中學(xué)數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐課件

1、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐合肥市教學(xué)研究室 許曉天引言 隨著我國(guó)高中課程改革的逐步深入，新的教育理念和教育方法在不斷地沖擊著傳統(tǒng)教學(xué)，就高中數(shù)學(xué)而言，不能只停留在讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能上，更重要的是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)建模納入了其中同時(shí)，新課標(biāo)也指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能局限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探究，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)教學(xué)方式”中學(xué)開展數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)合作，提高分析和解決實(shí)際問題的能力，更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力可見，以數(shù)學(xué)建模為重要途徑來促

2、進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的發(fā)展是大勢(shì)所趨 目前，數(shù)學(xué)建模在大學(xué)已經(jīng)如火如荼地開展著，許多高校都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，一年一度的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也進(jìn)行了好多年反觀中學(xué)階段，除有個(gè)別省市和社會(huì)團(tuán)體外如，除北京市（上海市）的“高中生（中學(xué)生）數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽”；中國(guó)青少年發(fā)展服務(wù)中心的“全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化能力學(xué)科競(jìng)賽”等絕大多數(shù)地方和學(xué)校并未有效地參與和實(shí)施分析原因：一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀 1從教師的角度看，很多教師不愿意在這方面花費(fèi)過多時(shí)間和精力，認(rèn)為搞這樣的活動(dòng)與考試和教學(xué)無關(guān)，是浪費(fèi)時(shí)間，擔(dān)心由于它而造成學(xué)生成績(jī)的下滑其次，受長(zhǎng)期以來的傳統(tǒng)觀念和教學(xué)模式影響，教師的教學(xué)觀念陳舊，數(shù)學(xué)教學(xué)的重心放在讓學(xué)

3、生會(huì)解題，會(huì)計(jì)算，能在考試上拿高分上，忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的培養(yǎng)同時(shí)，數(shù)學(xué)建模講究各學(xué)科知識(shí)的交叉，這對(duì)教師的知識(shí)儲(chǔ)備要求較高教師需要參加專門的培訓(xùn)，需要不斷學(xué)習(xí)，無形中增加了負(fù)擔(dān)一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀 2從學(xué)生的角度看，我國(guó)中小學(xué)的課程難度大，學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)重，在高考指揮棒下，學(xué)生的壓力很大，高中生既要天天完成每科的家庭作業(yè)，還要應(yīng)對(duì)各種考試同時(shí)，教師也無法在教學(xué)上有更多的時(shí)間去讓學(xué)生進(jìn)行探索長(zhǎng)此以往，導(dǎo)致學(xué)生自主意識(shí)缺乏，創(chuàng)造能力薄弱一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀 3從學(xué)校和家長(zhǎng)的角度看，雖然數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展有利，但高考仍是評(píng)判學(xué)生、教師以及學(xué)校優(yōu)劣的最重要標(biāo)準(zhǔn)，能否考上名牌大學(xué)才是家

4、長(zhǎng)最關(guān)心的，這必然導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視程度不夠，部分學(xué)校即使在研究性學(xué)習(xí)中進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，也要么流于形式，要么人數(shù)很少，時(shí)間很短，無法形成規(guī)模，起不到應(yīng)有的作用一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀 4關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的理論研究很多，但中學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模成果較少，沒有成熟的案例和經(jīng)驗(yàn)借鑒；且可操作性不強(qiáng)，也沒有足夠可供教師參考的資料 5教育資源分布不夠均衡，地區(qū)差異、學(xué)校差異及生源質(zhì)量對(duì)數(shù)學(xué)建模的開展產(chǎn)生影響一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀 以上幾點(diǎn)是中學(xué)數(shù)學(xué)建模不能大規(guī)模進(jìn)行的原因，既有客觀因素，也有主觀原因，但這并不意味著應(yīng)放棄事實(shí)證明，一些沖破阻力、克服困難結(jié)合教學(xué)，開展應(yīng)用和建?；顒?dòng)的學(xué)校有著共同的感受

