5.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形-課件

1、1設(shè)5.2.1、二次型的變量替換對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形5.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2證明即 為對(duì)稱矩陣.3說(shuō)明4定義 設(shè)A,B都是n 階方陣,如果存在可逆陣C ，使CTAC=B，則稱A與B合同,記成AB.此時(shí)也稱矩陣A經(jīng)過(guò)合同變換化為矩陣B. 合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：(證明見(jiàn)P217) （1）自反性：A A . （2）對(duì)稱性：若 A B則 B A. （3）傳遞性：若 A B ， B C則 A C . （4）A與B合同，則r(A)=r(B) . 合同等價(jià)，合同等秩，反之都不成立但不等秩，則一定不合同. 矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很類似，也是n階方陣

2、之間的一種等價(jià)關(guān)系. 即55.2.2、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法拉格朗日配方法用線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，等價(jià)于二次型的矩陣經(jīng)合同變換化為對(duì)角陣由上一章可知對(duì)稱矩陣可經(jīng)正交變換化為對(duì)角陣61.若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; 拉格朗日配方法的步驟2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.7解例1含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)89所用變換矩

3、陣為10解例2由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以11再配方，得12所用變換矩陣為13 對(duì)A交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，對(duì)A作列變換時(shí)，同時(shí)對(duì)E作相同的列變換，當(dāng)A 化作標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，E就化作了C . 這就是作可逆線性變換那個(gè)可逆矩陣. 即 .5.2.3、 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣的初等變換法是對(duì)二次型矩陣A，構(gòu)造一個(gè)2nn的矩陣 ，14分析：由于左上角的元素為0，而主對(duì)角線上第二個(gè)元素不為0，將第一列和第二列交換，同時(shí)將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.例3 用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換。15解：16由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為175.2.4、 用

4、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形18用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟19化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次曲面.例 求一正交變換，將二次型202122235.2.5、二次型的規(guī)范型有標(biāo)準(zhǔn)型 則稱這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型是原二次型的規(guī)范型。定義 設(shè)n元二次型24定理 任一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化線性變換化為規(guī)范型?；蛘哒f(shuō)，任一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角陣，并且這個(gè)對(duì)角陣的對(duì)角線元素是1，-1或0?；癁闃?biāo)準(zhǔn)型證明：設(shè)n元二次型25作非退化線性變換26定理 任一個(gè)二次型它的規(guī)范型是唯一的。即規(guī)范型中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)和負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)是由原二次型唯一確定的。證明：設(shè)n元二次型2728定義 二次型的規(guī)范型中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫二次型的正慣性指標(biāo)；負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫二次型的負(fù)慣性指標(biāo)；它們的差叫二次型的符號(hào)差。295.2.6、小結(jié)將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法和初等變換法，這取決于問(wèn)題的要求如果要求找出一個(gè)正交矩陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡(jiǎn)單需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同，項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩30解1