高中數(shù)學題型全面歸納（教師版）：2.1 映射與函數(shù)4

1、第二章 函數(shù)映射定義表示解析法列表法三要素圖象法定義域對應關系值域性質奇偶性周期性對稱性單調性定義域關于原點對稱，在x0處有定義的奇函數(shù)f (0)01、函數(shù)在某個區(qū)間遞增(或減)與單調區(qū)間是某個區(qū)間的含義不同；2、證明單調性：作差（商）、導數(shù)法；3、復合函數(shù)的單調性最值二次函數(shù)、基本不等式、打鉤（耐克）函數(shù)、三角函數(shù)有界性、數(shù)形結合、導數(shù).冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)基本初等函數(shù)抽象函數(shù)復合函數(shù)賦值法、典型的函數(shù)函數(shù)與方程二分法、圖象法、二次及三次方程根的分布零點函數(shù)的應用建立函數(shù)模型使解析式有意義函數(shù)換元法求解析式分段函數(shù)注意應用函數(shù)的單調性求值域周期為T的奇函數(shù)f (T)f ( eq f(T,2

2、)f (0)0復合函數(shù)的單調性：同增異減一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖象、性質和應用平移變換對稱變換翻折變換伸縮變換圖象及其變換本章知識結構圖函數(shù)八字圖圖像方程不等式式式函數(shù)性質質本章以函數(shù)為核心,其內容包括函數(shù)的圖像與性質.函數(shù)的性質主要包括函數(shù)的定義域、解析式、值域、奇偶性、單調性、周期性及對稱性函數(shù).的圖像包括基本初等函數(shù)的圖像及圖像變換.函數(shù)知識的外延主要結合于函數(shù)方程（函數(shù)零點）及函數(shù)與不等式的綜合.函數(shù)方程（函數(shù)零點）問題常借助函數(shù)圖像求解函數(shù)與不等式的綜合可通過函數(shù)的性質及函數(shù)圖像轉化求解.第一節(jié) 映射與函數(shù)考綱解讀1、了解函數(shù)的構成要素，了解映射的概念.2、在實際情況中，

3、會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù).3、了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.命題趨勢探究 有關映射與函數(shù)基本概念的高考試題，考查重點是函數(shù)的定義、分段函數(shù)的解析式和函數(shù)值的求解，主要以考查學生的基本技能為主，預測2019年試題將加強對分段函數(shù)的考查，考試形式多以選擇題或填空題為主.知識點精講1、映射 設A，B是兩個非空集合，如果按照某種確定的對應法則f，對A中的任何個元素x，在B中有且僅有一個元素y與之對應，則稱f是集合A到集合B的映射.注 由映射的定義可知，集合A到集合B的映射，元多個元素對應一個元素，但不允許個元素對應多個元素， 即可以一對一，也可多對一，但不

4、可一對多.注 象與原象如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么與A中的元素a對應的B中的元素b叫a的象記作bf(a),a叫b的原象A的象記為f(A)2、一一映射設A，B是兩個集合，f是A到B的映射，在這個映射下，對應集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一個元素都有唯一的原象，那么該映射f為AB的一一映射.注 由一一映射的定義可知，當A，B都為有限集合時，集合A到集合B的一一映射要求一個元素只能對應個元素，不可以多對一更不能一對多；同時還可知道，集合A與集合B中的元素個數(shù)相等.3、函數(shù)設集合A，B是非空的數(shù)集，對集合A中任意實數(shù)x按照確定的法則f集合B中都有唯一確定的實數(shù)

5、值y與它對應，則這種對應關系叫做集合A到集合B上的一個函數(shù)記作yf(x)xA其中叫做自變量，其取值范圍（數(shù)集A）叫做該函數(shù)的定義域，如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作yf（a）或y|x=2，所有函數(shù)值構成的集合叫做該函數(shù)的值域，可見集合C是集合B的子集 .注 函數(shù)即非空數(shù)集之間的映射注 構成函數(shù)的三要素構成函數(shù)的三要素：定義域、對應法則、值域.由于值域是由定義域和對應法則決定的，所以如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應法則一致，就稱兩個函數(shù)為同一個函數(shù)，定義域和對應法則中只要有一個不同，就是不同的函數(shù).題型歸納及思路提示題型10 映射與函數(shù)的概念思路提示 判斷一個

