計(jì)算物理學(xué)復(fù)習(xí)題整理(共19頁(yè))

1、第一章緒論(xln)1.1 計(jì)算物理的性質(zhì)(xngzh)是什么？試舉例說(shuō)明計(jì)算物理在哪些學(xué)科中有重要應(yīng)用？計(jì)算(j sun)物理是指以計(jì)算機(jī)及計(jì)算機(jī)技術(shù)為工具和手段，運(yùn)用計(jì)算數(shù)學(xué)的方法解決復(fù)雜物理問(wèn)題的一門應(yīng)用科學(xué)。（1）計(jì)算物理是用計(jì)算機(jī)作為實(shí)現(xiàn)手段的實(shí)驗(yàn)物理或“計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”。（2）計(jì)算物理是一門新型的邊緣學(xué)科，物理學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)三者結(jié)合的產(chǎn)物。計(jì)算物理在物理學(xué)中有很多應(yīng)用，概括起來(lái)主要有四個(gè)方面： （1）計(jì)算機(jī)數(shù)值分析：通常在物理研究中，我們從已知的物理規(guī)律出發(fā)得到描寫物理過(guò)程的抽象數(shù)學(xué)公式后，最后或許要作數(shù)值求解以便與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)照或作為實(shí)驗(yàn)的參考數(shù)據(jù)。例如：中子輸運(yùn)問(wèn)題（2）計(jì)算機(jī)

2、符號(hào)處理：利用計(jì)算機(jī)的符號(hào)處理系統(tǒng)進(jìn)行解析計(jì)算、公式的推導(dǎo)和高精度的數(shù)值計(jì)算。例如：多重不定和定積分；（4）計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制：使物理實(shí)驗(yàn)可以在沒(méi)有人在場(chǎng)的情況下自己監(jiān)測(cè)設(shè)備的正常運(yùn)行，自動(dòng)采集和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。（4）計(jì)算機(jī)模擬，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的物理實(shí)驗(yàn)或“計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)”，例如：第一性原理、分子動(dòng)力學(xué)模擬、蒙特卡羅模擬。1.2 試闡述計(jì)算機(jī)模擬方法與理論、實(shí)驗(yàn)方法相比有什么特殊的優(yōu)點(diǎn)和局限性。： 優(yōu)點(diǎn)：1.省時(shí)省錢 2. 具有更大的自由度和靈活性 3. 能夠模擬極端條件下的試驗(yàn)。缺點(diǎn) ：1.不能獲得物理定律和理論公式 2. 計(jì)算結(jié)果缺乏嚴(yán)格的論證，其結(jié)果仍需要試驗(yàn)驗(yàn)證。1.3 試闡述計(jì)算物理學(xué)和實(shí)

3、驗(yàn)物理及理論物理的關(guān)系？計(jì)算物理方法是除理論方法和實(shí)驗(yàn)方法之外的第三種研究手段，計(jì)算物理現(xiàn)已成為物理學(xué)研究的三大支柱之一，它與實(shí)驗(yàn)物理和理論物理的關(guān)系如下圖：1.5并行計(jì)算有什么(shn me)優(yōu)點(diǎn)？.并行計(jì)算可以大大加快運(yùn)行(ynxng)速度，即在短的時(shí)間內(nèi)完成相同的計(jì)算量，或解決原來(lái)不能計(jì)算的非常復(fù)雜的問(wèn)題，.提高傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)的速度一方面受到物理上光速極限和量子效應(yīng)的限制，另一方面計(jì)算機(jī)器件的產(chǎn)品和材料的生產(chǎn)受到加工工藝的限制，其尺寸不可能做得無(wú)限小，因此我們只能轉(zhuǎn)向并行算法。.并行計(jì)算對(duì)設(shè)備的投入比較低，既可以(ky)節(jié)省開支又能完成任務(wù)。1.6 計(jì)算物理基本方法，基建原理第一原理方法是

4、基于量子力學(xué)基本原理建立起來(lái)的；分子動(dòng)力學(xué)方法是基于經(jīng)典力學(xué)基本原理建立起來(lái)的；蒙特卡羅方法是基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)基本原理建立來(lái)的。第二章 隨機(jī)數(shù)和蒙特卡洛(mn t k lu)方法2.1 簡(jiǎn)要敘述蒙特卡洛方法(fngf)的基本思想。對(duì)求解問(wèn)題本身就具有概率和統(tǒng)計(jì)性的情況，蒙特卡洛方法是按照實(shí)際問(wèn)題所遵循的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用計(jì)算機(jī) 進(jìn)行直接的抽樣(chu yn)試驗(yàn)，然后計(jì)算其統(tǒng)計(jì)參數(shù)。當(dāng)問(wèn)題本身就不具有概率和統(tǒng)計(jì)性時(shí)，或者可以抽象為某個(gè)確定的 數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，蒙特卡洛方法則首先建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個(gè)隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X，使得待求解的解等于隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。然后進(jìn)行模擬

