專題空間直線平面平行位置關系的證明方法

1、個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途第20講：空間直線、平面平行位置關系的證明方法【考綱要求】1、理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作 為推理依據(jù)的公理和定理。公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上 所有的點在此平面內(nèi)。公理2:過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只 有一條過該點的公共直線.公理45平行于同T直續(xù)的兩條直線互相平行.定理；空間中如果T角的兩邊與另T角的兩邊分別平行，那么這兩個伊相等或以立體幾何的上述定義、公理和定a為出發(fā)點，認識和理解如阮平行的有關性質(zhì)與判定.理解以下列定定理如

2、果平面外T直旋與此平面內(nèi)的r直茂平行.那么成直線與白質(zhì)平行.，記為 續(xù)續(xù)平行，則續(xù)面平行）如果T平面內(nèi)的兩條相交直愛與另一NF面都平行，1么這兩* 質(zhì)平行工記為 線面平行，則面面平行）理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明。如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行。記為線面平行，則線線平 行）b5E2RGbCAP如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都和另 外一個平面平行。記為面面平行，則線面平行）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相 互平行。1 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途垂直于同一個平面的兩條直線平行3、能運

3、用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關系 的簡單命題。4、空間向量的應用理解直線的方向向量與平面的法向量.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行【基礎知識】一、空間直線、平面平行位置關系的判定和證明空間直線、平面平行位置關系的判定和證明一般有兩種方法。方法一 幾何法）：線線平行 回線面平行回面面平行，它體現(xiàn)的主要是一個轉(zhuǎn)化的思想。plEanqFDPw位置關系定義直線和平面平行直線和平面沒有公共點。平面和平面平行如果兩個平面 沒有公共點， 則這兩個平面 互相平行判定定理如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。記為：線線平行，則

4、線面平行）如果一個平 面內(nèi)有兩條相 交直線平行于 另一個平面， 那么這兩個平性質(zhì)定理 如果一條直線 和一個平面平 行，經(jīng)過這條 直線的平面和 這個平面相 交，那么這條 直線就和兩平 面的交線平 行。記為：線 面平行，則線 線平行） 如果兩個平 面平行，那么 其中一個平面 內(nèi)的任何一條 直線平行于另2 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途面平行。記為：線面平行，則面面平行）如果一個平 面內(nèi)有兩條相 交直線分別平 行于另一個平 面內(nèi)的兩條直 線，則這兩個 平面平行。一個平面。記 為：面面平 行，則線面平 行）如果兩個平 面同時與第三 個平面相交， 那么它們的交 線平行。平行于同一

5、個平面的兩個 平面平行。兩條直線被 三個平行平面 所截，截得的 對應線段成比 例。夾在兩個平 行平面間的兩 條平行線段相 等。方法二 向量法）：它體現(xiàn)的是數(shù)學的轉(zhuǎn)化的思想和向量的工具 性。其中向量兇是直線回的方向向量，且DXDiTa9E3d向量回是平面 目 的法向量，且RTCrpUDGiT3 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途【方法講評】方法一使用情K幾何方法轉(zhuǎn)化的直統(tǒng)或平面比較容易找到按照繳評行O痢平行O平行的思粹4折解睿 狹到關雄的直解題步驟線或平面.例1 如圖所示，四邊形ABC慮平行四邊形，點S是平面ABC3卜 一點，M是SC的中點，在DM上取一點G,過G和AS作平面交

6、平面 BDMf GH 求證：AS/ GH.5PCzVD7HxA證明：連結(jié)AC交BD于Q連結(jié)MO.因為四邊形ABC虛平行四邊形，所以O為AC的中點.又M為SC的中點，所以OM/ SA所以SA/平面BMD.又平面SAH平面BMD=GH所以AS/ GH.【點評】本題是把統(tǒng)續(xù)平行的問題轉(zhuǎn)優(yōu)成線面平行來證明，要只需證明as 平行GH所在的平面MD,其關健是找到宜茂GH所在的變式S瞌1求證，如果一條直線和兩個相交平面都平行那么這奪盤線和日出交 續(xù)平行.例2 如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形PA1平面ABCD AP=AB BP=BC=2 E, F 分別是 PB,PC的中點.jLBHrnA

7、lLg(1證明：EF/平面PAD(H 求三棱錐E ABC勺體積V.解：(I 在PBM, E, F分別是 PR PC的中點，. EF/1 BC.4 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途又 BC/ AD,：EF/ AD,又.Adj平面PAD,EF平面PAD,EF/ 平面 PAD.(H 連接 AE,AC,EC過 E作 EG/ PA交 AB于點 G, 貝U BGL平面 ABCD且 EG= PA.在4PAB中，AD=AB, PAB , BP=2,. AP=AB= ,EG=./.SAABC= AB- BC= X 回 2=國,. VE-ABC= SA ABC- EG= X X =.點評】(1

