高頻考點分析之不等式、線性規(guī)劃探討

1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學專題講座】第23講：高頻考點分析之不等式、線性規(guī)劃探討江蘇泰州錦元數(shù)學工作室 編輯12講，我們對客觀性試題解法進行了探討，38講，對數(shù)學思想方法進行了探討，912講對數(shù)學解題方法進行了探討，從第13講開始我們對高頻考點進行探討。不等式部分的內容是高考較為穩(wěn)定的一個熱點，考查的重點是不等式的性質、證明、解法及最值方面的應用?？疾榈奶攸c是單獨考查不等式的問題很少，尤其是不等式的證明題；不等式與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何、導數(shù)、實際應用等有關內容綜合在一起的綜合試題居多；作為不等式與函數(shù)的綜合應用，線性規(guī)劃問題日顯頻繁。結合2012年全國各地高考的實例，我們從以下七方面探討不

2、等式、線性規(guī)劃問題的求解：1. 解高次、分式不等式和指數(shù)、對數(shù)不等式；2. 解絕對值不等式；3. 不等式問題中“最值法”和“單調性法”的應用；4. 不等式問題中“數(shù)形結合法”的應用；5. 不等式問題中“特殊值法”的應用；6. 基本不等式的應用；7. 線性規(guī)劃問題。一、解高次、分式不等式和指數(shù)、對數(shù)不等式：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1. （2012年重慶市理5分）不等式的解集為【 】 A. B. C. D. 【答案】A?！究键c】分式不等式的解法?！痉治觥炕质讲坏仁綖檎讲坏仁角蠼猓?。故選A。例2. （2012年重慶市文5分）不等式 的解集是為【 】（A） （B） （C）（-

3、2，1）（D）【答案】C。【考點】其他不等式的解法?！痉治觥坷玫葍r變形直接轉化分式不等式為二次不等式求解即可： 。故選C。例3. （2012年江西省文5分）不等式的解集是 。【答案】。【考點】其它不等式的解法。【解析】不等式可化為，解得。不等式的解集為。例4. （2012年湖南省文5分）不等式的解集為.【答案】?！究键c】一元二次不等式的解法?！窘馕觥坑?，得，從而的不等式x2-5x+60的解集為。例5. （2012年山東省文5分）函數(shù)的定義域為【 】 A B C D 【答案】B。【考點】函數(shù)的定義域。分式、對數(shù)、二次根式有意義的條件?！窘馕觥扛鶕?jù)分式、對數(shù)、二次根式有意義的條件，得，解得。 函

4、數(shù)的定義域為。故選B。例6. （2012年重慶市文5分）設函數(shù)集合 則為21世紀教【 】育網（A） （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）【答案】D?！究键c】復合函數(shù)的概念，解一元二次不等式和指數(shù)不等式，集合及其運算?！痉治觥坷靡阎蟪黾现械姆秶?，結合集合，求出的范圍，然后求解即可：由得，或，即或?；颍?。由得，即，即。故選D。例7. （2012年上海市理14分）已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當時，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）【答案】（1）由，得。 由得。 ，解得。 由得，。 （2）當時，。由單調性可得。，所求反函數(shù)是，。【考點】對數(shù)函

5、數(shù)的概念、性質，反函數(shù)的求法?！窘馕觥浚?）由，結合對數(shù)函數(shù)的性質，列不等式組求解即可。（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的性質求解。二、解絕對值不等式：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1. （2012年廣東省理5分）不等式的解集為?！敬鸢浮俊！究键c】分類討論的思想，解絕對值不等式。【解析】分類討論：由不等式得，當時，不等式為，即恒成立；當時，不等式為，解得，；當時，不等式為，即不成立。綜上所述，不等式的解集為。另解：用圖象法求解：作出圖象，由折點參考點連線；運用相似三角形性質可得。例2. （2012年上海市理4分）若集合，則= .【答案】。【考點】集合的概念和性質的運用，一