5、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的教學(xué)，有機(jī)地開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力及創(chuàng)新精神，也促進(jìn)了學(xué)?？蒲兴降奶嵘?，培養(yǎng)了拔尖創(chuàng)新人才因此，開展這樣的活動(dòng)是十分有益的，也是可以施行的.那么如何開展呢?一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實(shí)施1教師先行 首先，教師作為課題的策劃者和引導(dǎo)者，要改變落后的觀念，正確認(rèn)識(shí)和對(duì)待數(shù)學(xué)建模，不斷加強(qiáng)學(xué)習(xí)新知識(shí)要有讓學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法，從而更積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使學(xué)生終生受益；其次，學(xué)校要為教師創(chuàng)造良好的環(huán)境和具體的一些幫助，從外部環(huán)境上來看，要給教師營(yíng)造一個(gè)相對(duì)寬松和民主的氛圍，為教師自主的開展活動(dòng)創(chuàng)造一個(gè)有利的外部條件。

6、定期邀請(qǐng)專家到學(xué)校講座，對(duì)教師進(jìn)行系統(tǒng)的培訓(xùn)發(fā)揮學(xué)校教研室的作用，成立有專人負(fù)責(zé)的數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)小組，做好各學(xué)科之間的協(xié)調(diào)和配 合從日常生活出發(fā)，結(jié)合本校實(shí)際，編寫教材二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實(shí)施2學(xué)生培養(yǎng) 數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生有一個(gè)逐步的學(xué)習(xí)和適應(yīng)的過程，在開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)時(shí)，特別應(yīng)考慮學(xué)生實(shí)際能力和水平，分層次，循序漸進(jìn)開始時(shí)，起點(diǎn)要低，要給學(xué)生留有充分思考的余地；形式應(yīng)有利于更多的學(xué)生能參與數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以在講解知識(shí)的同時(shí)有意識(shí)地介紹知識(shí)的應(yīng)用背景，在應(yīng)用的重點(diǎn)環(huán)節(jié)有比較多的訓(xùn)練如，數(shù)學(xué)符號(hào)的表示、列方程和列不等式解應(yīng)用題等，逐步擴(kuò)展到讓學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一些實(shí)際結(jié)果，描述一些實(shí)際現(xiàn)象，模仿

7、地解決一些比較確定的應(yīng)用問題，再到獨(dú)立地解決教師提供的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題和建二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實(shí)施2學(xué)生培養(yǎng)模問題，最后發(fā)展成能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)、提出一些實(shí)際問題，并能用數(shù)學(xué)建模的方法解決這些問題總之，在數(shù)學(xué)建模中，我們應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以及解決這一問題的方法和過程，不必過分追求結(jié)果的完美性和嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)他們參與的積極性二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實(shí)施3與正常教學(xué)的融合 教師應(yīng)在教授數(shù)學(xué)各個(gè)模塊時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建?；顒?dòng)比如：在學(xué)習(xí)函數(shù)模塊中，可引入的實(shí)際問題有：銀行存貸款，商品銷售與利潤(rùn)，非線性組合和預(yù)測(cè)，人口或其他生物增減變化的規(guī)律；漁場(chǎng)養(yǎng)魚與資金分配，出租車計(jì)價(jià)等在學(xué)

8、習(xí)數(shù)列模塊中，可引入的實(shí)際問題有：銀行的存貸款、證券、期貨、保險(xiǎn)、企業(yè)的產(chǎn)值、成本、倉儲(chǔ)；社會(huì)問題中的人口增加、人口質(zhì)量、土地及資源的利用及配置；空氣污染、森林覆蓋等在概率統(tǒng)計(jì)模塊中有：有獎(jiǎng)促銷，考試成二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實(shí)施3與正常教學(xué)的融合績(jī)的評(píng)價(jià)等在三角函數(shù)模塊中，有停車場(chǎng)最多停車設(shè)計(jì)問題，加工精度的間接測(cè)量，搬運(yùn)家具問題，電流、聲波、爆炸物爆炸后引起的振動(dòng)，單擺運(yùn)動(dòng)等在解析幾何模塊中有：臺(tái)風(fēng)移動(dòng)對(duì)城市的影響，貨物運(yùn)輸?shù)热?、中學(xué)數(shù)學(xué)建模例題的編制1編制原則 導(dǎo)向性：選編的數(shù)學(xué)應(yīng)用建模問題，應(yīng)在思想內(nèi) 容上富于時(shí)代信息，并將真實(shí)性、科學(xué)性、適應(yīng)性、挑 戰(zhàn)性、趣味性和探索性作為其出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)使