8、)要證比V平面PAD,關建在于我平面PAD內(nèi)的 條直年產(chǎn)W51直耕N平 行.(2)注意觀察和聯(lián)想，有中點，多利用中點構(gòu)造中隹線.【變式演練一2】 在長方體 ABCD- A1B1C1D1中，DA= DG= 2, DD仁錯誤！，E是C1D1的中點，F(xiàn)是CE的中點.xHAQX74J0X(1求證：EA/平面BDF(2求證：平面BDFL平面BCE(3求二面角D EB- C的正切值.例3 如圖所示，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCM中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點 Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO LDAYtRyKfE解：當Q為CC1的中點時，平面 D1BQ

9、平面PAO.Q為CC1的中點,P為DD1的中點，. QB PA. P、O為 DD1 DB的中點，D1B/1 PO.又 PS PA=P D1BH QB=B D1B/平面 PAO QB/平面 PAQ5 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途庾用情置轉(zhuǎn)化的直線或平面不容易找到，而已知條4力便3T中標比較容易寫出.解題步獴例4如圖,建立空間直角坐標系f寫出點的坐標.求出直線之間向雪月/平面三角形，向量T利用向量的關系得到直線和平面的：,是以E為斜邊的等腰直角分別為回團的中點，1）設可是臼的中點，證明:平面II ）證明：在山內(nèi)存在一點-I ,kd,并求點回到回，回的距離.證明：I）如圖，連

10、結(jié)OP以O為坐標原點，分使三I 平面別以OB OC OP所在直線為臼軸,可軸，習軸，建立空間直角坐標平面D1BQ平面PAO.【點評】要證明平面DJQ平面PAO,關gt是在其中HFffi內(nèi)戰(zhàn)到兩條相交直線都和 平面PJO平行，此題在平面DM找直線更為方便.【變式演練3如圖所示*在正方體ABCA%81cl瓦中，E、F、H分別之 BG CCn mDn AiA的中點.求證：1） BF/ HD12） EG/平面 BB1D1D 3）平面 BDF/平面B1D1H.方法一向瑩法,Zzz6ZB2Ltk在平面皿內(nèi)，因此有因此平面BOE的法向量為“z,又直線回不長6 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)

11、用途II ）設點M的坐標為兇 ，則 -I ,因為日 平面BOE所以有 目，因此有匚三|,即點M的坐標為叵,在平面直角坐標系 口中， 山 的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式 組 區(qū)）,經(jīng)檢驗，點 M的坐標滿足上述不等式組，所以在 山 內(nèi)存在一點，使 日 平面 山，由點M的坐標得點-I到耳，回 的距離為0 . dvzfvkwMII【點評】由于平面H4c 一平面A4RC是原.4。為試邊的等區(qū)直角三角方， 民尸刀分劃為尸PB. HC的中點,此題更適合建立空間直角再際系解答 所I腦用 向量法解答.【變式演練4 如圖是一個直三棱柱 以A1B1C1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為 ABC已知A1B1= B1C1=

12、 l , Z AlBlCI =90 , AAl = 4, BBl = 2, CCl= 3。rqyn14ZNXII）設點O是AB的中點，證明：OC/平面A1B1C1II ）求二面角BAC-A1的大??；m）求此幾何體的體積；EmxvxOtOco”?【高考精選傳真】1.12018高考真題四川理6】評3財孤X確的是）A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行7 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【

13、解讀】A.兩直線可能平行，相交，異面故 A不正確；B.兩平面平行或相交；C.正確；D.這兩個平面平行或相交.SixE2yXPq52、2018高考真題遼寧理18）.如圖，直三棱柱 9口， 口 ，點叵分別為三和臼的中點1）證明：一二J；2）若二面角LJ為直二面角，求目的【解讀】1 ）連結(jié) g ,由已知三棱柱為直三棱柱，所以目為回中點.又因為回為臼中點 所以,又皿平面g 平面 LsJ ,因此一_6分2）以r為坐標原點，分別以直線為國軸，可軸，凹軸建立 直角坐標系三,如圖所示8 / 20個人收集整理資料，僅供交流學習，勿作商業(yè)用途程/（0：0,0）4（無O,O）.C（O4O）/KOXM）（ODG（OA

14、1）.HrUtAZ；卜設/=（甬jyJz&TOHKV.- -_ 1 12 2 ）的法向量,百包得心 V=0X 1 八一巧一Z=0:：,鵬二（l/）-Zj=O設為=（巧帖上J是平面AINC的法向篁.nCVC=OT 得、白w二o13中X X-x,H-M z=0J，：，讓=（一41/）W）1+-馬=0。 1因為為直二面角，所以山12分3. 2018年高考真題江蘇理16）如圖，在直三棱柱J 中,二1 , 曰分別是棱曰上的點點習不同于點回），且ni 為日的中點.求證：1）平面平面山 ；2）直線回平面目.【解析】證明：（1）;H8C 4B】G是直三棱區(qū) 二CCj J平面乂川.又二* ADu 平面 ABC

