2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(天津卷)-試卷真題、答案及詳細(xì)解析

1、絕密 啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷,理)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘.第卷1至2頁,第卷2至4頁.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí),考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第卷注意事項(xiàng):1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.2.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B)

2、.如果事件A,B相互獨(dú)立,那么P(AB)=P(A)P(B).棱柱的體積公式V=Sh,其中S表示棱柱的底面面積,h表示棱柱的高.棱錐的體積公式V=13Sh,其中S表示棱錐的底面面積,h表示棱錐的高.一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集為R,集合A=x|0 x2,B=x|x1,則A(RB)=A.x|0 x1B.x|0 x1C.x|1x2D.x|0 x22.設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y5,2x-y4,-x+y1,y0,則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為A.6B.19C.21D.453.閱讀右邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入N的值為20,則輸出T的值為A.1

3、B.2C.3D.44.設(shè)xR,則“x-1212”是“x3bcB.bacC.cbaD.cab6.將函數(shù)y=sin2x+5的圖象向右平移10個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A.在區(qū)間34,54上單調(diào)遞增B.在區(qū)間34,上單調(diào)遞減C.在區(qū)間54,32上單調(diào)遞增D.在區(qū)間32,2上單調(diào)遞減7.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=18.如圖,在平面四邊形AB

4、CD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則AEBE的最小值為A.2116B.32C.2516D.3第卷注意事項(xiàng):1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共12小題,共110分.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)6+7i1+2i=.10.在x-12x5的展開式中,x2的系數(shù)為.11.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.12.已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線x=-1+22t,y

5、=3-22t(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點(diǎn),則ABC的面積為.13.已知a,bR,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為.14.已知a0,函數(shù)f(x)=x2+2ax+a,x0,-x2+2ax-2a,x0.若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是.三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.16.(本小題滿分13分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門

6、的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.17.(本小題滿分13分)如圖,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M為CF的中點(diǎn),N為EG的中點(diǎn),求證:MN平面

7、CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若點(diǎn)P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長.18.(本小題滿分13分)設(shè)an是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(nN*),bn是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn(nN*),求Tn;證明k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(nN*).19.(本小題滿分14分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為53,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0),

8、且|FB|AB|=62.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(k0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若|AQ|PQ|=524sinAOQ(O為原點(diǎn)),求k的值.20.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax,其中a1.(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-xln a的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2)處的切線平行,證明x1+g(x2)=-2ln lnalna;(3)證明當(dāng)ae1e時(shí),存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線.數(shù)學(xué)(天津卷,理)1.BB=

9、x|x1,RB=x|x1.A=x|0 x2,A(RB)=x|0 x1.故選B.2.C作出不等式組x+y5,2x-y4,-x+y1,y0表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.由x+y=5,-x+y=1,解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3).由z=3x+5y,得y=-35x+z5.由圖可知,當(dāng)直線y=-35x+z5過點(diǎn)A時(shí),z5最大,即z最大.所以z的最大值zmax=32+53=21.3.B輸入N=20,i=2,T=0,此時(shí)202=10是整數(shù),T=1,i=3,不滿足i5;此時(shí)203不是整數(shù),i=4,不滿足i5;此時(shí)204=5是整數(shù),T=2,i=5,滿足i5,輸出T=2.4.A由x-1212,可得0 x1.由x31

10、,可得x1.所以“x-1212”是“x3log2elog22=1,即ca1.因?yàn)閥=ln x在(0,+)上單調(diào)遞增,且b=ln 2,所以ln 2ln e=1,即bab.故選D.6.A將函數(shù)y=sin2x+5的圖象向右平移10個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2x-10+5=sin 2x.當(dāng)-2+2k2x2+2k,kZ,即-4+kx4+k,kZ時(shí),y=sin 2x單調(diào)遞增.當(dāng)2+2k2x32+2k,kZ,即4+kx34+k,kZ時(shí),y=sin 2x單調(diào)遞減,結(jié)合選項(xiàng),可知y=sin 2x在34,54上單調(diào)遞增.故選A.7.C由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖所示,|AD

11、|=d1,|BC|=d2,過點(diǎn)F作EFCD于點(diǎn)E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因?yàn)辄c(diǎn)F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因?yàn)閑=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y29=1.故選C.8.A如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接EF.AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.當(dāng)EFCD時(shí),|EF|最小,即AEBE取最小值.過點(diǎn)A作AHEF于點(diǎn)H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因?yàn)镈AB=120,所以HAF=3

12、0.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.9.4-i6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.10.52x-12x5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5rx5-r-12xr=C5rx5-r-12rx-r2=-12rC5rx5-3r2.令5-3r2=2,可得r=2.所以x-12x5的展開式中的x2的系數(shù)為-122C52=52.11.112由題意可知,四棱錐M-EFGH的底面EFGH為正方形且邊長為22,其高為12,所以V四棱錐M-EFGH