6、元一次不等式和絕對值不等式的解法?！窘馕觥坑深}意，得，。例3. （2012年天津市理5分）已知集合，集合,且，則 , .【答案】，?！究键c】集合的交集的運算及其運算性質，絕對值不等式與一元二次不等式的解法【分析】由題意，可先化簡集合，再由集合的形式及直接作出判斷，即可得出兩個參數(shù)的值：=,又，畫數(shù)軸可知，。例4. （2012年天津市文5分）集合中最小整數(shù)為 【答案】?！究键c】絕對值不等式的解法。【分析】不等式，即，集合。 集合中最小的整數(shù)為。例5. （2012年山東省理4分）若不等式的解集為，則實數(shù)= ?！敬鸢浮??！究键c】絕對值不等式的性質?！窘馕觥坑煽傻茫?，而，所以。例6. （2012年

7、江西省理5分）在實數(shù)范圍內，不等式的解集為 ?！敬鸢浮俊！究键c】絕對值不等式的解法，轉化與劃歸、分類討論的數(shù)學思想的應用?！窘馕觥吭坏仁娇苫癁榛蚧?，由得；由得；由得。原不等式的解集為。例7. （2012年陜西省文5分）若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】?！究键c】絕對值不等式的性質及其運用?！窘馕觥坑深}意知左邊的最小值小于或等于3，根據(jù)不等式的性質，得，解得，。例8. （2012年湖南省理5分）不等式的解集為 【答案】。【考點】解絕對值不等式?！窘馕觥苛?，則由得的解集為。例9. （2012年全國課標卷文5分）已知函數(shù)()當時，求不等式的解集；()若的解集包含，求的取值范圍?！敬鸢浮?/p>

8、解：（1）當時，由得 或或。 解得 或。 ()原命題即在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立。 ?！究键c】絕對值不等式的解法。【解析】()分段求解即可。 ()對于，把作未知求解。例10. （2012年遼寧省文10分）已知，不等式的解集為。 ()求a的值； ()若恒成立，求k的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海↖）由得。 又不等式的解集為， 當時，不合題意； 當時，得。()由（I）得。記。 ?！究键c】分段函數(shù)、不等式的基本性質、絕對值不等式及其運用，分類討論思想的應用?！窘馕觥浚↖）針對的取值情況進行討論即可。 () 針對的正負進行討論從而用分段函數(shù)表示，進而求出k的取值范圍。例11.（2012年江蘇省1

9、0分）已知實數(shù)x，y滿足：求證：【答案】證明：， 由題設。 【考點】絕對值不等式的基本知識?！窘馕觥扛鶕?jù)絕對值不等式的性質求證。三、不等式問題中“最值法”和“單調性法”的應用：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1. （2012年福建省文4分）已知關于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 【答案】(0,8)?！究键c】一元二次不等式的解法?！窘馕觥筷P于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，則滿足a242a0，解得0a0時，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定義域為，。 若，則，在上單調遞增。 若，則當時，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增。 ()a=1，。

10、 當x0時，它等價于。 令，則。 由()知，函數(shù)在上單調遞增。 ，在上存在唯一的零點。 在上存在唯一的零點，設此零點為，則。 當時，；當時，。 在上的最小值為。 又，即，。 因此，即整數(shù)k的最大值為2?！究键c】函數(shù)的單調性質，導數(shù)的應用?！窘馕觥?)分和討論的單調區(qū)間即可。 ()由于當x0時，等價于，令，求出導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的零點情況求出整數(shù)k的最大值。例9. （2012年天津市理14分）已知函數(shù)的最小值為，其中.（）求的值；（）若對任意的,有成立，求實數(shù)的最小值；（）證明.【答案】解：（）函數(shù)的定義域為，求導函數(shù)可得. 令，得。當變化時，和的變化情況如下表：0極小值在處取得極小值。由題意，得。