5、實(shí)驗(yàn)，即重復(fù)多次地模擬隨機(jī) 事件或隨機(jī)變量，最后對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問(wèn)題的近似解。針對(duì)待求問(wèn)題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)量為待求問(wèn)題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計(jì)量趨于無(wú)窮的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法或計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。2.2 蒙特卡洛方法對(duì)隨機(jī)數(shù)有較高的要求，然而實(shí)際應(yīng)用的隨機(jī)數(shù)通常都是通過(guò)某些數(shù)學(xué)公式計(jì)算而產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)，但是，只要偽隨機(jī)數(shù)能夠通過(guò)隨機(jī)數(shù)的一系列的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，我們就可以把它當(dāng)作真隨機(jī)數(shù)放心使用。在產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法中，有比較經(jīng)典的馮諾曼平方取中法和線性同余法，請(qǐng)分別寫出它們的遞推關(guān)系式？對(duì)于偽隨機(jī)

6、數(shù)一般需要做哪些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（至少寫出四個(gè)）？ 線性同余法2.3 蒙特卡洛(mn t k lu)方法計(jì)算中減少方差的技術(shù)有哪些？2.4 若用蒙特卡羅算法(sun f)計(jì)算定積分 ，請(qǐng)給 出其求解原理(yunl)與計(jì)算步驟。取 ，由于 定積分 的幾何 意義是被積函數(shù)在積分區(qū)間上的圖形構(gòu)成的曲邊梯形面積，而曲邊梯形是正方形 的一 部分。顯然，D的面積為1。用隨機(jī)投點(diǎn)的方 法在區(qū)域D內(nèi)產(chǎn)生充分多的均勻分布的點(diǎn)（至少2000個(gè) 點(diǎn)）。設(shè)隨機(jī)點(diǎn)總數(shù)為N，這些點(diǎn)隨機(jī)地落入D中 任何一處。于是，落入曲邊梯形內(nèi)點(diǎn)的數(shù)目m與N之 比反映了曲邊梯形面積與正方形D的面積 之比如圖1所 示。由此可計(jì)算曲邊梯形面積。 蒙特

7、卡羅算法求定積分算法 第一步：產(chǎn)生正方形D中的N個(gè)均勻隨機(jī)數(shù) ； 第二步：根據(jù)(gnj) 的坐標(biāo)(zubio) 判斷，如果 則認(rèn)為(rnwi) 落入曲 邊梯形區(qū)域內(nèi)。統(tǒng)計(jì)落入曲邊梯形區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)目m； 第三步：輸出 作為定 積分 的近似 值，結(jié)束。2.5 簡(jiǎn)要敘述變分蒙特卡洛方法求解基態(tài)本征能量E0和 基態(tài)本征態(tài)波函數(shù) 基本原 理，并以一維情況為例說(shuō)明蒙特卡洛計(jì)算步驟。4.7乘同余數(shù)(ysh)法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的Matlab上機(jī)實(shí)驗(yàn)(shyn)在計(jì)算機(jī)上可以用物理方法來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用(shyng)不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生，這樣產(chǎn)生的序列與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，

8、所以稱為偽隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)序列，只要方法和參數(shù)選擇合適，所產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)就能滿足均勻性和獨(dú)立性，與真正的隨機(jī)數(shù)具有相近的性質(zhì)。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法是先用一定的方法產(chǎn)生0,1均勻分布的隨機(jī)數(shù)，然后通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q就可以得到符合某一概率模型的隨機(jī)數(shù)。常用的產(chǎn)生0,1均勻分布的隨機(jī)數(shù)的方法有乘同余法和混合同余法。用乘同余法產(chǎn)生0,1均勻分布的隨機(jī)數(shù)遞推公式為： (Mod M) 式中a為乘子，M為模，當(dāng)i=1時(shí)，xi=xi-1為初始參數(shù)，x0可取1或任意奇數(shù)。用乘同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) 編程如下：x0=1; N=100; %初始化；s=input(計(jì)算機(jī)中二進(jìn)制最大有可能的有效數(shù)字s=)b=input(b=)M

