高中數(shù)學(xué) （1.1.1任意角）教案 新人教A版必修4

1、PAGE 1第一章 三角函數(shù)本章教材分析1.本章知識結(jié)構(gòu)如下:2.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是:三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他的函數(shù)相比,具有許多重要的特征:它以角為自變量,是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具,是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材.本章的認知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識,特別強調(diào)了單位圓的直觀作用,借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù).3.本章教學(xué)的重點是三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質(zhì).難點是弧度制和圖象變換的準(zhǔn)確理解和掌握.關(guān)鍵是學(xué)好三角函數(shù)定義

2、.從實際教學(xué)情況來看,教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生的畫圖.“五點畫圖”雖然簡單,但卻易學(xué)難掌握.在本章教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學(xué)知識,通過列舉熟知的實例,創(chuàng)設(shè)豐富的情境,使學(xué)生體會三角函數(shù)模型的意義.教學(xué)時,可結(jié)合本章引言的章頭圖,讓學(xué)生圍繞這些問題展開討論,通過思考,讓學(xué)生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.4.三角函數(shù)的內(nèi)容一直是高考的重要內(nèi)容,特別是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),及結(jié)合三角形的基礎(chǔ)知識為背景的三角函數(shù)知識,頻頻在各省高考試題中出現(xiàn),難度雖有降低,卻是經(jīng)久不衰的高考考查內(nèi)容.5.本章教學(xué)時間約需16課時,具體分配如下(僅供參考):標(biāo) 題課 時1.1任意

3、角和弧度制約2課時1.2任意角的三角函數(shù)約3課時1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式約2課時1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)約4課時1.5函數(shù)y=Asin(x+)的圖象約2課時1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用約2課時本章復(fù)習(xí)約1課時1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角整體設(shè)計教學(xué)分析 教材首先通過實際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認知沖突,然后通過具體例子,將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角,在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗)的基礎(chǔ)上,更好地認識任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角

4、坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認識問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個重要任務(wù). 學(xué)生的活動過程決定著課堂教學(xué)的成敗,教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能,在這個過程上要不惜多花些時間,讓學(xué)生進行操作與思考,自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S=|=+k360,kZ的含義.如能借助信息技術(shù),則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學(xué)生觀察角的變化與

5、終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動態(tài)的過程中體會,既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義.三維目標(biāo) 1.通過實例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運動變化的觀點,并由此深刻理解推廣之后的角的概念. 2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí),認識集合S中k、的準(zhǔn)確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個,它們相差360的整數(shù)倍.這對學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價值觀具有重要意義. 3.通過類比正、負數(shù)的規(guī)定,讓學(xué)生認識正角、負角并體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用,為今后的

6、學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).重點難點教學(xué)重點:將0360范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學(xué)難點:用集合來表示終邊相同的角.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課圖1 思路1.(情境導(dǎo)入)如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機,只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運動員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度,這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣.進而引入角的概念的推廣的問題. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶初中我們是如何定義一個角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實生活的一些現(xiàn)象

7、,比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學(xué)生展開討論,進而引入角的概念的推廣問題.推進新課新知探究提出問題你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如你的手表快了1.25小時,你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)時間調(diào)整準(zhǔn)確后,分針轉(zhuǎn)過了多少度角?體操運動中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個動作中,運動員轉(zhuǎn)體多少度?請兩名男生(或女生、或多名男女學(xué)生)起立,做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動作.在這個過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度? 活動:讓學(xué)生到講臺利用準(zhǔn)備好的教具鐘表,實地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動作.教師強調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對回答正確的學(xué)生及

8、時給予鼓勵、表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形,設(shè)一條射線的端點是O,它從起始位置OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個角,點O是角的頂點,射線OA、OB分別是角的始邊和終邊. 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角.鐘表的時針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以簡記作“”. 如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果是零角,那么=0.討論結(jié)果:順時針方

9、向旋轉(zhuǎn)了30;逆時針方向旋轉(zhuǎn)了450.順時針方向旋轉(zhuǎn)了720或逆時針方向旋轉(zhuǎn)了720.-180或+180或-540或+540或900或1 080提出問題能否以同一條射線為始邊作出下列角:210,-45,-150.如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思? 0角又是什么意思? 活動:先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點撥,并對回答正確的學(xué)生及時表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生,教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中,問題會怎樣呢?并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角

10、的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”的現(xiàn)象. 今后我們在坐標(biāo)系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.討論結(jié)果:能.使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣:210角是第三象限角;-45角是第四象限角;-150角是第三象限角.特別地,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個象限,比如0角.可以借此進一步設(shè)問:銳角是第

11、幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何?將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中,給定一個角,就有唯一一條終邊與之對應(yīng),反之,對于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?提出問題在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210,-150的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328,-32,-392角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系?所有與終邊相同的角,連同角在內(nèi),怎樣用一個式子表示出來? 活動:讓學(xué)生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關(guān)系,再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時地引導(dǎo):終邊相同的一

