高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：7.4 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題29

1、第四節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題考綱解讀1會從實際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組3會從實際情境中抽象出一些簡單的線性規(guī)劃問題及一些簡單非線性問題加以解決命令題趨勢探究1從內(nèi)容上看，線性規(guī)劃是高考的熱點之一，考查內(nèi)容涉及最優(yōu)解、最值等，通常通過畫可行域、移線、用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題2從題型上看，題目類型多為選擇題和填空題，為容易題或中檔題，多數(shù)情況下可用特殊位置法求解.3從能力要求上看，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想與運算求解能力。知識點精講一、一元二次不等式表示平面區(qū)域一般地，二元一次不等式（）在平面直角坐標(biāo)系中表示直

2、線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，通常把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，而在坐標(biāo)系中畫不等式所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界線畫成實線。二、二元一次不等式表示平面區(qū)域的快速判斷法二元一次不等式表示平面區(qū)域的快速判斷法如表7-1所示，主要看不等式的符號與的符號是否同向，若同向，則在直線上方；若異向，則在直線下方，簡記為“同上異下”，這叫值判斷法.區(qū)域不等式直線上方直線下方直線下方直線上方三、線性規(guī)劃（1）二元一次不等式組是一組變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。（2）（）是欲達到最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù).由于又是的

3、一次解析式，所以又叫做線性目標(biāo)函數(shù)（3）求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解叫可行解，由所有可行解組成的集合叫可行域.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做該問題的最優(yōu)解.四、線性規(guī)劃的實際應(yīng)用線性規(guī)劃的實際應(yīng)用，一是給一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎么運用這些資源使完成的任務(wù)量和收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最小.題型歸納及思路提示題型96 二元一次不等式組的平面區(qū)域思路提示線性規(guī)劃中的可行域，實質(zhì)上就是一個二元一次不等式的平面區(qū)域，因而解決簡單線性規(guī)劃問題是以二元一次不等式表示平面區(qū)域

4、的知識為基礎(chǔ)的.例7.21在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點的集合的陰影表示為下列圖中的（ ）變式1 若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是 變式2 設(shè)為實數(shù)，若，則的取值范圍是 題型97 平面區(qū)域的面積思路提示要求平面區(qū)域的面積，先依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的形狀求其面積.例7.22不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于（ ） 變式1 若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則的值為（ ） 例7.23若，且當(dāng)時，恒有，則由點所形成的平面區(qū)域的面積等于（ ） 變式1 若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從變化到時，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為 例7.24在平

5、面直角坐標(biāo)系中，已知平面區(qū)域，則平面區(qū)域的面積為（ ） 變式1 在平面直角坐標(biāo)系中，點集，則：（1）點集所表示的區(qū)域面積為 ；（2）所表示的區(qū)域的面積為 題型98 求解目標(biāo)函數(shù)的取值范圍或最值思路提示線性規(guī)劃問題實質(zhì)上就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題.（1）在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)最值（線性規(guī)劃問題）；形如的含參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，可變形為斜截式，進而考查軸上截距的取值范圍.具體步驟為 = 1 * GB3 確定目標(biāo)函數(shù)移動方向； = 2 * GB3 確定最優(yōu)解.（2）在線性約束條件下求非線性目標(biāo)函數(shù)最值（要明確非線性的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義）：對于形如：的分式目標(biāo)函數(shù)，可基于

6、斜率公式化歸成，從而將問題化歸為可行域內(nèi)的點與定點確定的直線斜率的倍；對于形如的目標(biāo)函數(shù)，可化歸成可行域中的動點與定點的距離的平方.對于形如的目標(biāo)函數(shù)，因為，可將的最值化歸成可行域內(nèi)的點到直線的距離的最值的倍，或者先求出的取值范圍，然后再求的范圍即可.例7.25（2012年廣東理5）已知變量滿足約束條件，則的最大值為（ ） 變式1 （2012山東理5）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（ ） 變式2 已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定.若為上的動點，點的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ） 例7.26 若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ） 變式1 已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（ ） 變