11、（）當0時，取，有，故0不合題意。當0時，令，即。求導函數(shù)可得。令，得。當時， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上單調遞減，從而對任意的），總有，即對任意的，有成立。符合題意。當時，0，對于(0， )，0，因此在(0， )上單調遞增，因此取(0， )時，即有不成立。 不合題意。綜上，實數(shù)的最小值為?！景鏅鄽w錦元數(shù)學工作室，不得轉載】（）證明：當=1時，不等式左邊=2ln32=右邊，所以不等式成立。當2時，。在（2）中，取，得，。綜上，?！究键c】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值?！痉治觥浚ǎ┐_定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的最小值，利

12、用函數(shù)的最小值為，即可求得的值。（）當0時，取，有，故0不合題意。當0時，令，求導函數(shù)，令導函數(shù)等于0，分類討論：當 時，0，在（0，+）上單調遞減，從而對任意的），總有。當時，0，對于(0， )，0，因此在(0， )上單調遞增。由此可確定的最小值。（）當=1時，不等式左邊=2ln32=右邊，所以不等式成立。當2時，由，在（）中，取得,從而可得，由此可證結論。例10. （2012年浙江省理14分）已知，函數(shù)（）證明：當時， （i）函數(shù)的最大值為； （ii）；（）若對恒成立，求的取值范圍【答案】() 證明：()當b0時，0在0 x1上恒成立，此時的最大值為：|2ab|a；當b0時，在0 x1上的

13、正負性不能判斷，此時的最大值為：|2ab|a。綜上所述：函數(shù)在0 x1上的最大值為|2ab|a。() 設， ，令。當b0時，0在0 x1上恒成立，此時的最大值為：|2ab|a；當b0時，在0 x1上的正負性不能判斷，|2ab|a。綜上所述：函數(shù)在0 x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0 x1上恒成立。()解：由()知：函數(shù)在0 x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0 x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11對x0，1恒成立，|2ab|a1。取b為縱軸，a為橫軸則可行域為：和，目標函數(shù)為zab。作圖如下：由圖易得：當目標函數(shù)為zab過P(1，2)時，有所求ab的取值

14、范圍為：。【考點】分類思想的應用，不等式的證明，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，簡單線性規(guī)劃?！窘馕觥?) ()求導后，分b0和b0討論即可。() 利用分析法，要證|2ab|a0，即證|2ab|a，亦即證在0 x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函數(shù)在0 x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0 x1上的最小值比(|2ab|a)要大根據(jù)11對x0，1恒成立，可得|2ab|a1，從而利用線性規(guī)劃知識，可求ab的取值范圍。例11. （2012年浙江省文15分）已知aR，函數(shù)（1）求的單調區(qū)間（2）證明：當01時， + 0.【答案】解：（1）由題意得， 當時，恒成立，此時的單調遞

15、增區(qū)間為；當時，此時函數(shù)的單調遞增區(qū)間為。（2）由于，當時，；當時，。設，則。則有0101減極小值增1。當時，總有?！究键c】分類思想的應用，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和單調區(qū)間，不等式的證明。 【解析】（1）求出導數(shù)，分和討論即可。 （2）根據(jù)，分和兩種情形，得到，從而設出新函數(shù)，應用導數(shù)，證出，得到恒成立，即。例12. （2012年湖南省理13分）已知函數(shù)，其中0.（）若對一切R，1恒成立，求的取值集合.（）在函數(shù)的圖像上取定兩點，記直線AB的斜率為，問：是否存在，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】解：（）若，則對一切，這與題設矛盾，又，故。令。當時，單調遞減；當

16、時，單調遞增.當時，取最小值。于是對一切恒成立，當且僅當令則。當時，單調遞增；當時，單調遞減，當時，取最大值。當且僅當即時，式成立。綜上所述，的取值集合為。（）存在。由題意知，。令則。令，則。當時，單調遞減；當時，單調遞增，當，即。，。又。函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且，故當且僅當時， 。綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為?！究键c】利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立, 分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉化與劃歸思想等數(shù)學思想方法的應用?！窘馕觥浚ǎ┯脤Ш瘮?shù)法求出取最小值，對一切R，1恒成立轉化為，從而得出的取值集合。（）在假設存在的情況下