15、T 二CCIAD.XV AD DE, CCf QEuFffiHCGB, Cr. DE-F面芯 CC】B： . （ lb y Ifx）又丫/D匚平面 QF.二平面且DEL平面BCG32）回為國的中點,9 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途又,: 山平面山，且山平面山， mi 。又二 I 平面 UI , J I , 日平面LKI 。由A.平行于同一平面的兩個平面一定平行B.平行于同一直線的兩條直線一定平行C.垂直于同一直線的兩條直線一定平行D.垂直于同一平面的兩條直線一定平行.設a, b為兩條直線，口 , B為兩個平面，下列四個命題 中，正確的命題是（A.若a, b與所成的角相等

16、，則 / b.若 a / % , b / B , % / B ,則 a / bC.若 a? % , b? B , % / b,貝U % / BD.若 a， , b 3 , %，B ,是 ab TOC o 1-5 h z 3.設、B是兩個平面，l、m是兩條直線，下列命題中，可 以判斷 / B的是（l ?%,m?%,且l /B,m/Bl ?%,m?B,且m/%l /%,m/B且 l/ ml，,m!B,且 lm. a、b、c為三條不重合的直線，口、（3、丫為三個不重合平 面，現(xiàn)給出六個命題錯誤！ ？ a / b錯誤！ ？ a / b 錯誤！ ？ / B 6ewMyirQFL10 / 20個人收集整理

17、資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途錯誤！？ / B 錯誤??？ /a 錯誤！？ /akavU42VRUs 其中正確的命題是（A.B.C.D.已知 m n是兩條不重合的直線，口、B是兩個不重合的平 面，下列命題中正確的是（A.若 m/ % , n / B , % / B ,則 m/ n.若 m/ n, n? % , n? % ,則 m/ %C.若 口，B , ml % ,則 m BD.若 ml % , n? B , ml n,則，B6.已知m n為直線，、B為平面，給出下列命題：錯誤！ ？ n / 0c 錯誤! ? m/ ny6v3ALoS89錯誤?。?/ B 錯誤?。?m/1 nM2ub6vSTn

18、P其中正確的命題序號是平面BEFL平面PAD.在四棱錐 P- ABCD,側(cè)面PCDL底面ABCDPD!CD, E 為 PC 中點,底面 ABCD是直角梯形,AB/CD, ZADC= 90 ,AB= AD= PD= 1 , CD= 2 .BE/平 面 PAD ;12 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途（n 求 證 ：BJ 平 面 PBD ;（田設、為側(cè)棱PC上一點，用二入圮，試確定入的值，使得二 面 角 Q BD P 為 45.eUts8ZQVRd【變式演練詳細解讀】【變式演練1詳細解讀】已知：一， NI ,求證：臼sQsAEJkW5T證：過且作面且交面回于回: 山3GMsIa

19、sNXkA同理，過目作 NI 叵二.臼TIrRGchYzg又 丁 11 .二 日 又面兇過回交土于二7EqZcWLZNX.山臼. e lzq7IGf02E【變式演練2詳細解讀】解：（1證明：連接 AC交BD于。點，連接OF可得OF是 ACE的中位線，OF/ AE.又AE?平面BDF OF?平面BDF所以EA/平面BDF.13 / 20個人收集整理資料,僅供交流學習,勿作商業(yè)用途(2證明：計算可得D巳2,又DC= 2, F為CE的中點,所以DF，CE 又 BC，平面 CDD1C,1BDF，平面 BCE.所以DF! BC又 BCA C&C, 所以DF，平面BCE而DF?平面BDF所以平面(3由(2

20、知DF，平面BCE 過F作FGSX BE于G點，連接DG 貝U DG在平面BCE中的射影為FG,從而DGL BE 所以/ DGFIP為二面角D- EB- C的平面角，設其大小為9 ,計算得DF=錯誤！，F(xiàn)G=錯誤！， tan 0 =錯誤！=錯誤！， 故二面角D- EB- C的正切值為錯誤！.【變式演練3詳細解析】證明 如圖所示，取BB二的中點I,易證四邊形HKTJX是平行四邊形，二(2)取 BD 的中點 0,連接 Ed 巫0, 則 0E ：DC. 又 D& IdC, AOE DtG四邊形 OEGD1是平行四邊形，.GE/ D1O,又 D1O.平面BB1D1DEG/平面 BB1D1D. zvpgeqJ1hk3）由 1）知 D1H/ BF,又 BD/ B1D1 B1D1 HD1 平面 叩1?1BF、BD 平面 BDF 且 B1D1A HD1=DNrpoJac3v1Dm BF=B .二平面 BDF/平面 B1D1H.【變式演練4詳細解讀】解：1)如圖，以目為原點建立空間直角坐標系,14 / 20個人收集整理資料,僅供交流學