9、問題具 有過程的完整性、方法的多樣性、計(jì)算工具的先進(jìn) 性，既有助于中學(xué)素質(zhì)教育，又能培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力 隱蔽性：建模條件應(yīng)具有適度的隱蔽性，盡量是“原胚型”問題 三、中學(xué)數(shù)學(xué)建模例題的編制1編制原則 原始性：所給材料應(yīng)保持其原始性來自廣播電 視、報(bào)刊雜志的信息，政府機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位的報(bào)告、 計(jì)劃、統(tǒng)計(jì)資料等等，都是數(shù)學(xué)建模問題原始資料的 重要來源；也可以引導(dǎo)學(xué)生親自到一線調(diào)查研究，注意積累課題資料 模擬性：限于中學(xué)生知識(shí)水平和年齡特征，因此應(yīng)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行加工、處理和創(chuàng)造，省略若干次要 干擾因素，將問題轉(zhuǎn)化為易于發(fā)現(xiàn)和建立數(shù)學(xué)模型 的“準(zhǔn)實(shí)際問題” 三、中學(xué)數(shù)學(xué)建模例題的編制1編制原

10、則 綜合性：應(yīng)用與建模例題應(yīng)具有：(1)社會(huì)交流層次上的綜合性，包括生活知識(shí)、語言知識(shí)、相關(guān)學(xué)科知識(shí)等的綜合；(2)素質(zhì)層次上的綜合性，包括基本知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法和能力的“多位一體”的綜合 創(chuàng)新性：編制應(yīng)用與建模例題時(shí)，必須考慮培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力為此應(yīng)注重一題多?；蚨囝}一模、統(tǒng)計(jì)圖表等例題的編擬，密切關(guān)注現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使學(xué)生創(chuàng)新和高技術(shù)密切結(jié)合，融入當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的主流 三、中學(xué)數(shù)學(xué)建模例題的編制2編制途徑 編制應(yīng)用與建模的例題主要從以下幾方面著手：第一，改造課本例題和習(xí)題；第二，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)改編；第三，從國(guó)內(nèi)外相關(guān)教參和期刊中優(yōu)選；第四，從大學(xué)建模“成品”中簡(jiǎn)

11、化移植；第五，從教師自己生活實(shí)踐中提煉和挖掘；第六，發(fā)動(dòng)學(xué)生關(guān)注生活、體驗(yàn)生活，從中尋求問題 四、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的典型案例1函數(shù)問題建模 例1 某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售時(shí)，每天可銷售50件.現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品售價(jià)每提高1元，銷售量就減少5件.問每件售價(jià)定為多少時(shí)，才能使每天的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).分析 因?yàn)槊刻焖@利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)與銷售量之積，而銷售量又隨單價(jià)的提高而減少，所以不妨設(shè)每件提高x元，則每件所獲利潤(rùn)為（2+x）元 ，每天銷售量將減少到（50-5x）件，每天所獲利潤(rùn)為f(x)= (2+x) (50-5x) (0 x10

12、) .原題就轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)f(x)在區(qū)間0,10內(nèi)的最大值.當(dāng)且僅當(dāng)2+x=10-x時(shí)，等號(hào)成立，即每件售價(jià)定為4元時(shí)， 每天的利潤(rùn)最大為180元.四、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的典型案例2方程問題建模 例2 有一種商品，A、B兩地均有售且兩地價(jià)格相同，但某地區(qū)的居民從兩地往回運(yùn)時(shí)，每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍已知A、B兩地相距10公里，顧客購買這兩種商品選擇從A地買或從B地買的標(biāo)準(zhǔn)是包括運(yùn)費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用比較便宜，求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的軌跡圖形，并指出軌跡圖形上、圖形內(nèi)、圖形外的居民如何選擇從A地或B地購買最劃算？ 分析 首先建立坐標(biāo)系， 取AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系

