仿射變換理論及其在幾何中的應(yīng)用

1、1仿射變換理論及其在幾何中的應(yīng)用仿射變換理論在幾何中地位非常重要，它比正交變換解決的問題范圍更廣. 本文中我們將看到仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中我們了解仿射變換和仿射變換的 基本性質(zhì)，例如包括仿射變換將直線變?yōu)橹本€，將平行的兩條直線變?yōu)槠叫械膬?直線。本文中還介紹單比，利用它證明了梅內(nèi)勞斯(Menelaus)定理。后來本文介 紹了仿射不變性質(zhì)，例如兩個三角形面積的比是仿射不變量。最后本文介紹了利 用本文的有關(guān)性質(zhì)解決一些問題。這樣使得讀者更好的了解這篇文章。歐式幾何就是研究正交變換下圖形的不變性質(zhì)與不變量，因此在初等平面 幾何中都是討論圖形的那些與距離，角度，面積，等有關(guān)的性質(zhì)，如三角形全等，

2、平行，垂直等.但是圖形的各種變形中，保持任意兩點(diǎn)之間的距離不變的變換是十 分特殊.例如，圖形的放大，物體在陽光照射下變成它們的影子等，都不具有這種 性質(zhì)，即都不是正交變換.因此，我們考慮較正交變換廣泛一點(diǎn)的點(diǎn)變換，即仿射 變換.本文討論了仿射變換的概念及其性質(zhì)，同時給出了其在幾何中的應(yīng)用.1平面上的仿射坐標(biāo)系與仿射變換我們引進(jìn)仿射坐標(biāo)系：在平面上任取一點(diǎn)。及兩個不共線的向量6 = O瓦,=OE2(不一定是單位向量，且G，.不一定垂直的)這樣我們就建立了仿射坐標(biāo)系如圖1對于平面上任一點(diǎn)尸，則向量。戶可唯一地表示為OP = xet + ye2數(shù)組&y)稱為關(guān)于仿射坐標(biāo)系。由,/,的仿射坐標(biāo).定理1

3、.0在仿射坐標(biāo)系下，直線方程一定是關(guān)于仿射坐標(biāo)系的一次方程 Ax+By+C = 0, (1.00)反之也真.證明 在直線上任取兩點(diǎn)小演,乂),2(9,%),對于直線上任一點(diǎn)P(x,y有聯(lián)II鶴, 即&-演 K-K或(工一占)(治一必)一(丁一九)(毛一%)二，這是關(guān)于X,y的一次方程.反之，在(1.00)上取(公弘)及(毛,%)的坐標(biāo)適合方程， 即Ar. + B,+C = O, (1. 02)Av2 + By2 + C = 0. (1.03)只要證明任一坐標(biāo)適合方程的點(diǎn)P3,y)一定與共線即可，由于Ax, + By, + C = Q, (1.04)因A,B,C不全為零,(1.02), (1.0

4、3), (1.04)可理解為關(guān)于A,5,C ,的齊次線性方程組，由于A,民。不全為零，所以/ y 1%弘1=0，9月 1即P,4共線.定義1. 1在平面上點(diǎn)之間的一個線性變換J，(1.05) y1 = a2lx+a22y + a2i,a2l a22叫做仿射變換，其中（見城（,川分別是p,p的仿射坐標(biāo).從仿射變換的代數(shù)表示可知平面內(nèi)不共線的三對對應(yīng)點(diǎn)（原像不共線，像也不共 線）唯一決定一個仿射變換，稱為仿射幾何的基本定理.例1有公式所確定的變換表示分別沿軸與軸兩個壓縮變換的乘積，顯然是一個 仿射變換.注1）正交變換是仿射變換的特例.2）仿射變換的幾何意義就是平面到自身的平行影鏈.2仿射變換的基本

5、性質(zhì)定義1.2圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（量），稱為圖形的仿射性質(zhì)（仿 射不變量）.性質(zhì)1仿射變換將直線變?yōu)橹本€.證明有仿射變換的代數(shù)表示式（1.05）,其逆變換為x = /?.x,+， b. J ,（1.06）其中 1n J，0.y = b2lx +b22y +么3，b2l b22設(shè)有直線八Ax+5y+C = 0仿射變換（1.06）下，有（他+ 叫I + （AZ?12 + 叫? ）y + （做3 + 劭23 + C）= 0. （1 . 07）由于A5不全為零且P0, 故Ab” + Bb2l和Abn + Bb22不全為零.因此（1.07）是總了關(guān)于的一次方程，從而它表示一直線，及即仿射

