奇點(diǎn)：(1)在內(nèi)有奇點(diǎn)，故64解 被積函數(shù)例 計(jì)算積分C分別為：有兩個(gè)奇點(diǎn)：(2)在內(nèi)有奇點(diǎn)，故65解 被積函數(shù)例 計(jì)算積分C分別為：有兩個(gè)奇點(diǎn)：(3)由復(fù)合閉路定理，有666 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各高

19、階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值用積分來表示。這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同。一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了。67其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域 D內(nèi)圍繞 z0的任何一條證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證 n =1的情形, 即正向簡單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D。關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)有下面的定理。定理 解析函數(shù) f (z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的 n 階導(dǎo)數(shù)為：68先按定義有因此就是要證在時(shí)也趨向于零。69從而有令70則時(shí)I0, 而現(xiàn)要證當(dāng)71又因?yàn)閒 (z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上| f (z)| M。d

20、為z0到C上各點(diǎn)，則,小使其滿足所以Dz0dC適當(dāng)?shù)氐淖疃叹嚯x, 則取72再利用同樣的方法去求極限：便可得L是C的長度。時(shí), I0, 也就證這就證得了當(dāng)這也就證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。得了73依此類推, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：此公式可以這樣記憶： 把柯西積分公式的兩邊對z0 求 n 階導(dǎo)數(shù)，右邊求導(dǎo)在積分號下進(jìn)行，求導(dǎo)時(shí)把被積函數(shù)看作是z0的函數(shù), 而把 z 看作常數(shù)。在于通過求導(dǎo)來求積分。高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導(dǎo), 而74解1) 函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例1 求下列積分的值, 其中C為正向圓周:| z |=r1。75解OC1C2C

21、i-ixy2) 函數(shù)在C內(nèi)的C內(nèi)以i和閉路定理,i為中心作兩個(gè)正向圓周。則此函數(shù)在由C，和所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的。根據(jù)復(fù)合處不解析。在76由定理有同樣可得77因此78解1) 函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例 求下列積分的值, 其中C為正向圓周：| z |=1。79解2) 函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例 求下列積分的值, 其中C為正向圓周：| z |=1。80解3) 函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例 求下列積分的值, 其中C為正向圓周：| z |=1。81解 被積函數(shù)例 計(jì)算積分C分別為：有兩個(gè)奇點(diǎn)：(1)在內(nèi)有奇點(diǎn)

22、，故82解 被積函數(shù)例 計(jì)算積分C分別為：有兩個(gè)奇點(diǎn)：(2)在內(nèi)有奇點(diǎn)，故83解 被積函數(shù)例 計(jì)算積分C分別為：有兩個(gè)奇點(diǎn)：(3)在內(nèi)有奇點(diǎn)，故84例2 設(shè)函數(shù) f (z)在單連通域B內(nèi)連續(xù)，且對于B內(nèi)任證在B內(nèi)取定一點(diǎn)，z為B內(nèi)任意一點(diǎn)，根據(jù)已知然后還可以用證明定理二相同的方法，證明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，故 f (z)為解析函數(shù)。所以F (z)是B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，再根據(jù)上面定理知解析何一條簡單閉曲線C都有, 證明 f (z)在B內(nèi)條件，知積分的值與連接與z的路線無關(guān)，它定義了一個(gè)z的單值函數(shù)：解析(Morera)。857解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系問題：則 和 的二階偏導(dǎo)有在區(qū)域D內(nèi)解析,若

23、什么性質(zhì)？86即在內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程：分析：故有同理設(shè) 在區(qū)域內(nèi)解析，得問題：則 和 的二階偏導(dǎo)在區(qū)域D內(nèi)解析,若有什么性質(zhì)？87 這里是一種運(yùn)算記號，稱為拉普拉斯算子。 則稱 為區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯(Laplace)方程即定義 如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階88定理 若 在區(qū)域 內(nèi)解析，必為(共軛)調(diào)和函數(shù)。 證設(shè)為D的一個(gè)解析函數(shù)，那么從而則根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理，u與v具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以89 因此u與v都是調(diào)和函數(shù)。同理從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理，u與v具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以設(shè)u(x, y)為區(qū)域D內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，把使u+

24、iv在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x, y)的共軛調(diào)和函數(shù)。換句話話，在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程90利用柯西-黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v，從而構(gòu)成應(yīng)當(dāng)指出，如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù) u，那么就可以于解析函數(shù)的理論解決函數(shù)的問題。在第六章將舉例說解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的上述關(guān)系，使我們可以借助一個(gè)解析函數(shù) u+iv。下面舉例說明求法。這種方法可以稱為偏積分法。明解析函數(shù)在這個(gè)方面的應(yīng)用。的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中，v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù)。因此，上面的定理說明：區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。91這就證明了u(x, y)為調(diào)和函數(shù)。所以例1證明2) 由為調(diào)和函數(shù)，并求其共，得解 1) 因?yàn)檐椪{(diào)和函數(shù)v(x, y)和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)。92從而得到一個(gè)解析函數(shù)這個(gè)函