13、，則A(-5,0),B(5,0).設(shè)P(x,y)是分界線上任一點(diǎn)， 從B地往P地運(yùn)貨的單位3a|PA|=a|PB|，9(x+5)2+y2=(x-5)2+y2，即故A、B兩地售貨的區(qū)域分界線是以 為 圓心，以 為半徑的圓，圓周內(nèi)的居民從A地買劃算；圓周外的居民從B地買劃算；圓周上的居民從A、B兩地買的費(fèi)用相同.距離運(yùn)費(fèi)為a元.由題意得四、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的典型案例3不等式問題建模 例3 在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200千米，每輛巡邏車可載供行駛14天的汽油.現(xiàn)有5輛巡邏車， 同時(shí)從始地A出發(fā)， 完成任務(wù)后再沿原路返回始地，為了讓其中三輛車盡可能向更遠(yuǎn)的地方巡邏（ 然后再一起返回） ， 甲、 乙兩

14、輛車行至B處后， 僅留足自己返回始地必需的汽油， 將多余的汽油供給另外三輛車使用，問這三輛車能行駛的最遠(yuǎn)距離是多少？ 分析 在上面這個(gè)問題中，關(guān)鍵是考慮B點(diǎn)在何處比較合適，若B點(diǎn)離A點(diǎn)太近,其余三輛車無法裝載甲、乙兩車所供的汽油；若B點(diǎn)離A點(diǎn)太遠(yuǎn)，則不能保證其余三輛車返回的汽油.設(shè)甲、乙兩車行駛 x天到達(dá)B處， 留足自己返回的汽油后，向其余 三輛巡邏車供油.從巡邏車的載油容量考慮， 則應(yīng)有解得為保證其他三輛車盡可能行進(jìn)最遠(yuǎn)，甲、乙兩車應(yīng)使B點(diǎn)盡可能最遠(yuǎn)， 即x盡可能大，且 供油盡可能多，但必須又留足他們返回始地的燃油，所以有解得于是，x=4. 從而，這三輛車從始地A出發(fā)，行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離為 另解

15、：設(shè)甲、乙兩車從駐地A行至B處需耗x天的汽油，則其他三輛車在AB路段也消耗了x天汽油，在B處甲、乙兩車可向其他三輛車提供2（14-2x）天的汽油； 要使這三輛車行程最遠(yuǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)甲、乙兩車提供的汽油量等于另三輛車在AB路段消耗的汽油總量， 即2（14-2x）=3x， 解得x=4 則這三輛車從駐地出發(fā)，行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離為（14+4）/ 2 200=1800（千米） 答：其他三輛可行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離是1800千米四、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的典型案例4數(shù)列問題建模 例4 某足球邀請(qǐng)賽有20個(gè)城市參加，每市派出甲、乙兩隊(duì)，根據(jù)比賽規(guī)則， 每?jī)申?duì)之間至多賽一場(chǎng)并且同一個(gè)城市的兩隊(duì)之間不進(jìn)行比賽， 比賽若干天后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊(duì)外，其余各隊(duì)已比賽的場(chǎng)次各不相同， 問A市乙隊(duì)已比賽過幾場(chǎng)？ 分析 設(shè)有n個(gè)城市參加比賽，由于每隊(duì)至多賽2(n-1)場(chǎng)，根據(jù)題設(shè)，除A市甲隊(duì)外的2n-1個(gè)隊(duì)，他們賽過的場(chǎng)數(shù)分別是0,1,2,2(n-1).注意到A市乙隊(duì)不可能賽2(n-1)場(chǎng)（否則沒有A市以外的隊(duì)賽過0場(chǎng)）.不妨設(shè)B市甲隊(duì)賽過2(n-1)場(chǎng)，這樣B市乙隊(duì)賽過的場(chǎng)數(shù)為0，記a1=0;其余各隊(duì)都至少賽過1場(chǎng).現(xiàn)將B市兩隊(duì)去掉考慮余下的(n-1)個(gè)城市，易得a2=1,