宏觀尺度計算模擬

1、宏觀尺度計算模擬 在求解工程技術(shù)領(lǐng)域的實際問題時，建立基本方程和邊界條件還是比較容易的，但是由于其幾何形狀、材 料特性和外部荷載的不規(guī)則性，求得解析解卻是很困難的.因此，尋求近似解法就成了必由之路.經(jīng)過多 年的探索，近似算法有許多種，但常用的數(shù)值分析方法就是差分法和有限元法.一、有限差分方程在初等數(shù)學(xué)中.我們介紹了代數(shù)方程和超越方程。這些方程無論在理論上還是在實際應(yīng)用上都非常重要。 在高等數(shù)學(xué)里.我們還介紹了常微分方程。它更是人們解決實際問題的一個有力工具.因為許多自然科學(xué) 定律都可以用微分方程加以描述。但在科學(xué)技術(shù)中.也有一些問題卻可歸結(jié)為與代數(shù)方程、常微分方程不 同的另一種形式的方程。下面

2、便是一個最簡單的例子。例.某工廠為發(fā)展生產(chǎn)向銀行貸款M萬元，并按合同規(guī)定，廠方應(yīng)在N個月內(nèi)按月等額歸還本息。假定月 利率為P，問廠方每月的還款額是多少？設(shè)廠方每月向銀行歸還x元，經(jīng)過n個月后廠方欠銀行的金額為yn元。那么：y0=M,y1=(1+P)M-x,y2=(1+P)y1-x,一般地：yn+1=(1+P)yn-x。(n=0,1，N1)顯然.如果求得yn用P和x表示的表達式，那么就可求得x。顯然數(shù)列實際上是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù).因此遞推關(guān)系式是一種特殊的函數(shù)方程。在數(shù)學(xué)中我們常 將這種方程稱為有限差分方程或簡稱為差分方程，有時也稱為遞推方程。這樣例所得的方程便是差分方程。差分方程是與常數(shù)

3、微分方程相平行的一個數(shù)學(xué)分支，它的建立與完善可以追溯到很早年代。歷史上許多著 名數(shù)學(xué)家，如Euler、Poincare等都對這個理論作出過許多貢獻。現(xiàn)在它不但在數(shù)值分析、計數(shù)理論和特殊 函數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用，而且由于計算機的迅速發(fā)展，已成為現(xiàn)代控制論、通訊理論等方面的重要數(shù)學(xué) 工具。因為在現(xiàn)代控制論中，隨著控制系統(tǒng)復(fù)雜性的增加、最優(yōu)狀態(tài)的嚴格要求以及經(jīng)濟上的原因，以數(shù) 字計算機為核心構(gòu)成的數(shù)字控制器已被廣泛應(yīng)用。數(shù)字控制器由采樣器、模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(ADC)、數(shù)字計算 機、數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器和保持電路組成。它的特點是接受短脈沖形式的數(shù)據(jù)，并產(chǎn)生與控制信號相類似的輸 出信號。這種系統(tǒng)常稱為采樣數(shù)據(jù)控

4、制系統(tǒng)。它的數(shù)學(xué)模型就是差分方程。由于這種系統(tǒng)使用了數(shù)字計算 機技術(shù)，因此在現(xiàn)代復(fù)雜控制系統(tǒng)、高精度控制系統(tǒng)、遠距離數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)以及雷達跟蹤系統(tǒng)等技術(shù)領(lǐng)域 都被廣泛地應(yīng)用著。因此。差分方程也就成為從事這方面工作的科技人員必須熟悉的數(shù)學(xué)工具。此外，由于這個理論也常和有限項級數(shù)，特別是高階等差級數(shù)的求和有關(guān)，因此，它的一些最簡單的內(nèi)容也常為許多中學(xué)生所熟知。事實上，中學(xué)數(shù)學(xué)中公比為q的等比數(shù)列an,就滿足差分方程：an =qan-1 （n1）而等差數(shù)列bn滿足差分方程：bn-2-bn-1=bn-1-bn或bn-2=2bn-1-bn （n0）差分法計算模型可給出其基本方程的逐點近似值（差分網(wǎng)格上的點