17、進行推理，通過構造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調性及最值來進行分析判斷。例13. （2012年湖北省文14分）設函數(shù)f(x)axn(1x)b(x0)，n為整數(shù)，a，b為常數(shù)曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為xy1.（）求a，b的值；（ = 2 * ROMAN II）求函數(shù)f(x)的最大值；（ = 3 * ROMAN III）證明：f(x)eq f(1,ne).【答案】解：（）f(1)b，由點(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0。f(x)anxn1a(n1)xn，f(1)a。又切線xy1的斜率為1，a1，即a1。a1，b0。（ = 2 * ROMAN II）由（）知，f(x)xn(1x)

18、xnxn1，f(x)(n1)xn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)x)。令f(x)0，解得xeq f(n,n1)，即f(x)在(0，)上有唯一零點x0eq f(n,n1)。在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(n,n1)上，f(x)0，f(x)單調遞增；在eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)，)上，f(x)0，f(x)單調遞減，f(x)在(0，)上的最大值為feq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)neq blc(rc)(avs4alco1(1f(n,n1)eq f

19、(nn,n1n1)。（ = 3 * ROMAN III）證明：令(t)lnt1eq f(1,t)(t0)，則(t)eq f(1,t)eq f(1,t2)eq f(t1,t2)(t0)。在(0,1)上，(t)0，(t)單調遞減；在(1，)上，(t)0，(t)單調遞增，(t)在(0，)上的最小值為(1)0。 (t)0(t1)，即lnt1eq f(1,t)(t1)。令t1eq f(1,n)，得lneq f(n1,n)eq f(1,n1)，即lneq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n)n1lne。eq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n)n1e，即eq f(nn,n1n1

20、)eq f(1,ne)。由（ = 2 * ROMAN II）知，f(x)eq f(nn,n1n1)eq f(1,ne)，所證不等式成立?！究键c】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程?！窘馕觥浚↖）由題意曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為xy1，故可根據(jù)導數(shù)的幾何意義與切點處的函數(shù)值建立關于參數(shù)的方程求出兩參數(shù)的值。（II）由于f(x)xn(1x)xnxn1，可求 f(x)(n1)xn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)x)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)的最大值。（III）結合（II），欲證：f(x)eq

21、 f(1,ne)由于函數(shù)f(x)的最大值feq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)neq blc(rc)(avs4alco1(1f(n,n1)eq f(nn,n1n1)，故此不等式證明問題可轉化為證明 eq f(nn,n1n1)eq f(1,ne)，對此不等式兩邊求以e為底的對數(shù)發(fā)現(xiàn)，可構造函數(shù)(t)lnt1eq f(1,t)(t0)，借助函數(shù)的最值輔助證明不等式。例14. （2012年遼寧省文12分）設，證明： ()當時， ()當時，【答案】證明：()設， 則。 當時，單調遞減。 又，。 當時，。() 由均值不等式，當0

22、時，即。 令。則。 令。則當時，。 在（1，3）內是單調遞減函數(shù)。又，在（1，3）內，。在（1，3）內，。在（1，3）內是單調遞減函數(shù)。又，在（1，3）內，。當時，?！究键c】導數(shù)的概念、幾何意義、導數(shù)在判斷函數(shù)單調性?！窘馕觥浚↖）用差值法構造函數(shù)，可得當時，可判斷在時是單調遞減函數(shù)，從而由得到出，進而得出結論。（II）由均值不等式，可得 。用差值法構造函數(shù)，可得。構造函數(shù)， 利用導數(shù)判斷在（1，3）內是單調遞減函數(shù)，從而得到出在（1，3）內是單調遞減函數(shù)，進而得出結論。例15. （2012年重慶市理12分）設數(shù)列的前項和滿足，其中. （I）求證：是首項為1的等比數(shù)列；（5分） （II）若，求

