高等數(shù)學(xué)+第四章+不定積分 課件

1、第四章 不定積分4.1 不定積分的概念和性質(zhì)4.2 換元積分法和分步積分法4.3 有理函數(shù)的積分 數(shù)學(xué)中很多運算都存在逆運算，例如：加法與 減少、乘法與除法、乘方與開方、指數(shù)與對數(shù)等等，都是互逆運算。 求導(dǎo)運算也存在逆運算, 這個逆運算就是本章所要講的不定積分?，F(xiàn)在先看不定積分中遇到的第一個概念。4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念4.1 不定積分的概念和性質(zhì)例如定義4.1.1則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù).是的一個原函數(shù).也是的原函數(shù).問題(1)何種函數(shù)具有原函數(shù)?(2)函數(shù)若具有原函數(shù),怎樣寫出原函數(shù)?4.1.1、原函數(shù)設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)如果存在一個函數(shù)F(x) 對于該區(qū)間上每

2、一點都滿足結(jié)論: 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則存在可導(dǎo)函數(shù) 使連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)性質(zhì)1 若 ，則對于任意常數(shù) ，原函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 2 若 和 都是 的原函數(shù)，則（ 為常數(shù)）不定積分的定義函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做f(x)的不定積分， 若 則的不定積分為：定義4.1.2補例1 求不定積分解 因為 所以 補例3總之,補例2. 求解.解當(dāng)時,當(dāng)時,不定積分表示的是一族函數(shù),從幾何上看,代表一族曲線,稱為積分曲線族.4.1.2 不定積分的幾何意義曲線:為任意常數(shù) )在 ( x0 , y0 )的切線的斜率為 f ( x0 )yox設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則稱曲線y=F(x)為f(x)的一條積分曲

3、線.如果把這條積分曲線沿y軸平行移動C個單位,就得到f(x)的全體積分曲線y=F(x)+C,叫做f(x)的積分曲線族,而f(x)正是積分曲線的斜率.因為不論常數(shù)C取何值,都有F(x)+Cf(x),所以在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點處其切線都是彼此平行的,如圖所示.補例4. 設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任意點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解即,由題意知又曲線通過點(1,2),此曲線的方程為設(shè)所求曲線方程為：xyo1124.1.3 不定積分的基本性質(zhì)(1)(2)求不定積分的運算與求導(dǎo)數(shù)運算是互逆的.結(jié)論等式成立.證（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）4.1.4 基本積分

4、表例4.1.4 求解例4.1.5求解例4.1.6 求解例4.1.7 求解例4.1.8.求解補例6.求解補例7.求解補例8.求解補例9.求解補例10.求解補例11.求解補例12.求解例4.1.9 求解例4.1.10 求解例4.1.11 求解補例13 求解例4.1.12.求解補例14. 求解補例15.求解補例16.求解補例17.求解思路點撥：利用添項、減項法和分項積分法，使其變簡單，再直接積分。解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.用變量代換的方法來計算不定積分過程令1. 第一類換元法（湊微分法）4.2.1 換元積分法問題定理4.2.1湊微分法的關(guān)鍵步驟在于 有原函數(shù) 和 可導(dǎo),如果積分 可化為的形

5、式,且設(shè)則有化為換元法公式（湊微分法）例4.2.1 求解 先利用導(dǎo)數(shù)把已給不定積分化為由于觀察重點不同，所得結(jié)論不同.務(wù)必熟記基本積分表和一些湊的技巧.例4.2.2例4.2.3例4.2.4 求解例 4.2.5補例1補例2補例3補例4補例6補例5補例7補例8補例9補例10例4.2.8證明:(1)(2) (3)說 明以上三式可作為公式用.(1)證(2) (3)補例11補例12例4.2.8 解證明公式 法二補例13 解1證明公式解2補例14解補例15解補例16 求解補例17 求解補例18.求解例4.2.10 求(1)解補例19解補例20解補例21解法1解法2說明1).用湊微分法計算不定積分,常常需要

6、對被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或三角恒等變換. 2). 有些問題需要反復(fù)使用湊微分法求解不定積分.補例23補例22 例4.2.10 求(1)解例4.2.10 求(2)解例4.2.11解2. 第二類換元法證定理4.2.2 (第二換元法) (變量代換法)設(shè)單調(diào)可微, 且若則還原作代換補例24有理代換例4.2.12 求解 令補例25.求解 令例4.2.13 求解 令補例26(公式19) 求解 設(shè) 三角代換解例4.2.14設(shè)三角代換由變換 x=asint 可得圖12-2，所以 axt axt由變換 x=atant 可得圖12-2，所以例4.2.16解設(shè)axt例4.2.17 求解 設(shè)x=asect,(0t0)

7、作變量代換，這樣的代換叫做倒代換。例4.2.18 補例 28補例29 求說明:本題可用三角代換倒代換解 令解 因為例4.2.19 設(shè)函數(shù) 定義于(0,1)上,且滿足求的 表達(dá)式. 令 則得到 從而 4.2.2 分部積分法設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由得兩邊求不定積分，得應(yīng)用分部積分法的關(guān)鍵在于u,v的選擇是否恰當(dāng)?shù)倪x擇原則是:1).由基本湊微分公式要易求得;2).要比易求.說明定理1補例30 求補例31 求解 設(shè)例4.3.1求解取由分部積分公式,得例4.3.2 求例4.3.3例4.3.4 求 所以解 設(shè)例 4.3.5 求即解 因為所以補例 32補例32例4.3.6 求解解得例4.3.7 求解解得補例3

8、3 求解則解得補例34. 求解解補例35.求補例36 補例37補例38解說 明有時在積分過程中,需要同時用到換元法和分部積分法.例4.3.8令例4.3.9補例39. 設(shè)解4.3 有理函數(shù)的積分4.3.1有理函數(shù)的定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).部分分式:由一個真分式分解成幾個真分式的代數(shù)和,則這幾個分式中的每一個真分式叫做原分式的部分分式或分項分式. 部分分式例如:其中a,b是待定常數(shù), 去分母,得:5x-3 =a(x-1) +b(3x-1) 于是有5x-3 = (a+3b)x -(a+b)比較兩邊同次系數(shù),得: a+3b=5 a=2 a+ b=3 b=1用帶定系數(shù)法求部分分式 多

9、項式g(x)在實數(shù)集內(nèi)能分解成一次因式的冪與二次質(zhì)因式的冪的乘積,即 g(x)=b0(x-a)k(x-b)m(x2+px+q) (x2+rx+s)注意:1)(x-a)k代表k重因式,即k個(x-a)相乘.(x-a)(x-a)2)分母是k重一次因式可拆成k個部分分式之和;且分子均為常數(shù),分母由1重,2重,k重遞增.3)重二次質(zhì)因式作分母可拆成個部分分式之和，且分子均為一次因式.解: 原分式為假分式應(yīng)先化為帶分式.去分母得x2+3x+1=a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)用數(shù)值代入法求a,b,c, 于是2x2 +1=a(x2 +x+1)+(bx+c)(x-1) 即 2x2 +1

10、=(a+b)x2 +(a-b+c)x+a-c 比較兩邊同次項系數(shù),解這個三元一次方程組,得 a+b=2 a=1 a-b+c=0 b=1 a-c=1 c=0 例4.3.1 將有理真分式 分解為部分分式解 設(shè)兩邊去掉分母,得令得令得比較兩邊項系數(shù),得即于是, 即x2 -2x+5=a(x-2)(1-2x)+b(1-2x)+c(x-2)2 例4.3.2 求解例4.3.3 求解由例4.3.7的遞推公式有補例4 求所以解 把被積函數(shù)化成分項分式觀察法 補例5 求補例6 求補例7. 求解 設(shè)兩邊去掉分母,得令得比較兩邊項系數(shù),得即比較兩邊常數(shù)項,得即補例8. 求解 設(shè)兩邊去掉分母,得令得令得比較兩邊項系數(shù),得即于是,補例9. 求解. 利用綜合除法,得即令得令得令得例4. 3.5求解1:利用綜合除法,得解2:先將被積函數(shù)進(jìn)行整理,得補例10小結(jié)(1). 求有理函數(shù)積分時,首先要看是否為真分式.若是假分式,應(yīng)先將其化為多項式與真分式之和,然后將真分式分解為最簡分式, 再積分.(2). 有些問題除滿足一般規(guī)律外,還存在著某些特殊規(guī)律,利用其特殊規(guī)律往往使積分更簡便.補例11 湊微分法補例12 變量代換法 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四