9、=2s ; A=5(2*b+1)for k=1:N %乘同余法遞推100次； x2=A*x0; %x2和x0分別(fnbi)表示xi和xi-1； x1=mod (x2,M); %將x2存儲(chǔ)器的數(shù)除以M，取余數(shù)(ysh)放x1（xi）中； v1=x1/M; %將x1存儲(chǔ)器的數(shù)除以M得到(d do)小于1的隨機(jī)數(shù)放v1中； v(:,k)=v1; % 將v1中的數(shù)（ ）存放在矩陣存儲(chǔ)器v的第k列中，v(:,k)%表示行不變、列隨遞推循環(huán)次數(shù)變化； x0=x1; %xi-1= xi； v0=v1;end %遞推100次結(jié)束；v2=v %該語(yǔ)句末無(wú)；，實(shí)現(xiàn)矩陣存儲(chǔ)器v中隨機(jī)數(shù)放在v2中，%且可直接顯示在

10、MATLAB的window中；k1=k;k=1:k1;plot(k,v,k,v,r);xlabel(k), ylabel(v);title(0-1)均勻分布的隨機(jī)序列) 程序運(yùn)行結(jié)果N=100 S=32 K=6 a=513 N=100 S=48 K=7 A=515N=200 S=32 k=6 A=513 N=200 S=48 K=7 A=513第三章 經(jīng)典分子動(dòng)力學(xué)方法3.1 分子動(dòng)力學(xué)模擬的時(shí)間步長(zhǎng)如何選擇？分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算的基本思想是賦予分子體系初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之后利用分子的自然運(yùn)動(dòng)在相空間中抽取樣本進(jìn)行統(tǒng) 計(jì)計(jì)算，時(shí)間步長(zhǎng)就是抽樣的間隔，因而時(shí)間步長(zhǎng)的選取對(duì)動(dòng)力學(xué)模擬非常重要。太長(zhǎng)的時(shí)間步長(zhǎng)會(huì)

11、造成分子間的激烈碰撞，體系數(shù)據(jù)溢出；太短的時(shí)間步長(zhǎng)會(huì)降低 模擬過(guò)程搜索相空間的能力，一般來(lái)說(shuō)，時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)該設(shè)為分子運(yùn)動(dòng)的最小振動(dòng)周期的1/10 左右為宜。3.2 Verlet 算法中分子(fnz)動(dòng)力學(xué)計(jì)算的簡(jiǎn)單步驟是 什么？Verlet 算法，速度項(xiàng)相消，計(jì)算(j sun)坐標(biāo)時(shí)無(wú)需 速度出現(xiàn)。簡(jiǎn)單(jindn)步驟：設(shè)定粒子的初始位置和速度；根據(jù)粒子的位置計(jì)算每個(gè)粒子的受力；根據(jù)粒子的位置、速度和受力，計(jì)算粒子的新位置和新速度；更新粒子的位置和速度，然后回到2步驟。3.3 簡(jiǎn)述分子動(dòng)力學(xué)模擬步驟。第一步 模型的設(shè)定。也就是勢(shì)函數(shù)的選取。勢(shì)函數(shù)的研究和物理系統(tǒng)上對(duì)物質(zhì)的描述研究息息相關(guān)。最早

12、是硬球勢(shì)，即小于臨界值 時(shí)無(wú)窮大，大于等于臨界值時(shí)為零。常用的是LJ勢(shì)函數(shù)，還有EAM勢(shì) 函數(shù)，不同的物質(zhì)狀態(tài)描述用不同的勢(shì)函數(shù)。模型勢(shì)函數(shù)一旦確定，就可以根據(jù)物理學(xué)規(guī)律求得模擬中的守恒量。第二步 給定初始條件。運(yùn)動(dòng)方程的求解需要知道粒子的初始位置和速度，不同的算法要求不同的初始條件。如：verlet算法需要兩組坐標(biāo)來(lái)啟動(dòng)計(jì)算，一組零時(shí) 刻的坐標(biāo)，一組是前進(jìn)一個(gè)時(shí)間步的坐標(biāo)或者一組零時(shí)刻的速度值。第三步 趨于平衡(pnghng)計(jì)算。在邊界條件和初始條件給定后就可以解運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬。但這樣計(jì)算出的系統(tǒng)是不會(huì)具有所要 求的系統(tǒng)的能量，并且這個(gè)狀態(tài)本身(bnshn)也還不是一個(gè)平衡態(tài)

