第五章 彈性力學(xué)問題的建立和一般理論

1、 第五章 彈性力學(xué)問題的建立和一般原理本章主要任務(wù)：（1）綜合彈性力學(xué)的基本(jbn)方程，及其邊界條件；（2）求解彈性力學(xué)的兩種方法位移解法和應(yīng)力解法；（3）彈性力學(xué)的幾個(gè)基本原理（4）彈性力學(xué)中最簡單的問題共三十一頁 彈性靜力學(xué)的問題構(gòu)成了偏微分方程組的邊值問題，根據(jù)應(yīng)力或位移為求解的未知函數(shù)進(jìn)行簡化，得到基本方程。直接(zhji)求解一般是十分困難的，還需要進(jìn)一步簡化為平面問題和對(duì)稱問題?；痉匠踢€為彈性力學(xué)的數(shù)值解法奠定了基礎(chǔ)。第一節(jié) 基本方程及其邊值問題第二節(jié) 位移解法 以位移表示的平衡微分方程第三節(jié) 應(yīng)力解法 以應(yīng)力表示的應(yīng)變(yngbin)協(xié)調(diào)方程第四節(jié) 彈性力學(xué)的一般原理第五節(jié)

2、 平衡方程的齊次解共三十一頁 第一節(jié) 基本(jbn)方程及其邊值問題 彈性力學(xué)(l xu)基本方程包括平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程、幾何方程和物理方程。 平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程：張量形式：共三十一頁幾何(j h)方程-應(yīng)變和位移的關(guān)系：張量形式(xngsh)：共三十一頁物理方程-應(yīng)力(yngl)和應(yīng)變關(guān)系： （1）用應(yīng)力表示應(yīng)變的關(guān)系式或張量形式：共三十一頁（2）用應(yīng)變表示(biosh)應(yīng)力的關(guān)系式 或張量形式：共三十一頁空間問題的未知數(shù)應(yīng)力(yngl)分量 6個(gè)應(yīng)變分量 6個(gè)位移分量 3個(gè)應(yīng)力邊界條件：在全部(qunb)邊界上給定外力(面力)， 應(yīng)力應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。 在S邊界上未知函數(shù)15個(gè)，方程

3、數(shù)也為15個(gè)。位移和應(yīng)力還應(yīng)該滿足單值條件求解方程所需的邊界條件:共三十一頁張量形式(xngsh)為: 在S邊界上位移(wiy)邊界條件 在全部邊界上的已知位移(wiy)。 在S邊界上或(3)混合邊界條件既有應(yīng)力邊界，又有位移邊界。共三十一頁第二節(jié) 位移法 以位移表示的平衡(pnghng)微分方程基本方程的解法 上述如此龐大的偏微分方程組的求解是不方便(fngbin)的，通常消去部分未知數(shù)，分為位移法和力法。 位移解法是以位移分量作為基本變量求解，故必須從基本方程中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，得到只包含位移分量的方程。位移法應(yīng)用必須將邊界用位移分量表示。共三十一頁位移(wiy)法：以位移(wiy)

4、為未知量代入物理(wl)方程 = D得到右式將幾何方程共三十一頁再代入平衡方程，就得到(d do)位移形式的平衡方程，稱為拉梅方程其中(qzhng)稱為體積應(yīng)變。 是拉普拉斯算子共三十一頁拉梅方程還可以表示為：其中(qzhng)： ，矢量形式的方程：其中： 共三十一頁第三節(jié) 應(yīng)力解法 以應(yīng)力表示(biosh)的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 力法：力法以應(yīng)力分量為未知函數(shù)1、平衡方程僅含應(yīng)力分量，但方程數(shù)只有3個(gè)，未知函數(shù)有六個(gè)，因此需要補(bǔ)充方程。2、應(yīng)力解法歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解(qi ji)平衡方程、物理方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。3、要將所有方程中的應(yīng)變分量消去，使他們變成一組以應(yīng)力分量表示的方程共三十一頁

5、由應(yīng)力求解位移還需補(bǔ)充應(yīng)變(yngbin)協(xié)調(diào)方程: 將方程中的應(yīng)變分量用應(yīng)力分量代替，簡化(jinhu)后得到密切爾相容方程共三十一頁其中(qzhng)共三十一頁 對(duì)于以上貝爾特拉米（Beltrami,E）-米歇爾（Michell,J.H.）方程。如體力(tl)為常數(shù)，則可化簡為共三十一頁以位移表示(biosh)的平衡方程和以應(yīng)力表示(biosh)的形變連續(xù)方程的特性 對(duì)于以位移(wiy)表示的方程為：分別對(duì)x、y、z 進(jìn)行微分并相加可得：共三十一頁 則：均滿足拉普拉斯方程，因此是調(diào)和函數(shù)。同樣(tngyng)可以推證: (自證)共三十一頁 對(duì)形變(xngbin)連續(xù)方程，作拉普拉斯算子的運(yùn)