23、證：，并給出等號成立的充要條件.（7分）【答案】證明：（），。 。 ，。 ，。 。是首項為1，公比為的等比數(shù)列。（II）當=1或=2時，易知成立。當時，成立。當時，。當時，上面不等式可化為，設，當時， 。當時，所要證的不等式成立。當時，令，則。在（0，1）上遞減。在（0，1）上遞增。當時，所要證的不等式成立。 = 3 * GB3 當時，由已證結論得：。當時，所要證的不等式成立。綜上所述，當且時，。當且僅當=1,2或時等號成立?！究键c】數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列與函數(shù)的綜合，等比數(shù)列的性質，等比關系的確定。【分析】（I）根據(jù)，得，兩式相減，即可證得是首項為1，公比為的等比數(shù)列。（II）當=1或=2

24、時和當時， 成立。當時，分，三種情況分別證明即可。 本題也可用數(shù)學歸納法證明。四、不等式問題中“數(shù)形結合法”的應用：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1. （2012年湖南省理5分）已知兩條直線 ：和：，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點A，B ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為 , ,當m 變化時，的最小值為【 】來源%&:中國*教育#出版網A B. C. D. 【答案】B?！究键c】數(shù)形結合，函數(shù)的圖象，基本不等式的應用?！窘馕觥咳鐖D，在同一坐標系中作出，圖像， 由，得，由，得。根據(jù)題意得。，。故選B。例2. （2012年重慶市理5分）設平面

25、點集，則所表示的平面圖形的面積為【 】（A） （B） （C） （D） 【答案】D。【考點】數(shù)形結合，函數(shù)的圖象，雙曲線和圓的對稱性?！痉治觥?，或。 又， 滿足上述條件的區(qū)域為如圖所示的圓內部分和。的圖象都關于直線對稱，和區(qū)域的面積相等，和區(qū)域的面積相等，即圓內部分和的面積之和為單位圓面積的一半，為。故選D。例3. （2012年全國課標卷文5分）當時，則a的取值范圍是【 】 （A）(0， eq f(r(2),2) （B）( eq f(r(2),2)，1) （C）(1， eq r(2) （D）( eq r(2)，2)【答案】B?！究键c】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質?！窘馕觥吭O,作圖。 當時，, 在時,

26、 的圖象在的圖象上方。 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，。單調遞減。 由時，得，解得。 要使時，必須。 a的取值范圍是( eq f(r(2),2)，1) 。故選B。五、不等式問題中“特殊值法”的應用：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1. （2012年福建省理5分）下列命題中，真命題是【 】Ax0，0Bx，2xx2Cab0的充要條件是eq f(a,b)1Da1，b1是ab1的充分條件【答案】D?！究键c】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應用?！窘馕觥繉τ贏，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質不存在x0，使得0，因此A是假命題。對于B，當x2時，2xx2，因此B是假命題。對

27、于C，當ab0時，eq f(a,b)不存在，因此C是假命題。對于D，a1，b1時 ab1，所以a1，b1是ab1的充分條件，因此D是真命題。故選D。例2. （2012年四川省文4分）設為正實數(shù)，現(xiàn)有下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則。其中的真命題有 。（寫出所有真命題的編號）【答案】。【考點】真命題的判定，特殊值法的應用?！窘馕觥繉τ?，為正實數(shù)，。 又，。故正確。對于，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實數(shù)和的條件，但。故錯誤。對于，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實數(shù)和的條件，但。故錯誤。對于，不妨設，由得，。為正實數(shù)，。故正確。且，。綜上所述，真命題有 。例3. （2012年浙江省

28、理4分）設，若時均有，則 【答案】。【考點】特殊元素法，偶次冪的非負數(shù)性質?！窘馕觥繒r均有，應用特殊元素法，取，得。例4. （2012年四川省理14分）已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對所有都有成立的的最小值；（）當時，比較與的大小，并說明理由?！敬鸢浮拷猓海ǎ┯梢阎茫稽cA的坐標為，對求導得。 拋物線在點A處的切線方程為，即。（）由（1）知，則成立的充要條件是。即知，對于所有的n成立，特別地，取n=2時，得到。當時,。當n=0，1，2時，顯然。當時，對所有自然數(shù)都成立。滿足條件的的最小值是。（）由（1）知，則，。下