13、。為使得系統(tǒng)平衡，模擬中設(shè)計(jì)一個(gè)趨衡過(guò)程，即在這個(gè)過(guò)程中，我們?cè)黾踊蛘邚南到y(tǒng)中移出能量，直到(zhdo)持續(xù)給 出確定的能量值。我們稱這時(shí)的系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到平衡。這段達(dá)到平衡的時(shí)間成為馳豫時(shí)間。第四步 宏觀物理量的計(jì)算。實(shí)際計(jì)算宏觀的物理量往往是在模擬的最后階段進(jìn)行的。它是沿相空間軌跡求平均來(lái)計(jì)算得到的。3.4 采用分子動(dòng)力學(xué)方法時(shí)，需給給定的粒子系統(tǒng)設(shè)定恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，這些邊界條件大致分幾類？采用分子動(dòng)力學(xué)方法，必需對(duì)被計(jì)算的粒子系統(tǒng)給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。這些邊界條件大致可分成四種。 自由表面邊界(free-surface boundary)這種邊界條件常用于大型的自由分子的模擬。固定邊界(rig

14、id boundary)在所有要計(jì)算到粒子晶胞之外還要包上幾層結(jié)構(gòu)相同的位置不變的粒子，包層的厚度必須大于粒子間相互作用的力程范圍。包層部分代表了與運(yùn)動(dòng)粒子起作用的宏觀晶體的那一部分。 柔性邊界 (flexible boundary)這種邊界比固定邊界更接近實(shí)際。它允許邊界上的粒子有微小的移動(dòng)以反映內(nèi)層粒子的作用力施加到它們身上時(shí)的情況。周期性邊界(periodic boundary)在模擬較大的系統(tǒng)時(shí)，為了消除表面效應(yīng)或邊界效應(yīng)，常采用周期性邊界條件。就是讓原胞上下、左右、前后對(duì)邊上的粒子間有相互作用。第四章 第一原理方法和能帶理論4.1 簡(jiǎn)述絕熱近似(jn s)的基本內(nèi)容。這是將晶體中電子

15、的運(yùn)動(dòng)與晶格粒子的運(yùn)動(dòng)分開的另一種方法。這一方法依然考慮到電子的質(zhì)量比晶格粒子的 質(zhì)量小得多，但它與靜近似不同的是，在研究電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，它認(rèn)為電子能夠緊緊地跟隨運(yùn)動(dòng)著的晶格粒子，因此電子的運(yùn)動(dòng)與晶格粒子的瞬時(shí)位置有關(guān)。這樣，在 電子的運(yùn)動(dòng)方程中，晶格粒子的位置是以參數(shù)的形式出現(xiàn)的。反過(guò)來(lái)，在晶格粒子的運(yùn)動(dòng)方程中，電子系統(tǒng)的本征能量也以參數(shù)的形式出現(xiàn)。這種互相聯(lián)立的方程系 統(tǒng)一般通過(guò)平均場(chǎng)方法結(jié)合(jih)變分方法求解，或者通過(guò)自恰的方法數(shù)值求解4.2 簡(jiǎn)述局域密度近似(jn s)的基本內(nèi)容。密度泛函理論最普遍的應(yīng)用是通過(guò)Kohn-Sham方 法實(shí)現(xiàn)的。在Kohn-Sham DFT的框架中，最難

16、處理的多體問(wèn)題（由于處在一個(gè)外部 HYPERLINK /wiki/%E9%9D%99%E7%94%B5 o 靜電 t _blank 靜電勢(shì)中的電子相互作用而產(chǎn)生的）被簡(jiǎn)化成了一個(gè)沒(méi)有相互作用的電子在 有效勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。這個(gè)有效勢(shì)場(chǎng)包括了外部勢(shì)場(chǎng)以及電子間庫(kù)侖相互作用的影響，例如，交換和相關(guān)作用。處理交換相關(guān)作用是KS DFT中的難點(diǎn)。目前并沒(méi)有精確求解交換相關(guān)能 EXC 的 方法。最簡(jiǎn)單的近似求解方法為局域密度近似(LDA)。LDA近 似使用均勻電子氣來(lái)計(jì)算體系的交換能（均勻電子氣的交換能是可以精確求解的），而相關(guān)能部分則采用對(duì)自由電子氣進(jìn)行擬合的方法來(lái)處理。4.3 晶體硅的晶胞結(jié)構(gòu)中，有