6、對應是不是映射，應緊扣映射的定義，即在對應法則f下對應集合A中的任一元素在B中都有唯的象，判斷一個對應是否能構成函數(shù)，應判斷：（1）集合A與是否為非空數(shù)集；（2）f：AB是否為一個映射.例2.1 若f：AB構成映射下列說法中正確的有（ ） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT A中任元素在B中必須有象且唯一； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B中的多個元素可以在A中有相同的原象； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT B中的元素可以在A中無原象； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 象的集合就是集合BA = 1 * GB3 * MERGEFORM

7、AT = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT C. = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT D. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 解析 由映射的定義可知, = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 集合A中任一元素在B中必須有象且唯是正確的；集合A中元素的任意性與集合B中元素的唯一性構成映射的核心，顯然不正確，“一

8、對多”不是映射；因A在對應法則f下的值域C是B的子集，所以正確； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 不正確，象的集合是集合B的子集，并不一定為集合B故選C變式1 在對應法則f下，給出下列從集合A到集合B的對應 (2) ；（3）Ax|是平面內的三角形，By|y是平面內的圓，f：:xy是x的外接圓；（4）設集合Ax|是平面內的圓，By|y是平面內的矩形，f:：xy是x的內接矩形其中能構成映射的是_分析 判斷一個對應是不是映射，應緊扣映射定義，即在對應法則 QUOTE * MERGEFORMAT 下，對應集合A中的任一元素在B中能否都有唯一的象.解析 在（1）中，元素0在B中沒有象，不

9、滿足“任意性”，因此，（1）不能構成映射。在（2）中，當 QUOTE * MERGEFORMAT 為偶數(shù)時，其象為1；當 QUOTE * MERGEFORMAT 為奇數(shù)時，其象為-1，而1，-1 QUOTE * MERGEFORMAT ，即A中任一元素在B中都有唯一的象，因此（2）能構成映射。在（3）中，因為任一三角形都有唯一的外接圓，所以（3）能夠成映射.在（4）中，因為平面內的任一個圓，其內接矩形有無數(shù)個，因此（4）不能構成映射.綜上所述，能構成映射的有（2）（3）評注 判斷一個對應是否能夠成映射，應緊扣映射定義，在映射 QUOTE * MERGEFORMAT 中，A,B的地位是不對等的，

10、它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一，一般地，若A中元素的象的集合為C，則 QUOTE * MERGEFORMAT ，同時要注意映射中集合元素的對象是任意的，可以是數(shù)、點或其它任意對象.變式2 已知函數(shù)yf(x),定義域為A1,2,3,4值域為C5,6,7,則滿足該條件的函數(shù)共有多少個？分析 由函數(shù)定義，本題等價于將4件不同的東西分配給3人，且每人至少1件.解析 利用捆綁法，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，故滿足條件的函數(shù)有36個例2.2有以下判斷：與表示同一函數(shù)；函數(shù)的圖象與直線的交點最多有1個；與是同一函數(shù)；若，則.其中正確判斷的序號是_解析對于，由于函數(shù)的定義域為

11、，而函數(shù)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于，若不是定義域內的值，則直線與的圖象沒有交點，如果是定義域內的值，由函數(shù)定義可知，直線與的圖象只有一個交點，即的圖象與直線最多有一個交點；對于，與的定義域、值域和對應關系均相同，所以和表示同一函數(shù)；對于，由于，所以.綜上可知，正確的判斷是.變式1 下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析A中函數(shù)的定義域不是2,2，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是0,2，故選B.題型11 同一函數(shù)的判斷思路提示 當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)例2.3 在下列各組函數(shù)中，找出是同一函數(shù)的一組

12、與y=1與（3）與解析 （1）的定義域為;y=1的定義域為R,故該組的兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；的定義域為;的定義域為R，故該組的兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；兩個函數(shù)的定義域均為0，且對應法則也相同,故該組的兩個函數(shù)是同一函數(shù)故為同一函數(shù)的一組是（3）評注 由函數(shù)概念的三要素容易看出，函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關，而與用什么字母表示變量無關這被稱為函數(shù)表示法的無關特性變式1下列函數(shù)中與y是同一函數(shù)的是( ) (2) (4)A (1)(2) B(2)(3) C(2)(4) D(3)(5)分析 首先判定定義域，再判斷對應法則，也可快速判斷值域.解析（1） QUOTE * MERGEFORMAT 的解