7、式2 如果滿足約束條件，則的取值范圍是 例7.27 如果點在平面區(qū)域上，點在曲線上，那么的最小值為（ ） 變式1 已知點的坐標(biāo)滿足條件，點為坐標(biāo)原點，那么的最小值等于 ；最大值等于 變式2 已知點的坐標(biāo)滿足條件，點為坐標(biāo)原點，那么的最小值為（ ） 例7.28設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域，平面區(qū)域與關(guān)于直線對稱，對于中的任意一點與中的任意一點，的最小值等于（ ） 變式1 設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域，則中的點到直線距離的最大值是 變式2 已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ） A.1 B.2 C.8 D.9變式3 不等式組所確定的平面區(qū)域記為，若圓：的所有點都在區(qū)域內(nèi)，則圓的面積的最大值是 .題型99

8、求解目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍思路提示 對于含參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，如型，可變形為斜截式，進而考查軸上截距的取值情況；如（且型，可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，又恒過定點的性質(zhì)，讓指數(shù)函數(shù)的圖像“動起來”，即先找到第一個與可行域的交點（臨界狀態(tài)），然后向某個方向（順時針或逆時針）旋轉(zhuǎn)，直到與可行域中最后一個交點（臨界狀態(tài)）相交后停止.例7.29 已知變量，滿足條件，若目標(biāo)函數(shù)其中僅在點處取得最大值，則的取值范圍是 .變式1 已知平面區(qū)域由以，為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域上有無數(shù)多個點可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則 （ ）A. B. C.1 D.4變式2 若，滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最小值，則的

9、取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 變式3 若實數(shù)，滿足不等式組，且的最大值為，則實數(shù) （ ）A. B. C. D. 變式4 已知實數(shù)，滿足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)等于 （ ）A. B. C. D. 變式5 設(shè)集合，.（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為，則的值是 .變式6 設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 例7.30 設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為，使函數(shù)的圖像過區(qū)域的的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 變式1 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若指數(shù)函數(shù)的圖像上存在區(qū)域中的點，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）A. B. C. D.

10、 變式2若函數(shù)圖像上存在點滿足約束條件，則實數(shù)的最大值為 （ ） A. B. C. D. 例7.31 設(shè)，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值為 （ ） A. B. C. D. 變式1 設(shè)，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值是 .題型100 簡單線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用思路提示 常見問題有物資調(diào)運、產(chǎn)品安排和下料問題等.思想是先從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，然后確定其函數(shù)意義.其解題步驟為：（1）模型建立.（2）模型求解.畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點，選定可行域中的特殊點作為最優(yōu)解. （3）模型應(yīng)用.將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實例中，設(shè)計出最佳方案.例7.32

11、 某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為（ ） A.甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱分析 設(shè)未知數(shù)，確定線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，畫出可行

12、域和目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的初始直線、平行直線，確定最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最值.變式1某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）來源:學(xué) A.1800元 B.2400元 C.2800元 D.3100元變式2 在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往臨近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運輸費

13、用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺，若每輛車至多運一次，則該廠所花的最少運費為 （ ） A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元變式3某農(nóng)戶種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量和售價如表7-2所示. 表7-2年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為 （ ） A.50，0 B.30，20 C.20，30 D.0，50 最有效訓(xùn)練29（

14、限時45分鐘）1.在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 （ ）A. B. C. D.22.設(shè)動點坐標(biāo)滿足，則的最小值為（ ） A. B. C. D.103.給出平面區(qū)域（包括邊界）如圖7-20所示，若使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則的值為 （ ） A. B. C.4 D.4.已知，滿足不等式組，且的最大值是最小值的3倍，則 （ ） A. B. C. D.15.已知實數(shù)，滿足，則的最大值是（ ）A. B. C. D.216.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則的值為 （ ） A. B. C. D.37.點和在直線的兩側(cè)，則實數(shù)的取值范圍是 .8.滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是 .9