6.2定積分的基本公式教案

1、6.2定積分的基本公式教案6.2定積分的基本公式教案6.2定積分的基本公式教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁(yè) 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級(jí)授課時(shí)間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題6.2定積分基本公式教學(xué)目的理解變上限定積分的概念。理解微分基本定理和牛頓-萊布尼茨公式。3.會(huì)用微分基本定理和牛頓-萊布尼茨公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分。教學(xué)重點(diǎn)用微分基本定理和牛頓-萊布尼茨公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分。教學(xué)難點(diǎn)用微分基本定理和牛頓-萊布尼茨公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分。教學(xué)用具備 注

2、山東理工職業(yè)學(xué)院教案紙教學(xué)過(guò)程教 學(xué) 內(nèi) 容教學(xué)方法復(fù)習(xí)檢查引入新課引入新課新授課考勤 計(jì)算函數(shù)在上的定積分，我們可以從定積分的定義出發(fā)，利用求和式極限的方法，但這種方法難度較大而且只能解決極少函數(shù)的定積分.本章通過(guò)揭示導(dǎo)數(shù)與定積分的關(guān)系，引出定積分的基本公式得出利用原函數(shù)計(jì)算定積分的方法.變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，為上的任意一點(diǎn)，則積分存在.當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，積分是上限的函數(shù)，稱為變上限的定積分，記作.因?yàn)槎ǚe分與積分變量所用字母無(wú)關(guān)，為了避免混淆，將積分變量用表示，即，.變上限定積分的幾何意義，用表示右側(cè)一邊可以變動(dòng)的曲邊梯形的面積，隨著的變化而變化因而是的函數(shù).o a b 變上限函數(shù)有下

3、面的重要性質(zhì).定理1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則變上限的定積分在區(qū)間上可導(dǎo)，且. 這說(shuō)明是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).由此可得到原函數(shù)存在定理.定理2 若函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)是函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù).這個(gè)定理既肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系.變上限函數(shù)的重要性質(zhì)不僅在證明微積分基本定理時(shí)有重要作用，在討論函數(shù)本身的性質(zhì)時(shí)也很重要.例1 已知，求.解 由定理1知 .例2 設(shè) 求.解 .求.解 當(dāng)時(shí)，此極限為型不定式，利用洛必達(dá)法則有.例4 求.解 積分上限是的函數(shù)，所以變上限積分是的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有.一般地，如果可導(dǎo)，則. 牛頓萊布尼茲公式定理3 如果函數(shù)在上

4、連續(xù)，且是在上的一個(gè)原函數(shù)，則 (1)證明 因是在上的一個(gè)原函數(shù)，而 也是在上的一個(gè)原函數(shù)，故，因?yàn)?， 所以.故 ， 從而，所以有 .在上式中令，則有，即.為了書寫方便，通常用來(lái)表示，即 .定理3稱為微積分基本定理，它揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系.公式(3)稱為牛頓-萊布尼茲公式，它為定積分的計(jì)算提供了有效的方法.計(jì)算函數(shù)在上的定積分，就是計(jì)算的任一原函數(shù)在上的增量.從而將計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù).例5 求積分.解 .例6 求積分.解 .例7 求積分.解 .例8 求積分.解 .例9 求積分.解 .例10 求積分.解 .例11 求積分.解 此題要先去掉絕對(duì)值符號(hào)后才能計(jì)算定積分.因 ，所以課堂練習(xí)練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）2求