高等動(dòng)力學(xué)課件：lecture16-3D

1、 Lecture 163D剛體動(dòng)力學(xué)內(nèi)容回顧Lagrange情形三個(gè)首次積分章動(dòng)角控制方程內(nèi)容回顧三個(gè)根互不相等的情況（圖b）21內(nèi)容回顧存在三重根的條件存在兩種情況：u1=u2=u3=1,如圖(b)所示，這時(shí)只對(duì)應(yīng)一種狀態(tài)，即剛體只能繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。Case1 : u2=u3時(shí),當(dāng)u2=u3,必有u2=u3=1f(u)代數(shù)表達(dá)式中也可能存在兩個(gè)重根的情況。Case 2: u1=u20dotdot地球的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)現(xiàn)象LLL=023.5春分點(diǎn)秋分點(diǎn)夏至冬至地球由于形狀的非完全球形，與太陽(yáng)和月亮的萬有引力將會(huì)引起附件力矩，進(jìn)而產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象。Legendre多項(xiàng)式Legendre函數(shù)是指如下微分方程的

2、解勒讓德方程的解在|x| 1 時(shí)可寫成標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)收斂的冪級(jí)數(shù)形式，當(dāng)n = 0, 1, 2,. 時(shí)，隨n 值變化方程的解相應(yīng)變化，構(gòu)成一組由正交多項(xiàng)式組成的多項(xiàng)式序列，這組多項(xiàng)式稱為勒讓德多項(xiàng)式Legendre 多項(xiàng)式具有如下級(jí)數(shù)的形式并且有多項(xiàng)式展開偏心力矩的表示：假設(shè)：地球的形狀是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形狀。太陽(yáng)或月球認(rèn)為是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M問題：如何求出偏心力矩？如何分析地球在該偏心力矩作用下的運(yùn)動(dòng)？橢球體與一固定質(zhì)點(diǎn)的萬有引力勢(shì)函數(shù)M,Crrimirii如圖所示的質(zhì)點(diǎn)mi與M質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力勢(shì)可表示為偏心力矩的表示：對(duì)上式采用Legendre多項(xiàng)式展開后，表示為取Legendre 多項(xiàng)式的前三項(xiàng)近似對(duì)

3、第0項(xiàng)，即對(duì)第1次多項(xiàng)式M,Crrimirii對(duì)第二次多項(xiàng)式其中trJ是橢球體的慣量張量的跡，Jr是繞r軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量勢(shì)能函數(shù)表示因此，二階近似的勢(shì)能函數(shù)是假設(shè)地球繞質(zhì)心的慣量橢球的主慣量為J1, J2, J3. 且J1=J2, , , 分別為r相對(duì)地球慣量橢球的方向余弦。勢(shì)能函數(shù)表示xyzOrarccosOxy為地球運(yùn)動(dòng)的軌道平面，r為地球質(zhì)心到太陽(yáng)質(zhì)心的連線的方向。O是地球的自轉(zhuǎn)軸。O為地球的質(zhì)心。三個(gè)方向余弦存在如下的關(guān)系則由二階項(xiàng)引起的勢(shì)能為假設(shè)地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道近似為圓軌道（r不變），為得到地球的平均進(jìn)動(dòng)角速度，二次項(xiàng)引起的勢(shì)能在地球繞太陽(yáng)一周的平均勢(shì)能為地球的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)現(xiàn)象地球的運(yùn)

4、動(dòng)等效為受到偏心萬有引力作用下的剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況。在平均意義上，地球做規(guī)則進(jìn)動(dòng)。則有地球的能量為考慮地球自轉(zhuǎn)的角速度dot遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于進(jìn)動(dòng)角速度，并且進(jìn)動(dòng)角速度通過平均化近似為常數(shù)，將能量對(duì)時(shí)間微分進(jìn)一步簡(jiǎn)化為地球的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)現(xiàn)象以上方程與Lagrange情形下出現(xiàn)重根的情況相同。令將考慮橢球性質(zhì)的萬有引力勢(shì)的二階近似函數(shù)代入根據(jù)Keppler第三定律，并設(shè)r為地球橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，橢圓軌道的圓頻率為則進(jìn)動(dòng)角速度與橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的角速度的比為地球自轉(zhuǎn)軸的角度為在太陽(yáng)萬有引力作用下，進(jìn)動(dòng)完成一周所需要的時(shí)間大約為81,000年。同樣的分析，由于月球?qū)Φ厍虻娜f有引力作用也會(huì)引起進(jìn)動(dòng)，兩者共同作用將導(dǎo)致