29、面證明：。首先證明：當0 x1時，設函數(shù)，則。當時，；當時，在區(qū)間（0,1）上的最小值min=g。當0 x1時，0,即得。由0a1知0ak1()，。從而?！究键c】導數(shù)的應用、不等式、數(shù)列?！窘馕觥浚ǎ└鶕?jù)拋物線與x軸正半軸相交于點A，可得A，進一步可求拋物線在點A處的切線方程，從而可得（）由（）知，則 成立的充要條件是，即知，對所有n成立。當時，；當n=0，1，2時，由此可得的最小值。（）由（）知，證明當0 x1時， 即可證明： 。例5. （2012年四川省文14分）已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對所有都有成立的的最

30、小值；（）當時，比較與的大小，并說明理由?！敬鸢浮拷猓海ǎ┯梢阎茫稽cA的坐標為，對求導得。 拋物線在點A處的切線方程為，即。（）由（1）知，則成立的充要條件是。即知，對于所有的n成立，特別地，取n=1時，得到。當時,。當n=0時，。當時，對所有自然數(shù)都成立。滿足條件的的最小值是3。（）由（1）知，下面證明：。首先證明：當0 x1時， ，設函數(shù)，則。當時，；當時，在區(qū)間（0,1）上的最小值min=g。當0 x1時，0,即得。由0a1知0ak0時，不等式才成立，所以B不一定成立；對于C，命題顯然正確；對于D，x211，0eq f(1,x21)1，所以D不成立.故選C。例5. （2012年陜西省

31、文5分）小王從甲地到乙地的時速分別為和（），其全程的平均時速為，則【 】A. B. = C. D. =【答案】A?！究键c】基本不等式及其應用。【解析】設從甲地到乙地的路程為，則。 又，。 。故選A。例6. （2012年福建省理7分）已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1（）求m的值；【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】（）若a，b，cR，且eq f(1,a)eq f(1,2b)eq f(1,3c)m，求證：a2b3c9.【答案】解：（）因為f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm。又f(x2)0的解集為1,1，故m1。（

32、）由(1)知eq f(1,a)eq f(1,2b)eq f(1,3c)1，又a，b，cR，由柯西不等式得， 當且僅當 時，等號成立。所以a2b3c9?！究键c】帶絕對值的函數(shù)，不等式的證明?！窘馕觥浚ǎ┯蓷l件可得f(x2)m|x|，f(x2)0，故有|x|m的解集為-1，1，故m=1。（）由（）得eq f(1,a)eq f(1,2b)eq f(1,3c)1，從而 ，展開后可得，利用基本不等式證明它大于或等于9。例7. （2012年湖北省文5分）設 R，則 “”是“”的【】A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要的條件【答案】A?！究键c】充分、必要

33、條件的判定，基本不等式的應用?！窘馕觥慨敃r，而（當且僅當，且，即時等號成立），。當取,顯然有,但。由不可以推得。綜上，是的充分不必要條件。故選A。例8. （2012年四川省理4分）記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2；對數(shù)列都存在正整數(shù)，當時總有；當時，；對某個正整數(shù)，若，則。其中的真命題有 _。（寫出所有真命題的編號）【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】【答案】?！究键c】真命題的判定，對高斯函數(shù)的理解，數(shù)列的性質，特殊值法的應用，基本不等式的應用?！窘馕觥繉τ?，若，根據(jù) 當n=1時，x2=3, 同理x3=。 故正確。對于，可以