13、析式不同，不是同一函數(shù)；（2） QUOTE * MERGEFORMAT 的定義域和解析式完全相同，為同一函數(shù)（3） QUOTE * MERGEFORMAT ，但函數(shù)的定義域為 QUOTE * MERGEFORMAT 的定義域不相同，故不是同一函數(shù)；（4） QUOTE * MERGEFORMAT ，其定義域與解析式與 QUOTE * MERGEFORMAT 完全相同，為同一函數(shù)；（5） QUOTE * MERGEFORMAT 解析式不同，故不是同一函數(shù)，故選C評注 由于值域可由定義域和對應法則唯一確定，所以兩個函數(shù)當且僅當定義域和對應法則分別相同時，才是同一函數(shù)，即使定義域和值域都分別相同的兩個

14、函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，因此函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應法則。題型12 函數(shù)解析式的求法思路提示 求函數(shù)解析式的常用方法如下：當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法.若易換元后求出，用換元法.若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求.一、待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例2.4已知二次函數(shù)的圖像上任意一點都不在直線y=x的下方.求證:a+b+c1;設，若F(0)5，且F（x）的最小值等于2，求的解析式.解析（1）因為的圖像上任點都不在直線yx的下方，所以，即abc1.因為的

15、圖像上任意一點都不在直線yx的下方，取相同x，二次函數(shù)值總大于一次函數(shù)值，所以，即，得，對任意xR成立.因為a0.所以a0且 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 又得C=2所以.所以F（x）的最小值為.整理得. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 將 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 式與c=2代人 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 式，整理得且即=0，所以b=5，a=2.故變式1已知是一次函數(shù)，若，求.解析 設 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT .評注 當已知 QUOTE * MERGE

16、FORMAT 的函數(shù)類型，要求 QUOTE * MERGEFORMAT 的解析式時，可根據(jù)類型設出解析式，再確定系數(shù)得出解析式二、換元法或配湊法（適用于了型）例2.5已知，求函數(shù)的解析式.分析 把看成一個整體，可用換元法求解析式解析 解法一（換元法）令=t（），則得，所以，即解法二(配湊法）：,即評注 利用換元法求函數(shù)解析式時，應注意對新元t范圍的限制變式1 已知,求的解析式.分析 利用換元法求解.解析：令 QUOTE * MERGEFORMAT 評注 對于 QUOTE * MERGEFORMAT 形式的表達式求解 QUOTE * MERGEFORMAT 的有效方法：令 QUOTE * MER

17、GEFORMAT ，解出 QUOTE * MERGEFORMAT ，代入函數(shù)表達式，但應注意新元的范圍。變式2設=，又記(k=1,2,),則=( ). B. C. D.解析 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT , 可看作周期為4的變換，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，故選C.評注 QUOTE * MERGEFORMAT 只表示表達式相同，其定義域不同， QUOTE * MERGEFORMAT .本題亦可用特殊值法. QUOTE * MERGEFORMAT .故選 C例2.6 已知函數(shù)滿足,則的表達式為_.解析 ,又或2,故(x2或

18、x0時,1-a1.得 解得 .（不符，故舍去）；當a1,1+a1,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a解得.綜上, . 變式1 已知實數(shù)a0,函數(shù)若則a的值為_分析 以分段函數(shù)的分界點為討論的標準.解析 分段函數(shù)的分界點為1，當時，；當時. = 1 * GB3 當時，由得：解得； = 2 * GB3 當時，因此滿足，得，滿足； = 3 * GB3 當時，因此解得，不滿足.綜上，的值為或.變式2 (2017武漢調研)函數(shù)滿足，則a所有可能的值為()A1或eq f(r(2),2) Beq f(r(2),2)C1 D1或eq f(r(2),2)解析：，；當時，.最有效訓練題4（限時45分鐘）1.下

19、列對應法則中，構成從集合A到集合B的映射的是( )A. B . C. D. 2.如圖2-2所示，（a），（b），（c）三個圖像各表示兩個變量x，y的對應關系則有A 都表示映射，且（a），（b），（c）表示y為x的函數(shù)B 都表示y是x的函數(shù)C 僅（b）（c）表示y是x的函數(shù) D 都不能表示y是x的函數(shù)3.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（ ）A. 與 B. 與C. 與 D. 與 4.設集合A和B都是坐標平面上的點集，映射f：AB使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（xy，x-y），則在映射f下，象（2，1）的原象是（ ）A.(3，1) B. C. D. 5(2016安徽六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為()A2 B2C2或2 D.eq r(2)6.(2016唐山期末)已知的值域為R，那么a的取值范圍是()A(，1 B(1，eq f(1,2)C1，eq f(1,2) D(0，eq f(1,2)7.定義在R上的函數(shù)滿足，則f(-3)=_.8.設函數(shù) ,則 的值為_.9.設函數(shù) ,若 則關于的方程的解的個數(shù)為_.10若