[工學(xué)]材料力學(xué)平面圖形的幾何性質(zhì)課件(PPT 36頁(yè))

1、 平面圖形的幾何性質(zhì)第1頁(yè)，共36頁(yè)。A.1 靜矩和形心A.2 慣性矩和慣性半徑A.4 平行移軸公式A.3 慣性積目 錄第2頁(yè)，共36頁(yè)。A.1 靜矩和形心一、靜矩分別為圖形對(duì) z 軸和 y 軸的靜矩。說(shuō)明：1、靜矩不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān)，還與所選坐標(biāo)的位置有關(guān)。同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩不同。2、靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可以為零。3、靜矩的單位：mm3 或 m3yzOdAyz定義:面積對(duì)軸的一次矩。第3頁(yè)，共36頁(yè)。 對(duì)均質(zhì)薄板來(lái)說(shuō)，形心與重心坐標(biāo)相同。二、形心即:從而：推論1、若平面圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩等于零，則該坐標(biāo)軸必通過(guò)圖形的形心。2、平面圖形對(duì)通過(guò)其形心的坐標(biāo)軸的靜矩

2、恒等于零，即：軸過(guò)形心 S該軸=0 yzOdAyzzCyCC通過(guò)形心的軸稱為形心軸。第4頁(yè)，共36頁(yè)。求所示圖形對(duì)y 軸的靜矩。zyzORz+dz解法1：例題1第5頁(yè)，共36頁(yè)。解法2：yzO rdrdr+dr試想想還有沒(méi)有其它方法？yzO第6頁(yè)，共36頁(yè)。三、組合圖形的靜矩和形心1、組合圖形對(duì)某一軸的靜矩等于組成它的各部分圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即：其中：Ai， yi， zi 分別代表第i個(gè)圖形的面積和形心坐標(biāo)， n為分割成的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。2、組合圖形的形心坐標(biāo)其中：yc 、 zc為組合圖形的形心坐標(biāo)， Sz、Sy為組合圖形分別對(duì)z軸和y軸的靜矩, A為組合圖形的總面積,第7頁(yè)，共36頁(yè)

3、。1002014020求所示圖形的形心位置。例2由于z軸是對(duì)稱軸解：第8頁(yè)，共36頁(yè)。A.2 慣性矩和慣性半徑（3）其大小不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān),而且還與平面圖形面積相對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況有關(guān).平面圖形的面積相對(duì)坐標(biāo)軸越遠(yuǎn),其慣性矩越大;反之,其慣性矩越小.一、慣性矩定義：圖形面積對(duì)某軸的二次矩：特點(diǎn)：（1）慣性矩的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位用m4 、 cm4 、 mm4.（2）慣性矩恒為正值yzOdAyz第9頁(yè)，共36頁(yè)。其中iy、iz分別為平面圖形對(duì)z軸和y軸的慣性半徑。（4）組合圖形對(duì)某軸的慣性矩等于各組成圖形對(duì)同一軸的慣性矩之和:（5）工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長(zhǎng)度

4、平方的乘積, 即或第10頁(yè)，共36頁(yè)。第11頁(yè)，共36頁(yè)。第12頁(yè)，共36頁(yè)。（2）由于2=y2+z2, 所以有Ip=Iy+Iz, 即平面圖形對(duì)通過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和均相等, 并且等于平面圖形坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。二、極慣性矩定義：圖形面積對(duì)某點(diǎn)的二次矩：特點(diǎn)：（1）具有慣性矩的特點(diǎn)。yzOdAyz第13頁(yè)，共36頁(yè)。A.3 慣性積一、慣性積定義：yzOdAyz圖形對(duì)一對(duì)相互垂直的軸的矩。特點(diǎn):(1)慣性積的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4 、 cm4 、 mm4.(2)其值可正、可負(fù)，可為零。(3)所選坐標(biāo)軸有一個(gè)對(duì)稱軸，則慣性積的值為零。第14頁(yè)，共36頁(yè)。有對(duì)稱軸截面的慣性

