9.5二重積分教案

1、9.5二重積分教案9.5二重積分教案9.5二重積分教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題9.5二重積分教學(xué)目的1. 理解二重積分積分的概念，了解并會應(yīng)用重積分的性質(zhì)。2. 熟練掌握利用直角坐標和極坐標計算二重積分的方法。教學(xué)重點二重積分概念，二重積分的計算。教學(xué)難點對二重積分概念的理解，將重積分化為累次積分時的定限及更換積分次序。教學(xué)用具備 注回顧舊知引入新課新授課新授課課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)定積分

2、相關(guān)知識一二重積分的概念與性質(zhì) 曲頂柱體的體積 設(shè)有一立體，它的底面是平面上的有界閉區(qū)域，側(cè)面是以的邊界曲線為準線、母線平行于軸的柱面，它的頂是由二元非負連續(xù)函數(shù)所表示的曲面，這里且在上連續(xù)(圖9-5(a)，這種立體稱為曲頂柱體. 試求其體積.圖9-5如果曲頂柱體的頂是與平面平行的平面，也就是該柱頂?shù)母叨仁遣蛔兊模敲此捏w積可以用公式：體積 = 底面積高來計算.現(xiàn)在柱體的頂是曲面，當自變量在區(qū)域上變動時，高度是個變量，因此它的體積不能直接用上式計算.我們可采用類似于求曲邊梯形面積的方法來研究曲頂柱體的體積. 分割 將區(qū)域分割成個小區(qū)域：，同時也用表示第個小區(qū)域的面積以每個小區(qū)域的邊界線為準線

3、，以平行于軸的直線為母線作柱面，這樣就把給定的曲頂柱體分割成了個小曲頂柱體近似 由于是連續(xù)變化的，在每個小區(qū)域上，各點高度變化不大，可以近似看做平頂柱體并在中任意取一點，把這點的高度認為就是這個小平頂柱體的高度，如圖9-5(b).所以第個小曲頂柱體的體積的近似值為 求和 將個小曲頂柱體體積的近似值相加，得到所求曲頂柱體體積的近似值 取極限 區(qū)域分割的越細密，上式右端的和式越接近于體積.令個小區(qū)域的最大直徑，則上述和式的極限值就是曲頂柱體的體積，即許多實際問題都可按以上做法，歸結(jié)為和式的極限剔除具體問題的實際意義，可從這類問題抽象概括出它們的共同數(shù)學(xué)本質(zhì)，得出二重積分的定義 定義1 設(shè)函數(shù)是定義

4、在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域任意分割成個小區(qū)域同時它也表示其面積，在每個小區(qū)域上任取一點，作和，如果當各個小區(qū)域的直徑的最大值趨于零時，上式和的極限存在，且此極限與區(qū)域的分割方法以及點的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記作，即其中叫做被積函數(shù)，叫做積分表達式，叫做面積微元，稱為積分區(qū)域，為積分變量. 關(guān)于定義1的幾點說明：圖9-6 (1)這里積分和的極限存在與區(qū)域分成小區(qū)域的分法和點的取法無關(guān)當在區(qū)域上可積時，常采用特殊的分割方式和取特殊的點來計算二重積分在直角坐標系中，常用分別平行于軸和軸的兩組直線來分割積分區(qū)域，這樣小區(qū)域都是小矩形(圖9-6)這時小區(qū)域，因此面積元素

5、為，在直角坐標系下. (2)可以證明，若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則二重積分一定存在 (3)二重積分的幾何意義:當且連續(xù)時，二重積分在數(shù)值上等于以區(qū)域為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積； 當時，二重積分表示該柱體體積的相反數(shù)；當有正有負時，二重積分表示以曲面為頂，以為底的被面分成的上方和下方的曲頂柱體體積的代數(shù)和特別的，當時，表示區(qū)域的面積，即.二二重積分的性質(zhì) 由于二重積分和定積分本質(zhì)都是和式的極限，所以它們有著相似的性質(zhì)，下面給出二重積分的基本性質(zhì). 性質(zhì)1 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分號前面，即 性質(zhì)2 函數(shù)和或差的二重積分等于各個函數(shù)二重積分的和或差，即 性質(zhì)3 如果積分區(qū)域被分成兩個

6、子區(qū)域，則在上的二重積分等于各個子區(qū)域上二重積分的和，即三平面直角坐標系下二重積分的計算 用和式的極限來計算二重積分是非常困難的，所以需要尋求一種實際可行的方法來計算二重積分，下面介紹如何在直角坐標系下和極坐標系下將二重積分化為兩次積分的計算方法. 平面直角坐標系下計算二重積分的方法是把二重積分化為二次積分。首先畫出積分區(qū)域，找出積分區(qū)域中的最小值和最大值，并將其擦去，則積分區(qū)域的邊界上只剩下兩條“線”：上面一條線，下面一條線，則的取值就是從到，即 這樣二重積分就可以通過求兩次定積分來計算，第一次計算積分，把看作常數(shù)，是積分變量；第二次積分時，是積分變量.這種方法稱為先對后對的二次積分.圖9-

7、7 同樣，也可找出圖形中的最小值和最大值，并將其擦去，則圖形的邊界上只剩下兩條“線”：右面一條線，左面一條線，則的取值范圍就是從到，圖9-8從而有，即將二重積分化為先對后對的二次積分. 例1 計算二重積分，其中區(qū)域為由圍成的區(qū)域. 解：先畫出區(qū)域的圖形圖9-9 此題若先對積分，后對積分須分塊考慮，計算較麻煩. 例2 計算二重積分，其中區(qū)域為由圍成的區(qū)域. 解：先畫出積分區(qū)域的圖形圖9-10如果化為先后的二次積分計算比較麻煩.因為積分區(qū)域要分成兩個.四極坐標系下二重積分的計算 在計算二重積分時，如果被積函數(shù)和積分區(qū)域邊界曲線和圓有關(guān)系，則考慮在極坐標系下進行計算， 極坐標變換公式 可以把直角坐標系下的二重積分化為極坐標系下的二重積分通常都是先對積分，后對積分.(1)極點在區(qū)域之外圖9-11這時閉區(qū)域可表示為，則有(2)極點在區(qū)域邊界上這時閉區(qū)域可表示為，則有圖9-12(3)極點在區(qū)域內(nèi)部(圖7-24)圖9-13這時閉區(qū)域可表示為，則有 例3 計算，其中是圓形區(qū)域.解：先畫出積分區(qū)域的圖形區(qū)域的極坐標表示為 從而 = 例4 計算，其中是環(huán)形區(qū)域. 解：先畫出積分區(qū)域的圖形 區(qū)域