5、）.但對于不規(guī)則的幾何形狀和不規(guī)則的 特殊邊界條件差分法就難于應(yīng)用了。二、有限元法有限元法是求解數(shù)理方程的一種數(shù)值計算方法.是解決工程實際問題的一種有力的數(shù)值計算工具.最初這 種方法被用來研究復(fù)雜的飛機結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力，它是將彈性理論、計算數(shù)學(xué)和計算機軟件有機地結(jié)合在一起 的一種數(shù)值分析技術(shù)；后來由于這一方法的靈活、快速和有效性，使其迅速發(fā)展成為求解各領(lǐng)域的數(shù)理方 程的一種通用的近似計算方法.目前，它在許多學(xué)科領(lǐng)域和實際工程問題中都得到廣泛的應(yīng)用，因此，在 工科院校和工業(yè)界受到普遍的重視.數(shù)值分析的任務(wù)，就是從無限維空間轉(zhuǎn)化到有限維空間，把連續(xù)體轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散型的結(jié)構(gòu)。有限元方法是利 用場函數(shù)分片多項

6、式逼近模式來實現(xiàn)離散化過程的，也就是說，有限元方法依賴于這樣的有限維子空間， 它的基函數(shù)系是具有微小支集的函數(shù)系，這樣的函數(shù)系與大范圍分析相結(jié)合，反映了場內(nèi)任何兩個局部地 點場變量的相互依賴關(guān)系。任何一個局部地點，它的影響函數(shù)和影響區(qū)域，正是基函數(shù)本身和它的支集。 在線性力學(xué)范疇里，場內(nèi)處于不同位置的力相互作用產(chǎn)生的能量，可用雙線性泛函B（，）來表示，其中 ，正是相應(yīng)地點的基函數(shù)。B（，）的大小與，支集的交集大小有關(guān)，如果兩個支集的測度為零， 則B（仙j）=0,因此，離散化所得到的方程其系數(shù)矩陣是稀疏的。若區(qū)域分割細小化，則支集不相交的基 函數(shù)對愈多，矩陣也就愈稀疏。這給數(shù)值解法帶來了極大的方

7、便。有限元法把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點處互相連接的子域（單元）所構(gòu)成，其模型給出基本方程的分片 （子域）近似解.由于單元（子域）可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何 形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件，再加上它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，使其已成為一種非常受 歡迎的、應(yīng)用極廣的數(shù)值計算方法。材料微結(jié)構(gòu)計算模擬 快速博立葉變換（FFT） 快速傅立葉變換(FFT)是在計算機上快速運算離散傅立葉變換(DFT)的一種方法。由前一節(jié)我們知道，應(yīng)用 離散傅立葉變換(DFT)來求任意一個頻率分量，需要進行N2次復(fù)數(shù)的乘加運算，而快速傅立葉變換(FFT) 只需進行Nlog2N

8、次運算，F(xiàn)FT與DFT相比較，運算量將大大減少。快速傅立葉變換(FFT)的主要想法，是將長序列的復(fù)數(shù)乘加運算，變成短序列的復(fù)數(shù)乘加運算。也就是將時 間序列或頻譜序列分成若干個小組進行DFT運算。小組的分法很多，最早出現(xiàn)的比較快的分組方法是庫利 一圖基(CooleyTukey)方法。所以，關(guān)于FFT的算法也很多，而且還在發(fā)展。這些算法一般都具有計算量 為 Nlog 2N 這個特點，故統(tǒng)稱為 FFT(Fast Fourier Transform)。FFT的算法按照序列排列形式的不問可以分為兩類，其一稱即位法，其中包括輸入自然序列，輸出混序； 輸入混序，輸出自然序列兩種。另外一種稱為自然輸入、輸出方