34、采用特殊值列舉法：當a=3時，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此時數(shù)列從第二項開始為2，1，2，1，不成立。故錯誤。對于，由的定義知，而為正整數(shù)，故，且是整數(shù)。對于兩個正整數(shù)、，當為偶數(shù)時；當為奇數(shù)時，不論是偶數(shù)還是奇數(shù)，有。和都是整數(shù)，。又當時，成立。當時，。故正確。對于，當時， ，即。，即，解得。由，。故正確。綜上所述，真命題有 。例9. （2012年遼寧省理12分）設，曲線與直線在(0，0)點相切。 ()求的值。 ()證明：當時，?！敬鸢浮拷猓海↖）過（0，0），=0。=1。曲線與直線在（0，0）點相切，。=0。（II）證明：由（I）知。由均值不

35、等式，當0時，。令。則。 令。則當時，。 在（0，2）內是單調遞減函數(shù)。又，在（0，2）內，。在（0，2）內，。在（0，2）內是單調遞減函數(shù)。又，在（0，2）內，。當時，。【考點】導數(shù)的概念、幾何意義、導數(shù)在判斷函數(shù)單調性與最值中的運用，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程。【解析】（I）由過（0，0），可求b的值，根據(jù)曲線與直線在（0，0）點相切，利用導函數(shù)，可求a的值。（II）由（I）知，由均值不等式，可得 。用差值法構造函數(shù)，可得。構造函數(shù)， 利用導數(shù)判斷在（0，2）內是單調遞減函數(shù)，從而得到出在（0，2）內是單調遞減函數(shù)，進而得出結論。七、線性規(guī)劃問題：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得

36、轉載】例1. （2012年四川省理5分）某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是【 】A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元【答案】C?！究键c】線性規(guī)劃的應用?！窘馕觥吭O公司每天生產甲種產品X桶，乙種產品Y桶，公司共可獲得 利潤為Z元/天，則由已知，得 Z=300X+400Y，且畫可行域如圖所示，目

37、標函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y= 這是隨Z變化的一族平行直線，解方程組得，即A（4,4） 。故選C。例2. （2012年全國課標卷文5分）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在ABC內部，則z=x+y的取值范圍是【 】（A）(1 eq r(3)，2) （B）(0，2) （C）( eq r(3)1，2) （D）(0，1+ eq r(3)【答案】A?！究键c】簡單線性規(guī)劃，等邊三角形的性質，勾股定理。【解析】求z=x+y的取值范圍，則求出z=x+y在正三角形ABC邊際及內的區(qū)域的最大值和最小值即可。 由A(1,1)，B(1,3)，根據(jù)正三角形的

38、性質可求C在第一象限的坐標為（1+ eq r(3)，2）。作圖，可知約束條件對應正三角形ABC內的區(qū)域： A(1,1)，B(1,3)，C（1+ eq r(3)，2）。 當x=1，y=3時，z=x+y取得最大值2；當1+ eq r(3)，y=2時，z=x+y取得最小值1 eq r(3)。 z=x+y的取值范圍為(1 eq r(3)，2)。故選A。例3. （2012年四川省文5分）若變量滿足約束條件，則的最大值是【 】A、12 B、26 C、28 D、33【答案】 C?！究键c】線性規(guī)劃問題?！窘馕觥慨嬁尚杏蛉鐖D所示，目標函數(shù)可以變形為， 作函數(shù)的平行線，當其經過點B（4,4）時截距最大時，即z有最

39、大值為=。故選C。例4. （2012年山東省理5分）若滿足約束條件：，則目標函數(shù)的取值范圍是【 】A B C D 【答案】A?！景鏅鄽w錦元數(shù)學工作室，不得轉載】【考點】線性規(guī)劃。【解析】如圖，作出可行域，直線，將直線平移至點（2，0）處有最大值：，將直線平移至點處有最小值：。目標函數(shù)的取值范圍是。故選A。例5. （2012年天津市文5分）設變量滿足約束條件,則目標函數(shù)z=3x-2y的最小值為【 】（A）5 （B）4 （C）2 （D）3【答案】B?！究键c】線性規(guī)劃?！痉治觥孔鞒霾坏仁綄目尚杏蛉鐖D，由得。由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，而此時最小為，故選B。例6. （2012年安徽省