12、系列角與0到360間的某一角有什么關(guān)系,從而為終邊相同的角的表示作好準(zhǔn)備. 為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個32角,放在直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,形成-32角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生對后者的回答是多種多樣的. 至此,教師因勢利導(dǎo),予以啟發(fā),學(xué)生對問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點得以突破.同時學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中,體會到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情,這是比學(xué)習(xí)知識本身更重要的.討論結(jié)果:210與-150角的終邊相同;328,-32,-392角的終邊相同.終邊相同的角相差360的整數(shù)倍.設(shè)S=-32

13、+k360,kZ,則328,-392角都是S的元素,-32角也是S的元素(此時k=0).因此,所有與-32角的終邊相同的角,連同-32在內(nèi),都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個元素顯然與-32角終邊相同.所有與終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以構(gòu)成一個集合S=k360+,kZ.即任一與角終邊相同的角,都可以表示成與整數(shù)個周角的和.適時引導(dǎo)學(xué)生認識:kZ;是任意角;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360的整數(shù)倍.應(yīng)用示例例1 在0360范圍內(nèi),找出與-95012角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-95012=12948-3360,所以在0360的范圍內(nèi),與-95

14、012角終邊相同的角是12948,它是第二象限的角.點評:教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計-95012大致是360的幾倍,然后再具體求解.例2 寫出終邊在y軸上的角的集合. 活動:終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負方向兩個.學(xué)生很容易分別寫出所有與90,270的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進一步思考:能否化簡這兩個式子,用一個式子表示出來. 讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強調(diào)數(shù)學(xué)的簡捷性.在數(shù)學(xué)表達式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.圖2 解:在0360范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個,即90和270角,如圖2.因此,所有與90的終邊相同的角構(gòu)成集合

15、S1=90+k360,kZ.而所有與270角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2=270+k360,kZ.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1S2=90+2k180,kZ=90+180+2k180,kZ=90+2k180,kZ=90+(2k+1)180,kZ=90+n180,nZ. 點評:本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會用集合表示終邊相同的角時,表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓(xùn)練寫出終邊在x軸上的角的集合.寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.答案:S=(2n+1)180,nZ.S=n90,nZ.例3 寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-36072

16、0的元素寫出來.圖3解:如圖3,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45,在0360范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個:45和225,因此,終邊在直線y=x上的角的集合S=45+k360,kZ=225+k360,kZ.S中適合-360720的元素是:45-2180=-315,45-1180=-135,45+0180=45,45+1180=225,45+2180=405,45+3180=585. 點評:本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.例4 寫出在下列象限的角的集合:第一象限; 第二象限;第三象限; 第四

17、象限. 活動:本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路,或者把中的范圍寫成090,可引導(dǎo)學(xué)生分析360450范圍的角是不是第一象限的角呢?進而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角.解:終邊在第一象限的角的集合:n360n360+90,nZ.終邊在第二象限的角的集合:n360+90n360+180,nZ.終邊在第三象限的角的集合:n360+180n360+270,nZ.終邊在第四象限的角的集合:n360+270n360+360,nZ. 點評:教師給出以上解答后可進一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學(xué)生思考、討論后形成共識,并進一步深刻理解終

18、邊相同角的意義.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.銳角是第一象限角,第一象限角不一定是銳角;直角不屬于任何一個象限,不屬于任何一個象限的角不一定是直角;鈍角是第二象限角,但是第二象限角不一定是鈍角.點評:要深刻認識銳角、直角、鈍角和象限角的區(qū)別與聯(lián)系,并理解記憶.為弄清概念的本質(zhì)屬性,還可以再進一步啟發(fā)設(shè)問:銳角一定小于90嗎?小于90的角一定是銳角嗎?鈍角一定大于90嗎?大于90的角一定是鈍角嗎?答案當(dāng)然是:不一定.讓學(xué)生展開討論,在爭論中,將對問題的認識進一步升華,并牢牢的記憶這些基礎(chǔ)知識.2.三、三、五. 點評:本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應(yīng)用到其他周期性問題上.題目聯(lián)系實際,把教

19、科書中除數(shù)360換成每個星期的天數(shù)7,利用了“同余”來確定7k天后、7k天前也是星期三,這樣的練習(xí)難度不大,可以口答.3.(1)第一象限角.(2)第四象限角.(3)第二象限角.(4)第三象限角. 點評:能作出給定的角,并判斷是第幾象限的角.4.(1)30542,第四象限角.(2)358,第一象限角.(3)24930,第三象限角. 點評:能在給定的范圍內(nèi)找出與指定角終邊相同的角,并判斷是第幾象限的角.5.(1)=1 3038+k360,kZ,-49642,-13642,22318.(2)=-225+k360,kZ,-585,-225,135. 點評:用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合,并在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角的終邊相同的角.課堂小結(jié)以提問的方式與學(xué)生一起回顧本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡要總結(jié):讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你