9、法。這兩種方法各有優(yōu)缺點。此外，完成 FFT計算，可以有不同的方式。不論你采取哪種方式。其結(jié)果都是相同的，只是運算的速度不同罷了。廣延X射線吸收精細結(jié)構(gòu)(EXAFS)EXAFS是研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)、近鄰原子作用的一個重要手段，是用來進行定量的結(jié)構(gòu)分析的一個有效方法，它 可以提供其他方法難以得到的某些結(jié)構(gòu)信息，例如近鄰原子的配位數(shù)、原于間距、熱擾動等。尤其重要的 是，用EXAFS研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)時，并不要求研究對象必須具有長程有序的結(jié)構(gòu)。因此，可廣泛地用于研究晶 態(tài)和非態(tài)的各種固體、液體甚至氣體材料，如生物分子，催化劑，金屬玻璃等。由于EXAFS所具有的特點， 在固體物理、表面物理、生物化學(xué)、材料科學(xué)等許

10、多領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景，正日益受到人們的重視。EXAFS的數(shù)據(jù)分析是EXAFS研究及實際應(yīng)用中的一個不可缺少的組成都分，只有通過對EXAFS實驗數(shù)據(jù) 的處理分析才能得出研究對象的結(jié)構(gòu)參數(shù)。因而，EXAFS數(shù)據(jù)處理的方法也就成了 EXAFS研究中的一個重 要內(nèi)容，它涉及計算物理的各個方面。從EXAFS的發(fā)展過程也能看出數(shù)據(jù)處理對EXAFS研究的重要性。七 十年代，EXAFS理論有了進一步的完善，雖然獲得了 EXAFS的定量表示式，但是從實驗數(shù)據(jù)得出比較準確 的結(jié)構(gòu)參數(shù)卻是依賴于后來在數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的傅里葉變換和曲線擬合技術(shù)的成功。目前EXAFS的數(shù)據(jù)處 理已經(jīng)相當成熟，但是方法中仍有一些問題，

11、如背景扣除，權(quán)重因子和能量域值的選取等，還值得進一步 研究和探討。EXAFS數(shù)據(jù)處理方法基本上可分兩種，一種是快速傅里葉變換方法或標樣對比法，另一種是曲線擬合法 (Curve Fitting Technolegy 簡稱 CFT 或 CF)。Rietveld精化法大約25年前，Rietveld(1967，1969)已經(jīng)認識到可以用一個數(shù)學(xué)表達式來表示中子粉末衍射花樣中每一步 的測量強度Ic計算強度的這種表達式Ic包括兩部分，一部分來自背景(Ib)，另一部分來自每一個布拉格反射，這些反射 在衍射花樣采樣點附近。這些分量中的每一個都用一個數(shù)學(xué)模型來描述，這個模型具體體現(xiàn)了粉末衍射實 驗的晶態(tài)和非晶態(tài)

12、特征。這個模型的可調(diào)參數(shù)可以通過測量和計算強度的加權(quán)差的最小二乘法處理來精化。 分析粉末衍射花樣的這種方法相當?shù)爻晒?，它?dǎo)致了粉末衍射技術(shù)的復(fù)興，這種方法現(xiàn)在稱為“Rietveld精 化法”。以后，它又被推廣到處理中子TOF數(shù)據(jù)(VonDreele等，1982)和x射線粉末衍射數(shù)據(jù)(Young等， 1977； Wiles 和 Young，1981)。MonteCarlo 方法所謂蒙特卡羅方法，就是根據(jù)待求隨機問題的變化規(guī)律，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律。或者人為地構(gòu)造 出一個合適的概率模型，依照該模型進行大量的統(tǒng)計實驗，使它的某些統(tǒng)計參量正好是待求問題的解。它 又稱隨機抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。二十世紀四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明， 蒙特卡羅方法作為一種獨立的方法被提出來，并且在核武器的研制中首先得到了應(yīng)用。目前這一方法已廣 泛運用到物理學(xué)的許多領(lǐng)域。甚至像系統(tǒng)工程、科學(xué)管理、生物遺傳、社會科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域也采用了這種 研究方法。這些都充分表現(xiàn)出這種方法完全區(qū)別于其他的方法，具有獨特功能和優(yōu)越性。然而蒙特卡羅方 法的基本思想并