17、幾個(gè)不等價(jià)的原子，分別處于哪些位置？4.4 什么是單電子近似？4.5 什么(shn me)是贗勢(shì)？4.6 簡(jiǎn)述能帶理論(lln)中的基本處理方法4.7 簡(jiǎn)述Kohn-Sham方法(fngf)的特點(diǎn)。a. 通過(guò)引 入N個(gè)單電子波函數(shù)，嚴(yán)格計(jì)算出了動(dòng)能的主要部分，代價(jià)是需要求解N個(gè)方程。b. 除了更 一般的local勢(shì)外，KS 方程與 Hartree方程具有相似的形式，求解KS方程的計(jì)算量也相差不大，但比求解具有non-local勢(shì) 的HF方程要簡(jiǎn)單。c. 盡管(jn gun)Hartree、Hartree-Fock 和Kohn-Sham方程都提供了一個(gè)多電子體系的單 電子方法，但三者有本質(zhì)的差別

18、，前兩者一開始就引入了近似，而Kohn-Sham原則上是嚴(yán)格的。4.8 密度泛函理論(lln)的基本思想及基本定理。基本 思想是：原子、分子和固體的基態(tài)(j ti)物理性質(zhì)可以用粒子密度函數(shù)來(lái)描述?；径ɡ恚憾ɡ硪唬阂粋€(gè)多電子系統(tǒng)的基態(tài)電子密度（r） 唯一地對(duì)應(yīng)外勢(shì)Vext ，而此系統(tǒng)的任何觀察量，其基態(tài)的期望值僅是基態(tài) 密度函數(shù)的唯一泛函。定理二：若為Hamiltonian H ，則系統(tǒng)基態(tài)的總能泛函為HEVext.第五章 有限差分和有限元數(shù)值求解5.1 方程求根有哪些基本的方法？5.2 簡(jiǎn)述龍貝格(Romberg)積分方法的基本思 想和基本步驟。5.3 試簡(jiǎn)述(jin sh)Runge-K

19、utta 法方法的基本步驟。5.4 試簡(jiǎn)述(jin sh)有限元方法的一般步驟(bzhu)，比較有限差分(ch fn)和有限元方法。這兩種方法在處理問(wèn)題的求解時(shí)，在處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法(sh xu fn f)上有較大區(qū)別。在對(duì)區(qū)域的離散(lsn)化方法上也有明顯區(qū)別，有限差分法通常采用的是矩形網(wǎng)絡(luò)區(qū)域劃分。而有限元素法采用的是三角形劃分的方法。計(jì)算精度不同(b tn)。有限差分法在采用直交網(wǎng)絡(luò)時(shí)其計(jì)算精度與矩形最大邊長(zhǎng)h有關(guān)，此時(shí)列出的計(jì)算格式比有限元法簡(jiǎn)單方便。用有限元法求解物理問(wèn)題時(shí)，它是用統(tǒng)一的觀點(diǎn)對(duì)區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)列出計(jì)算格式。這使得各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算精度總體上比較協(xié)調(diào)。而有限差分法則是

20、孤立的對(duì)微分方程及定解條件分別列差分方程，因而各節(jié)點(diǎn)精度總體上不夠一致。有限元法要求的計(jì)算機(jī)內(nèi)存比較大有限差分法的適用范圍要比有限元法廣泛的多。5.5 設(shè)有初值問(wèn)題寫出顯式和隱式Euler求解公式。顯式 un+1=un+hcosnh 隱式 un+1=un+hcosn+1h tn=nh （其中h=t為步長(zhǎng)）5.6 設(shè)有初值問(wèn)題寫出預(yù)估-矯正(jiozhng)Euler法的求解公式。先用顯式歐拉公式(gngsh)作預(yù)估ui+1=(1-h)ui （i=1.2.3,）再將ui+1帶入隱式公式(gngsh)作校正ui+1=ui-hui+1 （i=1.2.3,）u1=15.7二階顯式Runge-Kutta法有幾種常用的格式？它們和其他方法有什么聯(lián)系？它們是由預(yù)報(bào)(ybo)-校正法轉(zhuǎn)變過(guò)來(lái)的，與歐拉折線法、梯形法以及諾伊曼諾夫法都是求解微分方程的近似(jn s)方法；在解足夠光滑(gung hu)的情況下，由它們計(jì)算出的結(jié)果的精度比歐拉法要高一些；對(duì)于同一問(wèn)題，用其求Sturm-Liouville方程，精度要高于諾伊曼諾夫法。牛