2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第八章　平面解析幾何指點(diǎn)迷津(三)　求曲線軌跡方程的方法

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI指點(diǎn)迷津(三)求曲線軌跡方程的方法第八章2022曲線C與方程F(x,y)=0滿足兩個(gè)條件:(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.求曲線方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接將幾何條件或等量關(guān)系用坐標(biāo)表示為代數(shù)方程.(2)定義法:利用曲線的定義,判斷曲線類型,再由曲線的定義直接寫出曲線方程.(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),一個(gè)為所求,設(shè)為(x,y),另一個(gè)在已

2、知曲線上運(yùn)動(dòng),設(shè)為(x0,y0),利用已知條件找出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,用所求表示已知,即(5)交軌法:引入?yún)?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程,將參數(shù)消去,得到兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.一、直接法求軌跡方程【例1】 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,2 ),定點(diǎn)P(1,1).(1)求ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過(guò)定點(diǎn)P的直線與ABC的外接圓交于E,F兩點(diǎn),求弦EF中點(diǎn)的軌跡方程.方法總結(jié)直接法求軌跡的方法和注意問(wèn)題(1)若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則可用直接法,其一般步驟是:設(shè)點(diǎn)列式化簡(jiǎn)檢驗(yàn).求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)要注意檢驗(yàn),即除去多余的點(diǎn),補(bǔ)上遺漏的點(diǎn).(2)若

3、是只求軌跡方程,則把方程求出,把變量的限制條件附加上即可;若是求軌跡,則要說(shuō)明軌跡是什么圖形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;(2)記(1)中軌跡為C,若過(guò)點(diǎn)N(-2,3)的直線l被C所截得的線段長(zhǎng)度為8,求直線l的方程.二、定義法求軌跡方程【例2】 已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡為L(zhǎng),設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x,y)的距離的最小值為m,點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x,y)的距離為n.(1)求圓C的圓心軌跡L的方程;(2)求滿足條件m=n的

4、點(diǎn)M的軌跡Q的方程.解(1)兩圓半徑都為1,兩圓圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),由題意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,C1C2的中點(diǎn)為(0,-1),直線C1C2的斜率不存在,所以圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.(2)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x,y)的距離的最小值是點(diǎn)M到直線y=-1的距離,因?yàn)閙=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等,故點(diǎn)M的軌跡Q是以y=-1為準(zhǔn)線,點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn),頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線,而 =1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y.方法總結(jié)定義法求軌跡方程(1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程

5、時(shí),若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)曲線的方程,寫出所求的軌跡方程.(2)利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖所示,已知圓A:(x+2)2+y2=1與點(diǎn)B(2,0),分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(1)PAB的周長(zhǎng)為10;(2)圓P與圓A外切,且過(guò)B點(diǎn)(P為動(dòng)圓圓心);(3)圓P與圓A外切,且與直線x=1相切(P為動(dòng)圓圓心).三、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程【例3】 如圖所示,拋物線E:y2=2px(p0)與圓O:x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過(guò)劣弧A

6、B上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)作圓O的切線交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1,l2,l1與l2相交于點(diǎn)M.(1)求p的值;(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.方法總結(jié) (1)求點(diǎn)N的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí),求的值.四、參數(shù)法求軌跡方程【例4】 點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線y2=4px(p0)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OAOB,OMAB于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.方法總結(jié)應(yīng)用參數(shù)法求軌跡方程的程序:選參求參消參.注意消參后曲線的范圍是否發(fā)生變化.答案 y=2x-2 五、交軌法求軌跡方程 【例5】 (2020東北三省四市一模)如圖,已知橢圓C: 的短軸端點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且不與B1,B2重合,點(diǎn)N滿足NB1MB1,NB2MB2.(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程;(2)求四邊形MB2NB1