2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)4.6　正弦、余弦定理與解三角形

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI4.6正弦、余弦定理與解三角形第四章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破03素養(yǎng)提升微專題4 正弦、余弦定理在實際應(yīng)用中的幾個重要數(shù)學(xué)模型必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.正弦定理和余弦定理在ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則3.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫做俯角(如圖1).(2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30、北偏西45、西偏北

2、60等.(3)方位角:指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如點B的方位角為(如圖2).(4)坡角:坡面與水平面所成的二面角的平面角.常用結(jié)論1.在ABC中,常有以下結(jié)論(1)A+B+C=.(2)在三角形中大邊對大角,大角對大邊.(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;(5)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(6)ABabsin Asin Bcos Ac2,則C90;(3)若a2+b290.3.三角形中的射影定理在ABC中,a=bcos C+c

3、cos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.【考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c.()(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形.()(3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要條件是AB.()(4)在ABC中,a2+b2c2是ABC為鈍角三角形的充分不必要條件.()(5)在ABC的六個元素中,已知任意三個元素可求其他元素. ()答案 B 答案 A 4.(2019全國2,理15)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

4、b,c.若b=6,a=2c,B= ,則ABC的面積為.5.(2020北京東城一模,14)ABC是等邊三角形,點D在邊AC的延長線上,且AD=3CD,BD=2 ,則CD=,sinABD=.解析 如圖所示,等邊ABC中,因為AD=3CD,所以AC=2CD,又BD=2 ,所以BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,即(2 )2=(2CD)2+CD2-4CDCDcos 120,解得CD=2,所以AD=6.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點1利用正弦、余弦定理解三角形答案 (1)A(2)B 解題心得1.已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b

5、=2Rsin B,c=2Rsin C能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化.2.已知兩邊和它們的夾角、已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運用余弦定理解三角形,在運用余弦定理時,要注意整體思想的運用.3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的“有界性”和“大邊對大角”進行判斷.對點訓(xùn)練1(1)(2020福建福州三模,理15)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2sin2A+cos B=1,則 的取值范圍為.(2)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2

6、-a2=8,則ABC的面積為.考點2判斷三角形的形狀【例2】 (1)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定(2)(2020山東濟寧5月模擬,17)在sin A,sin B,sin C成等差數(shù)列;sin B,sin A,sin C成等比數(shù)列;2bcos C=2a- c三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并加以解答.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,面積為S.若,且4S= (b2+c2-a2),試判斷ABC的形狀.(2)解 方案一:選條件.由余弦定理

7、可得a2=b2+c2-bc,因為sin A,sin B,sin C成等差數(shù)列,所以2sin B=sin A+sin C,即2b=a+c,即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.所以ABC為等邊三角形.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因為sin B,sin A,sin C成等比數(shù)列,所以sin2A=sin Bsin C,即a2=bc,所以(b-c)2=0,所以b=c.所以ABC為等邊三角形.變式發(fā)散1若本例(1)條件改為“asin A+bsin Bcsin C”,那么ABC的形狀為.答案 鈍角三角形 變式發(fā)散2若本例(1)條件改為“c-acos B=(2a-b)cos A”,那么A

8、BC的形狀為.答案 等腰三角形或直角三角形解析 因為c-acos B=(2a-b)cos A,C=-(A+B),所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,所以cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A,所以A= 或B=A或B=-A(舍去),所以ABC為等腰三角形或直角三角形.變式發(fā)散3若本例(1)條件改為 ,那么ABC的形狀為.答案 直角三角形 解題心得判斷三角形的形狀的兩種方法(1)

9、利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系,通過三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用A+B+C=這個結(jié)論.考點3正弦、余弦定理與三角變換的綜合問題【例3】 (2020河北保定二模,文16,理16)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2+b2-c2=absin C,acos B+bsin A=c,a= ,則b=.解題心得在三角形中進行三角變換要注意隱含條件:A+B+C=的使用;運用正弦定理、余弦定理能夠進行邊角互化

10、以及化異角為同角,從而實現(xiàn)消元的目的,為三角變換提供了條件.對點訓(xùn)練2(1)(2020安徽馬鞍山二模,9)已知ABC三內(nèi)角A,B,C滿足cos 2A+cos 2B=1+cos 2C,且2sin Asin B=sin C,則下列結(jié)論正確的是()考點4正弦、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用【例4】 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山腳C在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山腳C在西偏北75的方向上,山頂D的仰角為30,則此山的高度CD= m.解題心得利用正弦、余弦定理解決實際問題的一般思路是:1.實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三

11、角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;2.實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先求解條件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.對點訓(xùn)練3(2020河南實驗中學(xué)4月模擬,14)如圖,為測量出高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從點A測得點M的仰角MAN=60,點C的仰角CAB=45,MAC=75.從C點測得MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高MN=m.答案 150 要點歸納小結(jié)1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的

12、關(guān)系.2.在已知關(guān)系式中,既含有邊又含有角,通常的解題思路:先將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理時,會出現(xiàn)解的不確定性,一般可根據(jù)“大邊對大角”來取舍.要點歸納小結(jié)1.在解三角形中,三角形內(nèi)角和定理起著重要作用,在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍,確定三角函數(shù)值的符號,防止出現(xiàn)增解等擴大范圍的現(xiàn)象.2.在判斷三角形的形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.素養(yǎng)提升微專題4正弦、余弦定理在實際應(yīng)用中的幾個重要數(shù)學(xué)模型一、測量高度問題的模型【例1】 (2020山東牟平一中模擬)如圖,在塔底D的正西方

13、A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5,在塔底D的南偏東60的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0,A,B的距離是84 m,則塔高CD=m.解題心得求解高度問題的三個關(guān)注點(1)在處理有關(guān)高度問題時,理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.對點訓(xùn)練1(2020吉林四平一中模擬)一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水

14、柱頂端的仰角為45,沿點A向北偏東30前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m答案 A解析 作出示意圖如圖所示,設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在ABC中,BAC=60,AC=h,AB=100,在RtBCD中,BC= h,根據(jù)余弦定理得,( h)2=h2+1002-2100hcos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.【例2】 (2019江蘇,18)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓

15、O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA,規(guī)劃要求:線段PB,QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米),求當(dāng)d最小時,P,Q兩點間的距離.解(方法1)(1)過A作AEBD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因為PBAB,因此道路P

16、B的長為15(百米).(2)若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.所以BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當(dāng)OBP90時,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再討論點Q的位置.(方法2)(1)如圖,過O作OHl,垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因為BD=12,AC=6,所以O(shè)H=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標(biāo)分別為3,-3.因為AB為圓O的直徑,A

17、B=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.(2)若P在D處,取線段BD上一點E(-4,0),則EO=45,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處,連接AD,由(1)知D(-4,9),所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當(dāng)OBP90時,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再討論點Q的位置.解題心得1.測量距離問題,無論題型如何變化,即兩點的情況如何,實質(zhì)都是要求這兩點間的距離,無非就是兩點所在三角形及其構(gòu)成元素所知情況不同而已,恰當(dāng)?shù)禺嫵?找出)適合解決問題的三角形是解題的基礎(chǔ),將已

18、知線段長度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長和角是解題的關(guān)鍵.2.處理距離問題的策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.對點訓(xùn)練2(2020廣東湛江一中模擬)一船以每小時15 km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔B在北偏東60的方向上,行駛4 h后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15的方向上,這時船與燈塔的距離為 km.二、測量角度問題的模型【例3】 如圖,甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60方向的B處,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船速度是乙船速度的 倍,問甲船應(yīng)沿什么方向前進才能在最短時間內(nèi)追上乙船,此時乙船行駛了