5、積zyCdAdAyyz-zIyz= (yizidA- yizidA)=0第15頁(yè)，共36頁(yè)。二、幾個(gè)主要定義(1)主慣性軸：Iy0z0=0，則y0、z0為主慣性軸。有對(duì)稱軸截面的主慣性軸zyCdAdAyyz-zIyz= (yizidA- yizidA)=0 當(dāng)圖形有一根對(duì)稱軸時(shí)，對(duì)稱軸及與之垂直的任意軸即為過(guò)二者交點(diǎn)的主慣性軸。 第16頁(yè)，共36頁(yè)。(4)形心主慣性矩：對(duì)形心主慣性軸的慣性矩(2)主慣性矩：對(duì)任一主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：過(guò)形心的主慣性軸。第17頁(yè)，共36頁(yè)。求所示圖形的形心主慣性矩。例3解：求所示圖形的形心主慣性矩例4解：同理，對(duì)于空心圓：第18頁(yè)，共36頁(yè)。A.

6、4 平行移軸公式一、慣性矩的平行移軸公式 C為形心，y、z為原坐標(biāo)軸，yc、zc為過(guò)形心C分別與y、 z平行的坐標(biāo)軸yzOzcycC第19頁(yè)，共36頁(yè)。(1)兩平行軸中必須有一軸為過(guò)形心軸。(2)截面對(duì)任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系應(yīng)通過(guò)平行的形心軸慣性矩來(lái)?yè)Q算。(3)截面圖形對(duì)所有平行軸的慣性矩中以對(duì)通過(guò)形心軸的慣性矩為最小。則有：說(shuō)明：yzOzcycC第20頁(yè)，共36頁(yè)。二、慣性積的平行移軸公式說(shuō)明： 不是所有平行軸的慣性積中的最小值，因?yàn)閍、b（形心坐標(biāo)）可正可負(fù)，其符號(hào)由其所在象限確定。yzOzcycC第21頁(yè)，共36頁(yè)。三、組合圖形形心主慣性矩的計(jì)算3、利用平行移軸公式，疊加1、確定組

7、合圖形的形心主慣性軸2、求各組成圖形分別對(duì)自身形心軸yi、zi軸的慣性矩, yi、zi軸分別平行與y、z軸。a. 確定形心b. 確定形心主慣性軸第22頁(yè)，共36頁(yè)。例5：試計(jì)算圖示截面的形心主慣性矩。解：（1）確定形心及形心主慣性軸。 由于y、 z為對(duì)稱軸，故y、z都為形心主慣性軸。（2）計(jì)算三部分對(duì)形心主慣性軸的形心慣性矩。（3）計(jì)算組合圖形的形心慣性矩。第23頁(yè)，共36頁(yè)。3003027050例6：試計(jì)算T形截面的形心主慣性矩。CC1C2zyyc解：（1）確定形心及形心主慣性軸。 由于z為對(duì)稱軸，故yc、zc都為形心主慣性軸。（2）計(jì)算兩矩形對(duì)自身形心C1、C2的慣性矩。（3）計(jì)算形心慣性

8、矩。第24頁(yè)，共36頁(yè)。工程上常用的工字鋼、槽鋼、等邊角鋼、不等邊角鋼可查附錄例如：型號(hào)為25a的工字鋼查表可知：第25頁(yè)，共36頁(yè)。課堂練習(xí)第26頁(yè)，共36頁(yè)。求圖示截面對(duì)z軸的慣性矩。習(xí)題負(fù)面積法第27頁(yè)，共36頁(yè)。Eg1 求圖I-2所示半圓形的 靜矩及形心位置 第28頁(yè)，共36頁(yè)。解：由對(duì)稱性， 現(xiàn)取平行于 軸的狹長(zhǎng)條作為微面積 第29頁(yè)，共36頁(yè)。Eg2、如圖所示,確定其形心位置。第30頁(yè)，共36頁(yè)。解：將圖形看作由兩個(gè)矩形I和組成，在圖示坐標(biāo)下每個(gè)矩形的面積及形心位置分別為矩形：mm2 mm， 矩形：mm2 mm， mmmm第31頁(yè)，共36頁(yè)。整個(gè)圖形形心的坐標(biāo)為第32頁(yè)，共36頁(yè)。Eg3 求如圖I-6所示圖形的 及 第33頁(yè)，共36頁(yè)。解：取平行于 軸的狹長(zhǎng)矩形，由于 ，其中寬度 隨 變化，由如圖則 第34頁(yè)，共36頁(yè)。 E