10.5matlab在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用教案

1、10.5matlab在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用教案10.5matlab在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用教案10.5matlab在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁(yè) 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師 授課班級(jí)授課時(shí)間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題10.5 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：MATLAB在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用教學(xué)目的1.了解級(jí)數(shù)的有關(guān)理論。2.了解函數(shù)的Taylor展開式。3.學(xué)習(xí),掌握MATLAB軟件中有關(guān)命令。教學(xué)重點(diǎn)1、級(jí)數(shù)的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)1、無(wú)窮級(jí)數(shù)的計(jì)算教學(xué)用具備 注新授課練習(xí)1 先用Taylor命令

2、觀察函數(shù)Maclaurin展開式的前幾項(xiàng),若觀察前6項(xiàng),相應(yīng)的MATLIB代碼為clear;syms x;taylor(sin(x),0,1)taylor(sin(x),0,2)taylor(sin(x),0,3)taylor(sin(x),0,4)taylor(sin(x),0,5)taylor(sin(x),0,6)運(yùn)行結(jié)果為 taylor(sin(x),0,1) ans =0 taylor(sin(x),0,2) ans = x taylor(sin(x),0,3) ans = x taylor(sin(x),0,4) ans = x-1/6*x3 taylor(sin(x),0,5)

3、ans = x-1/6*x3 taylor(sin(x),0,6) ans = x-1/6*x3+1/120*x5然后在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)和其Taylor展開式的前幾項(xiàng)構(gòu)成的多項(xiàng)式函數(shù),的圖形,觀察這些多項(xiàng)式函數(shù)的圖形向的圖形逼近的情況。在區(qū)間上作函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)圖形的MATLIB代碼為x=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.3/6;y4=x-x.3/6+x.5/120;plot(x,y1,x,y2,:,x,y3,:,x,y4,:)運(yùn)行結(jié)果如圖3.1，其中實(shí)線表示函數(shù)的圖形。類似的，根據(jù)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)作圖觀察其展開式的前幾項(xiàng)多項(xiàng)式函數(shù)逼近原函數(shù)的情況

4、。練習(xí)2 利用冪級(jí)數(shù)計(jì)算指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)可展開為冪級(jí)數(shù)其通項(xiàng)為，因此用下列循環(huán)相加就可計(jì)算出這個(gè)級(jí)數(shù)。x=input(x=);n=input(n=);y=1;%輸入原始數(shù)據(jù),初始化yfor i=1:n y=y+xi/prod(1:i);end,vpa(y,10),%將通項(xiàng)循環(huán)相加，得y執(zhí)行此程序，分別帶入x=1,2,4,-4這四個(gè)數(shù)，取n=0，得到結(jié)果如下：2.718281801,7.388994709,54.44310406,.9671957672e-1用vpa(exp(1),10),vpa(exp(2),10),vpa(exp(4),10),vpa(exp(-4),10)命令可得?的有1

5、0位精確有效數(shù)字的結(jié)果為2.718281828,7.389056099,54.59815003,.1831563889e-1對(duì)照可知，用級(jí)數(shù)法計(jì)算的有效數(shù)字分別為8，4，2，0位。因此這個(gè)程序雖然原理上正確，但不適用。對(duì)不同的x，精度差別很大。還存在其它的問題：這個(gè)程序不能用于x的元素群運(yùn)算；當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，它成為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂很慢；該程序要做次乘法，n很大時(shí)，乘法次數(shù)太多，計(jì)算速度很低；對(duì)不同的x，要取不同的n才能達(dá)到精度要求，因此n不應(yīng)由用戶輸入，應(yīng)該由程序按精度要求來(lái)選。針對(duì)上面的四個(gè)問題,可以采用下面的四種方法改進(jìn):(1)允許數(shù)組輸入,改進(jìn)輸出顯示x=input(x=);n=input(

6、n=);y=ones(size(x);%輸入原始數(shù)據(jù),初始化yfor i=1:ny=y+x.i/prod(1:i);%循環(huán)相加s1=sprintf(%13.0f,i);s2=sprintf(%15.8f,y);%將結(jié)果變?yōu)樽址甦isp(s1,s2)%顯示end,執(zhí)行此程序,輸入x=1 2 4 -4,n=10,結(jié)果為 1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.6666666

7、7 4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333 6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986 10 2.71828180

8、 7.38899471 54.44310406 0.09671958(2)可以利用exp(-x)=1/exp(x)來(lái)避免交錯(cuò)級(jí)數(shù)的計(jì)算。（3）為了減少乘法次數(shù)，設(shè)一個(gè)中間變量z，它的初始值為z=ones(sine(x)，把循環(huán)體中的計(jì)算語(yǔ)句改為y=y+z;z=x.z/i;這樣，求得的z就是z=x.i/i，于是每個(gè)循環(huán)只需做一次乘法，計(jì)算整個(gè)級(jí)數(shù)只需n次乘法。按這種方法，y的初始值改為y=zeros(size(x)。(4)為了按精度選擇循環(huán)次數(shù)，不應(yīng)使用for循環(huán)，而用while語(yǔ)句，它可以設(shè)置循環(huán)的條件語(yǔ)句，通?？捎脃+z-ytol，tol是規(guī)定的允許誤差，只要相鄰的兩次y值之差大于tol，循環(huán)就繼續(xù)進(jìn)行，直到小于tol為止。當(dāng)x較大時(shí)，exp(x)仍能很快收斂，還可以利用關(guān)系式，令x1=x/k。k通常取大于x而接近x的2的冪，例如x=100，就取k=128，可以保證x1的絕對(duì)值小于1，這時(shí)級(jí)數(shù)收斂的很快。從練習(xí)中可以看出，n取10時(shí)就能保證7位有效數(shù)字，而可以化為，即exp(x1)的7次自乘，總共享17次乘法就可完成？的計(jì)算，既保證了精度，又提高了速度。【練習(xí)與思考】習(xí)題1用T