6、變換將直線變?yōu)橹本€.性質(zhì)2兩條平行直線經(jīng)過仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線證已知兩條平行直線：芋+町+=，其中3=旦去&經(jīng)過仿射變換（1.06）后，44分別變?yōu)椋ˋ+） x+（A4r+瓦22） y+A+G = o.（i.os）(A.Z?n + B2b1J V +(A,Z?12 + B*22) y + A,Z?13 + B2b25 + C1=0.(1.09) a A B. . C.令， = &,1 wk,A B2 C2于是單+蜂=尤絳+蜂 =%,且A九+%3+Q w&,(否則& = c,k)這說明) A2bn + B2b2l A2b12 + B2b22A,Z?13 + B2b2i + C2(L 08

7、) ,(1.09)表示的直線平行.注兩直線平行是仿射變換的不變性質(zhì).如任何一個仿射變換將平面仿射作標(biāo)系變?yōu)榱硪粋€仿射坐標(biāo);任何一個變換將平行四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅?；任何一個仿射變換將梯形變?yōu)樘菪?；任何一個仿射變換將等腰三角形變?yōu)槿切危?通常我們把經(jīng)過仿射變換可以相互轉(zhuǎn)換的圖形為仿射等價的圖形.例如圓與橢圓是仿射等價的.下面引入仿射變換基本不變量：單比(仿射比)定義1.3設(shè)月，是有向直線的兩個頂點(diǎn)，尸是這有向直線的另一點(diǎn)，尸分有向線 段為兩個有向線段和 盛，則其代數(shù)長的比華叫做共線三點(diǎn)匕的p、p單比，記為記&P), 即(;尸)=督.(1.10) 特別當(dāng)P為Rg的中點(diǎn)時,(/,P) = -l.設(shè)E

8、G，y)(i = L2,3)是一條直線上的三點(diǎn)，其中(/丫.)為化的仿射坐標(biāo)(圖2), 則同理 (桃記)=上(1.12) %一月性質(zhì)3任何一個仿射變換保持共線三點(diǎn)的單比不變.證在仿射坐標(biāo)系下，月（七,yj（i = l,2,3）是一條直線上的三點(diǎn)，它們在仿射變換（1.05）下的像為匕（乂），由于仿射變換將共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，因此” = 1,2,3）是另一條直線上的三點(diǎn)，又=因此（pp；p= （GR + %+ ?。? （Gd + &乂 + %）=。一工）+ 4 式兒一兒）=2X-X（可/3+。123+可3）一（4/2+。2%+。13） 勺氏一芻）十 % （為 一%）所以（64記）=仍4隹）.定義1.

9、4平面內(nèi)一點(diǎn)變換，如果滿足下列條件：（1）任何共線點(diǎn)的像仍是共線點(diǎn).（2）任何共線三點(diǎn)的單比不變.性質(zhì)4兩平行線段的比是仿射不變量.證設(shè)線段A5|CZ）,經(jīng)仿射變換后，其對應(yīng)線段和C7T也平行，現(xiàn)在要證AB _ A6CD-CD7連接60,作C|5O交于E （圖3）,由于仿射變換保持平行性和結(jié)合性（將共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)），所以E的對應(yīng)點(diǎn)在A6上，且CfEf BD, 由于仿射變換保持共線三點(diǎn)的單比不變， 有即能祟又 BE = CD, BE = CD： ,AB AE故=.CD CD至此，一些主要涉及平行線，線段中點(diǎn)及平行線段的比等幾何性質(zhì)，都是仿射不變 性質(zhì)，例如(1)三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊

10、且它的長等于第三邊的一半.(2)任意平行四邊形對角線互相平分.(3)任意三角線的重心(三條中線的交點(diǎn))性質(zhì)5兩個三角形面積的比是仿射不變量.證設(shè)在直角坐標(biāo)系下，已知不共線三點(diǎn)玖zy)(i = l,2,3), 則優(yōu)月的面積S.秋鳥為是轉(zhuǎn)瑪=;占為 1的絕對值. 不必1經(jīng)仿射變換（1. 05）后匕為玖匕,4）。=1,2,3）,則 尸；=4/,+2乂+%3，； y- =a2lxi+a22yi+a2i9印莊的面積S的絕對值4】3+%2，1 + 43 耍+針+小 限+松為+%a21X2+a22y2+Cl2i a2 + a22ya2i11的絕對值1-2 E 必22 一 12%11 S464與.同理，另一個

11、三角形20m3與其三角形。；22的面積的關(guān)系S：01dd = anai2-ana2SSQ2& 故 S一生鳥=SaP；p；p；qq,力烏烏。，乙典。；推論1兩個平行四邊形面積之比是仿射不變量.推論2兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量.例1求橢圓的面積（圖4）.y方法一：解在直線坐標(biāo)系下,橢圓1 + 2 = 1. a- b-X =X經(jīng)仿射變換 , a (1. 13) y =t,b變?yōu)閳A如圖 4,橢圓內(nèi)045經(jīng)(1.對應(yīng)為045 ,其中0(0,0), 4伍,0), A三A,5(0m)從而 橢圓的面積圓的面積c,OA8,S &OAB橢圓的面積7ra-ab-a2 2 于是，橢圓的面積為萬 方法二:解化橢圓

12、為參數(shù)方程 x = ocosf,y = sinf,f 0,2封.求得橢圓所圍面積為 2女fI。bsint(acost) at=abJ。sin2 tdt =兀ab.例2試證明梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理：在ABC的三邊或8C,CA,A5其延長線 上分別取三點(diǎn)L,M,N,則L,M,N共線的充要條件是絲也.四一LC MA NB證以4為原點(diǎn)ABAC為坐標(biāo)向量建立仿射坐標(biāo)系如圖五若令bL = al&cM = mA,aN = unB,則根據(jù)定比分點(diǎn)公式，有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為/1 j 出。,。）風(fēng),。）。），4 Km貝。,以加,汽共線的充要條件是乙而|施，而LM =(_i i、U+u i+aJ所以LA? II

13、斯的充要條件是 TOC o 1-5 h z 11 A1 + 2 1 + 4 1 + 4 人 卜 =0.u11 + D1 + 化簡得4。= 一1, （1. 14）式成立.古希臘亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅內(nèi)勞斯（公元98年左右），在其幸運(yùn)的 保留下來的三卷W球面幾何2（加夕M?）中提出了著個定理.例3設(shè)點(diǎn)P是線段鳥上的一點(diǎn)，匕g的坐標(biāo)分別是（&弘）,（七,月）.（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段鳥的中點(diǎn)時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)尸是線段相的一個三等分點(diǎn)時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)解：（1）如圖6,由向量的線性運(yùn)算可知。戶=，可+。8）=（亨，呼）.所以，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（正三，乂土匹.I 22 ）（2）當(dāng)點(diǎn)尸是線段鳥的一個等三

14、分點(diǎn)時有兩種情況即如果即= gpg （圖7）,那么O 戶= OX + / = O8 + 94g = Q4 + g（Og_QR） = |o4 + gQg = （,A）, 即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（竺2,生土叢.同理如果RP = 2尸鳥（圖8）那么點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（衛(wèi)生,乂土生 I 33例4求橢圓兩點(diǎn)尹卷=1,兩點(diǎn)際，鳥一 和中心的連線以及橢圓瓠所圍成的所圍成的S。冊。？V_4X A 仿射變換 I把橢咋變成相應(yīng)的點(diǎn)勺立，四），g（2質(zhì)-,及）分別變成p；（22加）, 8（2&,-2&）在O 中|明=4應(yīng)m又因?yàn)椋簊ina =一二這=之，。=2圓O中的扇形面積 TOC o 1-5 h z /?424S o，ppc/ = x 2a x R- = x 16 = 4 萬1:24而So，p；p；o, _ 44 _ 16S op總 o 3 515所以萬例5討