40、文5分）若滿足約束條件：；則的最小值是【 】 【答案】?！究键c】簡單線性規(guī)劃?！窘馕觥壳蟮娜≈捣秶?，則求出的最大值和最小值即可。作圖，可知約束條件對應邊際及內的區(qū)域：。 當時，取得最小值。 的最小值是。故選。例7. （2012年廣東省理5分）已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為【】A12 B11 C3 D【答案】B?！究键c】簡單線性規(guī)劃。【解析】如圖，作出變量x，y約束條件的可行域，解得最優(yōu)解（3,2）當時，目標函數(shù)z=3x+y的最大值為。故選B。例8. （2012年廣東省文5分）已知變量滿足約束條件則的最小值為【 】A B C D【答案】C?！究键c】簡單線性規(guī)劃。【解析】如圖

41、，作出變量x，y約束條件的可行域， 解得最優(yōu)解（1,2）當時，目標函數(shù)的最小值為。故選C。例9. （2012年江西省理5分）某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表年產量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為【 】A50，0 B30，20 C20，30 D0，50【答案】B。【考點】建模的思想方法，線性規(guī)劃知識在實際問題中的應用?！窘馕觥吭O黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總

42、利潤為z萬元，則目標函數(shù)為.線性約束條件為，即。如圖，作出不等式組表示的可行域,易求得點。平移直線，可知當直線經過點,即時,z取得最大值,且（萬元）。故選B。例10. （2012年福建省理5分）若函數(shù)圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為【 】A.eq f(1,2) B.1 C.eq f(3,2) D2【答案】B?！究键c】線性規(guī)劃。【解析】約束條件確定的區(qū)域為如圖陰影部分，即ABC的邊與其內部區(qū)域，分析可得函數(shù)與邊界直線交與點（1，2），若函數(shù)圖象上存在點（x，y）滿足約束條件，即圖象上存在點在陰影部分內部，則必有m1，即實數(shù)m的最大值為1。故選B。例11. （2012年福建省文

43、5分） 若直線上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為【 】A1 B1 C.eq f(3,2) D2【答案】B。【考點】線性規(guī)劃?！窘馕觥考s束條件確定的區(qū)域為如圖陰影部分，即ABC的邊與其內部區(qū)域，分析可得函數(shù)與邊界直線交與點（1，2），若函數(shù)圖象上存在點（x，y）滿足約束條件，即圖象上存在點在陰影部分內部，則必有m1，即實數(shù)m的最大值為1。故選B。例12. （2012年遼寧省理5分）設變量x，y滿足則的最大值為【 】(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】D?！究键c】簡單線性規(guī)劃問題?！窘馕觥咳鐖D，畫出可行域：根據(jù)圖形可知當x=5,y=15時2x+3y最大，最大

44、值為55。故選D。例13. （2012年全國大綱卷理5分）若滿足約束條件，則的最小值為 。【答案】?！究键c】線性規(guī)劃?！窘馕觥坷貌坏仁浇M，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當目標函數(shù)過點（3，0）時，目標函數(shù)最大，當目標函數(shù)過點（0，1）時最小。例14.（2012年全國課標卷理5分）設滿足約束條件：；則的取值范圍為 【答案】?！究键c】簡單線性規(guī)劃?！窘馕觥壳蟮娜≈捣秶?，則求出在約束條件下的最大值和最小值即可。作圖，可知約束條件對應四邊形邊邊際及內的區(qū)域： 。 當時，取得最大值3；當時，取得最小值。 的取值范圍為。例15.（2012年安徽省理5分）若滿足約束條件：；則的取值范圍為 來源:21世【答案】?！究键c】簡單線性規(guī)劃?！窘馕觥壳蟮娜≈捣秶?，則求出的最大值和最小值即可。作圖，可知約束條件對應邊際及內的區(qū)域：。 當時，取得最大值0；當時，取得最小值。 的取值范圍為?！景鏅鄽w錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例16. （2