6、算(yn sun)，則有：(自證)都是雙調(diào)和函數(shù)。 可見，在沒有體力或體力為常量時(shí)，平衡方程和形變連續(xù)方程均可歸結(jié)為雙調(diào)和方程，基本未知函數(shù)共三十一頁第四節(jié) 彈性(tnxng)理論的一般定理1. 局部影響(yngxing)原理(圣維南原理)2. 迭加原理解為：設(shè)物體的表面力為及體積力 ，按方程求得的于是又設(shè)同一物體有表面力及體積力求得應(yīng)力解為：表示的應(yīng)力由于表面力和體積力所產(chǎn)生。 可證明，基本方程及邊界條件是線性的，即迭加原理，其適用條件為：小變形情況。共三十一頁第四節(jié) 彈性理論(lln)的一般定理3. 形變(xngbin)能定理 過去我們已討論過形變能的變分形式，引入拉梅常數(shù)，并利用應(yīng)力分量

7、和形變分量表示，則有：討論外力作功時(shí)， 表示在變形過程中，形變能等于產(chǎn)生彈性位移時(shí)，外力所作功的一半，即形變能定理。 如逐漸施加載荷，則形變能等于外力所作的功。共三十一頁第四節(jié) 彈性理論的一般(ybn)定理4. 功的互等定理(dngl) 設(shè)在彈性物體上作用著兩個(gè)外力系(即兩個(gè)表面力和體積力系)，產(chǎn)生兩個(gè)應(yīng)力、形變和彈性位移系，形成兩個(gè)狀態(tài)，第一狀態(tài)的力系在第二狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功等于第二狀態(tài)的力系在第一狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功，這即功的互等定理。5. 解的唯一性定理6. 最小形變能定理 當(dāng)彈性位移既適合位移邊界條件，又滿足平衡方程時(shí)，物體中的形變能總是最小。共三十一頁 在沒有(

8、mi yu)體力的情況下，彈性力學(xué)的平衡方程和形變連續(xù)方程都是齊次的，如平衡方程的解已經(jīng)求得，以后就只要去解形變連續(xù)方程，使求解過程得到簡化。如果應(yīng)力分量用包含x，y，z 的函數(shù)來表達(dá)，稱這些函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)。下面介紹兩種應(yīng)力函數(shù)。第五節(jié) 平衡方程(fngchng)的齊次解 應(yīng)力函數(shù)取三個(gè)任意函數(shù)1. Maxwell應(yīng)力函數(shù)用這些應(yīng)力函數(shù)表達(dá)剪應(yīng)力：共三十一頁第三節(jié) 平衡方程的齊次解 應(yīng)力(yngl)函數(shù)代入平衡(pnghng)方程，并求積分得：這里稱為應(yīng)力函數(shù)。共三十一頁以應(yīng)力(yngl)函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程為：式中共三十一頁第三節(jié) 平衡方程(fngchng)的齊次解 應(yīng)力函數(shù)此時(shí)，可解彈性力學(xué)

9、中的平面問題，函數(shù)稱為艾雷(Airy)應(yīng)力函數(shù)，協(xié)調(diào)方程可化為：為雙調(diào)和函數(shù)。共三十一頁第三節(jié) 平衡方程的齊次解 應(yīng)力(yngl)函數(shù)2. 馬立拉(Morera)函數(shù)(hnsh)共三十一頁第三節(jié) 平衡(pnghng)方程的齊次解 應(yīng)力函數(shù)以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)(xitio)方程可表示為：式中：共三十一頁共三十一頁2022/7/1930作業(yè)(zuy): p96 頁 5-3, 5-6題共三十一頁內(nèi)容摘要第五章 彈性力學(xué)問題的建立和一般原理本章主要任務(wù)：（1）綜合彈性力學(xué)的基本方程，及其邊界條件。（2）求解彈性力學(xué)的兩種方法位移解法和應(yīng)力解法。直接求解一般是十分困難的，還需要進(jìn)一步簡化為平面問題和對(duì)稱問題。彈性力學(xué)基本方程包括平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程、幾何方程和物理方程。應(yīng)力應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。未知函數(shù)(hnsh)15個(gè)，方程