13、=1322212=112.12.12由圓C的方程為x2+y2-2x=0,可得圓心為C(1,0),半徑為1.由x=-1+22t,y=3-22t(t為參數(shù)),可得直線的普通方程為x+y-2=0.所以圓心C(1,0)到直線x+y-2=0的距離d=|1+0-2|1+1=22.所以|AB|=21-222=2.所以SABC=12|AB|d=12222=12.13.14因?yàn)?a0,18b0,所以2a+18b=2a+2-3b22a2-3b=22a-3b,當(dāng)且僅當(dāng)a=-3,b=1時(shí),等號成立.因?yàn)閍-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18b22-6=14,即2a+18b的最小值為14.14.(4,8)

14、由f(x)=ax,可得當(dāng)x0時(shí),x2+2ax+a=ax,即x2+ax+a=0,可得a=-x2x+1.由a0,可得x0時(shí),-x2+2ax-2a=ax,即x2-ax+2a=0,可得a=x2x-2.由a0,可得x2.可設(shè)函數(shù)h(x)=x2x-2,其中x(2,+).對g(x)求導(dǎo),可得g(x)=-x2+2x(x+1)2.令g(x)0,可得x0,可得-2x-1,則g(x)在(-,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,-1)上單調(diào)遞增.同理可得h(x)在(2,4)上單調(diào)遞減,在(4,+)上單調(diào)遞增.畫出g(x)和h(x)的大致圖象如圖所示.由圖可知,滿足題意的a的取值范圍是(4,8).15.解 (1)在ABC中,由

15、正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因?yàn)锽(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因?yàn)閍c,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.16.解

16、 (1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P13512351835435隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0135+11235+21835+3435=127.設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=BC,且B與C互斥.由知,P(B)=P(X

17、=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A發(fā)生的概率為67.17.解 依題意,可以建立以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DG的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,32,1,N(1,0,2).(1)證明:依題意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).設(shè)n0=(x,y,z)為平面CDE的法向量,則n0DC=0,n0DE=0,即2y=0,2x+2z=0,不妨令z=-1,可得n0=(1,0

18、,-1).又MN=1,-32,1,可得MNn0=0.又因?yàn)橹本€MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2)依題意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量,則nBC=0,nBE=0,即-x=0,x-2y+2z=0,不妨令z=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x,y,z)為平面BCF的法向量,則mBC=0,mCF=0,即-x=0,-y+2z=0,不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos=mn|m|n|=31010,于是sin=1010.所以,二面角E-BC-F的正弦值為1010.(3)設(shè)線段DP的長為h(h0,

19、2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,h),可得BP=(-1,-2,h).易知,DC=(0,2,0)為平面ADGE的一個(gè)法向量,故|cos|=|BPDC|BP|DC|=2h2+5.由題意,可得2h2+5=sin 60=32,解得h=330,2.所以,線段DP的長為33.18.(1)解 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因?yàn)閝0,可得q=2,故an=2n-1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故bn=n.所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,數(shù)列bn的通項(xiàng)公

20、式為bn=n.(2)解 由(1),有Sn=1-2n1-2=2n-1,故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.證明 因?yàn)?Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1,所以,k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=233-222+244-233+2n+2n+2-2n+1n+1=2n+2n+2-2.19.解 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|A

21、B|=2b.由|FB|AB|=62,可得ab=6,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為x29+y24=1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又因?yàn)閨AQ|=y2sinOAB,而OAB=4,故|AQ|=2y2.由|AQ|PQ|=524sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程組y=kx,x29+y24=1,消去x,可得y1=6k9k2+4.易知直線AB的方程為x+y-2=0,由方程組y=kx,x+y-2=0,消去x,可得y2=2kk+1.由5y1=9y2,可得5(k+1)=39k2+4,兩邊平方,整理得56k2

22、-50k+11=0,解得k=12,或k=1128.所以,k的值為12或1128.20.(1)解 由已知,h(x)=ax-xln a,有h(x)=axln a-ln a.令h(x)=0,解得x=0.由a1,可知當(dāng)x變化時(shí),h(x),h(x)的變化情況如下表:x(-,0)0(0,+)h(x)-0+h(x)極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).(2)證明 由f(x)=axln a,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)處的切線斜率為ax1ln a.由g(x)=1xlna,可得曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2)處的切線斜率為1x2lna.因?yàn)檫@兩條切線平行,故有ax1ln a=1x2lna,即x2ax1(ln a)2=1.兩邊取以a為底的對數(shù),得logax2+x1+2logaln a=0,所以x1+g(x2)=-2ln lnalna.(3)證明 曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,ax1)處的切線l1:y-ax1=ax1ln a(x-x1).曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,logax2)處的切線l2: