信號(hào)與系統(tǒng)-信號(hào)與系統(tǒng)4課件

1、南京郵電大學(xué)信號(hào)分析與信息處理教學(xué)中心2009.3SIGNALS AND SYSTEMS信號(hào)與系統(tǒng)第四章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第四章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析概述4.1 拉普拉斯變換4.2 典型信號(hào)的拉普拉斯變換4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)4.4 拉普拉斯反變換4.6 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.7 系統(tǒng)函數(shù)4.8 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分析系統(tǒng)特性4.9 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性本章要點(diǎn)作業(yè) 返回連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析概述傅里葉變換（頻域）分析法在信號(hào)分析和處理方面十分有效：分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、取樣、濾波等要求信號(hào)滿足狄里赫勒條件只能求零狀態(tài)響應(yīng)

2、反變換有時(shí)不太容易拉普拉斯變換（復(fù)頻域）分析法 在連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的分析方面十分有效可以看作廣義的傅里葉變換變換式簡(jiǎn)單擴(kuò)大了變換的范圍為分析系統(tǒng)響應(yīng)提供了規(guī)范的方法返回4.1 拉普拉斯變換4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件的原因是： 只要 取得合適，很多函數(shù)(幾乎所有常用的函數(shù))都可以滿足絕對(duì)可積的條件。一. 引進(jìn)廣義函數(shù)(傅氏變換)二. 拉氏變換(無需引進(jìn)廣義函數(shù)) 若 f(t) 不滿足狄里赫勒條件，我們?yōu)榱四塬@得變換域中的函數(shù)，人為地用一個(gè)實(shí)指數(shù)函數(shù)e- t 去乘 f (t) 。稱 為衰減因子； e- t 為收斂因子。解決的方法：取 f(t)e- t 的傅里

3、葉變換：其傅里葉反變換為雙邊拉普拉斯正變換雙邊拉普拉斯反變換上兩式稱為雙邊拉普拉斯變換對(duì)，可以表示為拉氏變換擴(kuò)大了信號(hào)的變換范圍。變換域的內(nèi)在聯(lián)系時(shí)域函數(shù)頻域函數(shù)時(shí)域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)4.1.2 單邊拉普拉斯變換考慮到：1. 實(shí)際信號(hào)都是有始信號(hào)，即2. 我們觀察問題總有一個(gè)起點(diǎn)，或者說只需考慮 的部分 。此時(shí)拉普拉斯正變換可以改寫為 正變換的積分下限用 0- 的目的是：把 t=0 時(shí)出現(xiàn)的沖激包含進(jìn)去。這樣，利用拉氏變換求解微分方程時(shí)，可以直接引用已知的初始狀態(tài) f(0-)。 但反變換的積分限并不改變。以后只討論單邊拉氏變換： （1）f (t) 和 f (t) (t) 的拉氏正變換 F(s) 是

4、一樣的。 （2）反之，當(dāng)已知 F(s) ，求原函數(shù)時(shí)，也無法得到 t 0 時(shí)， f(t)e- t 絕對(duì)收斂。(4) 任何可以進(jìn)行拉氏變換的信號(hào)，其拉氏變換 F(s) 中一定沒有沖激函數(shù)。 4.1.3 （單邊）拉氏變換的收斂域 信號(hào) f (t) 乘以收斂因子后，有可能滿足絕對(duì)可積的條件。是否一定滿足，還要看 f (t) 的性質(zhì)與 的相對(duì)關(guān)系。通常把使 f (t)e- t 滿足絕對(duì)可積條件的 值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。 滿足上述條件的最低限度的 值，稱為 0 (絕對(duì)收斂橫坐標(biāo))。如：有始有終的能量信號(hào) 0 = -功率信號(hào) 0 = 0按指數(shù)規(guī)律增長的信號(hào)：如 e t ，0 = 凡是增長速度不超過

5、指數(shù)函數(shù)的函數(shù)，統(tǒng)稱為指數(shù)階函數(shù)。指數(shù)階函數(shù)均可以用乘以 e- t 的方法將其分散性壓下去。結(jié)論：凡指數(shù)階函數(shù)都有拉氏變換。比指數(shù)信號(hào)增長的更快的信號(hào)：如 找不到0 ，則此類信號(hào)不存在拉氏變換。 單邊拉氏變換的收斂域是：復(fù)平面( s 平面)內(nèi)，Re(s) =0 的區(qū)域，比較容易確定。一般情況下，不再加注其收斂域。1. 傅里葉級(jí)數(shù)： 實(shí)際上是把周期信號(hào)分解為一系列離散的等幅振蕩的正弦分量之和。 復(fù)振幅： （可以用復(fù)平面虛軸上的離散頻譜表示） 4.1.4 變換域之間的內(nèi)在聯(lián)系單元信號(hào):角頻率: （在虛軸上離散取值）2. 傅里葉變換頻譜密度： （可以用復(fù)平面虛軸上的連續(xù)頻譜表示）單元信號(hào):角頻率:

6、（在虛軸上連續(xù)取值） 復(fù)振幅： （為無窮小量） 實(shí)際上是把非周期信號(hào)分解為無窮多等幅振蕩的正弦分量之和。3. 拉普拉斯變換象函數(shù)： （可以用 s 右半平面上的連續(xù)頻譜表示）單元信號(hào):復(fù)頻率: （在 s 右半平面上連續(xù)取值） 復(fù)系數(shù)： （為無窮小量） 實(shí)際上是把非周期信號(hào)分解為無窮多變幅（按指數(shù)規(guī)律增長或衰減）或等幅振蕩的正弦分量之和。4.2 典型信號(hào)的拉普拉斯變換1. 指數(shù)信號(hào) e- t (t)(這里 無任何限制)由此，可以導(dǎo)出一些常用函數(shù)的拉氏變換。2. 單位階躍信號(hào) (t)3. 單邊正弦信號(hào)4. 單邊余弦信號(hào)5. 單邊衰減或增長的正弦信號(hào)即6. 單邊衰減或增長的余弦信號(hào)7. 單邊雙曲正弦信

7、號(hào)8. 單邊雙曲余弦信號(hào)9. 沖激函數(shù)根據(jù)沖激函數(shù)作為廣義函數(shù)的定義：故即10. t 的正冪信號(hào) (n為正整數(shù))由定義：對(duì)上式進(jìn)行分部積分，令可見：依次類推：特別是 n=1 時(shí)，有拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系例如增長的指數(shù)信號(hào)：只有拉氏變換而無傅氏變換：拉氏變換、傅氏變換都存在，且例如衰減的指數(shù)信號(hào)：例如單位階躍信號(hào)： (t)：拉氏變換、傅氏變換都存在，但傅氏變換中含有沖激函數(shù)P185 表4-1典型信號(hào)的拉氏變換對(duì)4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì) 在實(shí)際應(yīng)用中，通常不是利用定義式計(jì)算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質(zhì)來求取。 拉氏變換的有些性質(zhì)與傅氏變換性質(zhì)極為相似 ，只要把傅氏變換中

8、的 j 用 s 替代即可。 但是傅氏變換是雙邊的，而我們這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。1. 線性2. 時(shí)移性返回例4-3-2 求圖示鋸齒波 f (t) 的拉氏變換解：根據(jù)時(shí)移性，有所以：利用時(shí)移性可以求單邊周期信號(hào)的拉氏變換設(shè) f1(t) 表示第一個(gè)周期的函數(shù)，則 說明周期信號(hào)的拉氏變換等于它第一個(gè)周期波形的拉氏變換F1(s) 乘以因子周期函數(shù)可以是廣義的，例如臺(tái)階函數(shù)例4-3-3 求半波正弦函數(shù)的拉氏變換3. 比例性（尺度變換）再應(yīng)用比例性，得解法一：先應(yīng)用時(shí)移性，可得例4-3-4解法二：先應(yīng)用比例性，可得再應(yīng)用時(shí)移性，得4. 頻移性返回與傅氏變換比較：這里，s0 可以是

9、實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)或復(fù)數(shù)。 例4-3-55. 時(shí)域微分主要用于研究具有初始條件的微分方程證明： 根據(jù)定義同理可得依此類推，可得若 f (t) 為有始函數(shù)，則例4-3-6由于f (0-)不同，所求導(dǎo)數(shù)的拉氏變換不同。 6. 時(shí)域積分證明：由定義若積分下限由 - 開始所以例4-3-77. 初值定理(0+時(shí)刻的值)證明：利用時(shí)域微分性質(zhì)注意：例：已知 ，試求初值 。實(shí)際上：如果不加以分析而直接套用公式，將會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)果。8. 終值定理兩邊取 s 趨于零的極限，得證明:根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)，有條件是： 存在 這相當(dāng)于 F(s) 的極點(diǎn)都在 S 平面的左半平面，并且如果在虛軸上有極點(diǎn)的話， 只能在原點(diǎn)處有

10、單極點(diǎn)。否則會(huì)得到 的錯(cuò)誤結(jié)果。其極點(diǎn) s = 在 s 平面的右半平面，t趨于正無窮時(shí)，f(t)趨于無窮，所以f(t)不存在。不能用終值定理。此處內(nèi)容可參考后面關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性加以理解例：已知 ，試求 f (t) 的終值。解：因?yàn)?F(s) 的極點(diǎn)為 s1=0， s2 =-1 和 s3 = -2，滿足終值定理的條件。所以有 對(duì)于在原點(diǎn)有雙極點(diǎn)及更多極點(diǎn)的情況：9. 復(fù)頻域微分證明:根據(jù)定義同理可證:（與傅氏變換頻域微分比較，p114-p115）10*. 復(fù)頻域積分證明:其它性質(zhì)：時(shí)域卷積定理復(fù)頻域卷積定理P194 表4-2 常用拉氏變換的性質(zhì)基本公式復(fù)頻域積分性質(zhì)時(shí)域積分性質(zhì)例 求下列函數(shù)的拉氏

11、變換有下列公式（證明方法：歐拉公式，頻移性）例：求圖示函數(shù) f (t) 的拉氏變換。解法一： 按定義式求積分解法二： 利用線性和時(shí)移定理解法三： 利用時(shí)域微分性質(zhì)例 求下列函數(shù)的單邊拉氏變換：解：4.4 拉普拉斯反變換4.4.1 簡(jiǎn)單的拉普拉斯反變換：直接應(yīng)用典型信號(hào)的拉氏變換對(duì)（表4-1）及拉氏變換的性質(zhì)（表4-2）得到。例:返回返回例:例：解：頻域微分解：例:4.4.2 部分分式展開法 常見的拉氏變換式是 s 的多項(xiàng)式之比，一般形式為Numerator 分子Denominator 分母如果 N(s) 的階次高于 D(s) 的階次,可以用長除法將 F(s) 化成多項(xiàng)式與真分式之和，例如多項(xiàng)式

12、部分的拉氏反變換是沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，可以直接求得，例如所以只需討論真分式部分的拉氏反變換。返回1. D(s) = 0 的根都是實(shí)根且無重根其中遮擋法返回例:解：2. D(s) = 0 的根有復(fù)根且無重根 上式右邊第二項(xiàng)仍用前述方法展開為部分分式，再利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的方法即可求得 k1 和 k2 。的反變換可以用配方法（或部分分式展開法 . 略）例：遮擋法配方法對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等法返回3. D(s) = 0 的根有重根 k1p k11可以通過對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等或公式法得到。依此類推它們的拉氏反變換可通過頻域微分性質(zhì)和頻移性得到則例：用遮擋法，得對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等法返回例*：例: 求下列函數(shù)的拉氏反變換：解

13、：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)，有解：（配方法）（長除法）例: 求下列函數(shù)的拉氏反變換：解：例:例:例*:4.6 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 拉普拉斯變換分析法(復(fù)頻域分析法)是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具： 1. 它將時(shí)域中描述系統(tǒng)的微分方程變換為 s 域中的代數(shù)方程，便于運(yùn)算和求解； 2. 由于變換時(shí)引入了初始狀態(tài)，所以能夠分別求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，或者直接求解系統(tǒng)的全響應(yīng)。 3. 不僅可以分析穩(wěn)定系統(tǒng)，也可以分析不穩(wěn)定系統(tǒng)。 4. 不僅可以從微分方程求解系統(tǒng)的全響應(yīng)，也可以直接從電路求解。返回4.6.1 微分方程的復(fù)頻域分析法以二階常系數(shù)線性微分方程為例：設(shè)激勵(lì) 為有始信號(hào)，即對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換，利

14、用時(shí)域微分性質(zhì)，有整理成例4-6-1 系統(tǒng)的微分方程為解：對(duì)微分方程取拉氏變換，得返回4.6.2 電路的復(fù)頻域模型 已知電路時(shí)，可根據(jù)復(fù)頻域電路模型，直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程。電路元件的復(fù)頻域模型 根據(jù)電阻、電容、電感與它們兩端電壓電流之間的關(guān)系以及單邊拉氏變換的時(shí)域微分和積分性質(zhì)推導(dǎo)出元件的復(fù)頻域模型。對(duì)于電容電感，特別要注意電壓電流的方向。1. 電阻元件2. 電容元件注意注意電流、電壓以及初始電壓的參考方向3. 電感元件注意注意電流、電壓以及初始電壓的參考方向注意：（1）內(nèi)電源的方向；（2）串聯(lián)模型中，元件上的電壓為復(fù)頻阻抗上的電壓與內(nèi)電壓源的電壓之和。用電路的復(fù)頻域模型求解響應(yīng)的

15、步驟 1. 電路中的每個(gè)元件都用其復(fù)頻域模型代替（初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的內(nèi)電源）； 2. 信號(hào)源及各變量用其拉氏變換式代替； 3. 畫出電路的復(fù)頻域模型； 4. 應(yīng)用電路分析的各種方法和定理求解響應(yīng)的變換式。 5. 反變換得響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式。例：解：畫出復(fù)頻域模型如圖所示，其中由KVL得返回零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)例：電路在0時(shí)刻以后的的復(fù)頻域電路模型如圖所示，列節(jié)點(diǎn)方程或者直接使用相關(guān)電壓電流定律代入數(shù)據(jù)整理得Y（s）分成兩部分: 前面一項(xiàng)只與初始狀態(tài)有關(guān)，為零輸入響應(yīng); 后面一項(xiàng)只與輸入有關(guān)，為零狀態(tài)響應(yīng)。4.7 系統(tǒng)函數(shù)4.7.1 系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響應(yīng)返回4.7.2 系統(tǒng)函數(shù)的求法1.

16、已知微分方程2. 已知沖激響應(yīng)返回例：已知系統(tǒng)的微分方程為試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。解法一：在零狀態(tài)條件下，對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換，得解法二：先求得沖激響應(yīng)為例：試求圖示電路的系統(tǒng)函數(shù)。3. 已知電路解：電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型如圖利用電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型求解(即復(fù)頻域模型中無內(nèi)電源)。返回4.7.3 系統(tǒng)框圖化簡(jiǎn) 一個(gè)總系統(tǒng)由一些子系統(tǒng)按照一定的方式連接而成，當(dāng)各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知時(shí)，可以通過框圖化簡(jiǎn)求得總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。一、 基本聯(lián)接方式1. 級(jí)聯(lián)2. 并聯(lián)Y(s)X(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)X(s)Y(s)返回3. 反饋X(s)Y(s)負(fù)反饋Y(s)X(s)E(s)二、 其它

17、化簡(jiǎn)規(guī)則1. 和點(diǎn)前移Y(s)X(s)Q(s)Y(s)X(s)Q(s)2. 和點(diǎn)后移Y(s)X(s)Q(s)Y(s)X(s)Q(s)3. 分點(diǎn)前移4. 分點(diǎn)后移Y(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)X(s)Y(s)X(s)X(s)例4-7-3 試用框圖化簡(jiǎn)的方法求系統(tǒng)函數(shù)。P213三. 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模擬對(duì)微分方程取拉氏變換，有設(shè)中間變量 Q(s)，使之滿足方程 將時(shí)域模擬圖中的積分器符號(hào)改為s-1即可：例如二階系統(tǒng)返回例：已知系統(tǒng)框圖，試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和微分方程。消去中間變量，得解：設(shè)中間變量 Q(s) 如圖所示，則4.8 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分析系統(tǒng)特性4.8.1

18、系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)zj 稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)pk 稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖：是系統(tǒng)函數(shù)的另一種表示方法。 零點(diǎn)用“ ”表示，極點(diǎn)用“ ”表示，若為 l 重零點(diǎn)或極點(diǎn)，則注以 ( l )。 實(shí)際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復(fù)變量 s 的實(shí)有理函數(shù)，其零、極點(diǎn)一定是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。 返回例如例: 已知系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖，并且該系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值為 3 試寫出系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式。解：依題意知4.8.2 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的時(shí)域特性1. 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)模式（a）H (s) 的所有極點(diǎn)都為一階極點(diǎn)返回（b）若 H (s) 具有 n 重極點(diǎn)，則沖激響應(yīng)

19、的模式中將含有 t n-1 因子。（c） H (s) 零點(diǎn)分布的情況只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，而對(duì)沖激響應(yīng)的模式?jīng)]有影響。（d）當(dāng) H (s) 為假分式時(shí)，應(yīng)先化成多項(xiàng)式與真分式之和。多項(xiàng)式部分表示沖激響應(yīng)中含有沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，再分析真分式部分所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)模式。2. 由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的全響應(yīng)模式 （系統(tǒng)函數(shù)和輸入信號(hào)零極點(diǎn)分布對(duì)響應(yīng)的影響）（1）零狀態(tài)響應(yīng) yzs(t)H(s) 與系統(tǒng)的全響應(yīng)模式之間的關(guān)系：H(s) 的極點(diǎn)確定零狀態(tài)響應(yīng)中自然響應(yīng)的模式；X(s) 的極點(diǎn)確定零狀態(tài)響應(yīng)中強(qiáng)制響應(yīng)的模式。 若 H(s) 的極點(diǎn)與 X(s) 的零點(diǎn)相同，自然響應(yīng)會(huì)減少一項(xiàng)；

20、 若 H(s) 的零點(diǎn)與 X(s) 的極點(diǎn)相同，強(qiáng)制響應(yīng)會(huì)減少一項(xiàng)；例如例如 若 H(s) 與 X(s) 的極點(diǎn)相同，會(huì)增加一個(gè)新的分量，這兩個(gè)相同極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的分量是自然響應(yīng)和強(qiáng)制響應(yīng)合成的結(jié)果。（2）零輸入響應(yīng) yzi(t)零輸入響應(yīng)的模式由系統(tǒng)特征方程的根確定。 如果 H(s) 沒有零、極點(diǎn)相消，則特征方程的根就是 H(s) 的極點(diǎn)，則零輸入響應(yīng)的模式由 H(s) 的極點(diǎn)確定。 如果 H(s) 的零、極點(diǎn)相消時(shí)，系統(tǒng)的某些固有頻率在 H(s) 的極點(diǎn)中將不再出現(xiàn)，這時(shí)零輸入響應(yīng)的模式不再由 H(s) 的極點(diǎn)確定。 H(s) 的零、極點(diǎn)是否相消，不影響零狀態(tài)響應(yīng)的模式。 系統(tǒng)函數(shù) H(s) 一般只用于研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。由于分子分母可能出現(xiàn)零極點(diǎn)相消，所以不適合研究零輸入響應(yīng)的模式。在計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)分子分母公因子可以相消：在計(jì)算零輸入響應(yīng)時(shí)分子分母公因子不能相消：（3）穩(wěn)定系統(tǒng)各種響應(yīng)之間的關(guān)系全響應(yīng)零狀