5、進(jìn)動(dòng)完成一周所需要的時(shí)間大約為26,000年。當(dāng)然，在進(jìn)動(dòng)的同時(shí)，會(huì)有天章動(dòng)現(xiàn)象。剛體一般運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程兩個(gè)坐標(biāo)系: OxyzO,i,j,k慣性參考系，C,e1,e2,e3過質(zhì)心的固連系 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理 與歐拉角的關(guān)系利用以上關(guān)系，可以得到利用Euler角和質(zhì)心位置表示的剛體一般運(yùn)動(dòng)的6個(gè)二階微分方程。在給定12個(gè)初始條件后，可以利用積分得到微分方程的解。均勻球體在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)：只受重力的作用。質(zhì)心為一拋物線軌跡。姿態(tài)動(dòng)力學(xué)分析：相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒（Euler情形）。對(duì)球體來說，J1=J2=J3角速度矢量在空間中將是一固定矢量。與給定的初始條件相關(guān)。由于球體的對(duì)

6、稱性，在任一方向的角速度均保持為常量。炮彈的穩(wěn)定性軸對(duì)稱炮彈在運(yùn)動(dòng)過程中，其對(duì)稱軸將與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生一個(gè)偏轉(zhuǎn)角。假設(shè)空氣阻力的合力R作用在對(duì)稱軸的A點(diǎn)上，并且方向與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向相同。問炮彈的自轉(zhuǎn)角速度3應(yīng)為多大，才能保證炮彈的彈頭總是指向前方。炮彈的穩(wěn)定性炮彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)：受空氣阻尼力，并在重力場(chǎng)作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（見例4.12）,假設(shè)R是與速度平方的阻尼力，則軌跡方程為炮彈的穩(wěn)定性對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理:（Lagrange情形）軸對(duì)稱剛體，可利用萊沙爾坐標(biāo)系建立動(dòng)力學(xué)方程炮彈的發(fā)射過程類似一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的釋放過程。初始章動(dòng)角為零。要使章動(dòng)角在外部阻力作用下，攝動(dòng)為小量。應(yīng)滿足如下的條件。在慢進(jìn)

7、動(dòng)的情況下，可忽略p的高階項(xiàng)要產(chǎn)生以上慢進(jìn)動(dòng)的條件為即要求自轉(zhuǎn)的角速度必須足夠高圓盤在粗糙面上的純滾動(dòng)Comments:只考慮圓盤純滾動(dòng)的情況，顯然，由于接觸點(diǎn)處的摩擦作用可能會(huì)改變圓盤接觸的性質(zhì)。其運(yùn)動(dòng)情況將會(huì)復(fù)雜的多。Euler將這一問題歸結(jié)為力學(xué)中的12個(gè)難題之一。圓盤在粗糙面上的純滾動(dòng)圓盤的基本參數(shù)：半徑 a; 質(zhì)量m, 對(duì)質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：J1=J2, J3運(yùn)動(dòng)約束情況：接觸點(diǎn)A處無相對(duì)滑動(dòng)。坐標(biāo)系統(tǒng):慣性坐標(biāo)系統(tǒng)： I, j, k質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)：C, x, y, z圓盤固連坐標(biāo)系統(tǒng)：C , , 萊沙爾坐標(biāo)系統(tǒng): C n, s, 受力情況：重力mg, 接觸點(diǎn)的約束力法向支撐力

8、Fz切向摩擦力Fn, Fm假設(shè)條件：接觸點(diǎn)無相對(duì)滑動(dòng)。不考慮滾動(dòng)摩阻圓盤在粗糙面上的純滾動(dòng)各個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為將運(yùn)動(dòng)約束方程映射到O. n, m, k中矢量CA在盤面上，且指向接觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)約束方程則定義圓盤在粗糙面上的純滾動(dòng)接觸點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)約束方程在O,n,m,k中的表示為以上是定義在速度水平上的約束方程，且不可積，稱為非完整約束方程。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 ：并寫為坐標(biāo)系O, n, m, k中的分量形式圓盤在粗糙面上的純滾動(dòng)在萊沙爾坐標(biāo)系中應(yīng)用質(zhì)心動(dòng)量矩定理萊沙爾參考系的角速度外力矢量在萊沙爾坐標(biāo)系下的分量形式質(zhì)心動(dòng)量矩方程在萊沙爾坐標(biāo)系中的分量形式為圓盤在粗糙面上的純滾動(dòng)消去約束反力則則質(zhì)心動(dòng)量矩方程的第三式變?yōu)閳A盤在粗糙面上的純滾動(dòng)根據(jù)約束方程則則質(zhì)心動(dòng)量矩方程的第一式變?yōu)閳A盤穩(wěn)態(tài)規(guī)則進(jìn)動(dòng)定傾角的運(yùn)動(dòng)：=0圓盤的動(dòng)力學(xué)方程為由于則圓盤穩(wěn)態(tài)規(guī)則進(jìn)動(dòng)三個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系為能夠成立的條件是根據(jù)運(yùn)動(dòng)約束方程，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為以上表明：質(zhì)心的軌跡做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡的半徑為當(dāng)0=/2時(shí)，則根據(jù)三常數(shù)條件3=0, 圓盤直立自轉(zhuǎn)不滾p=0,圓盤在一個(gè)豎直平面內(nèi)做純滾動(dòng)。攝動(dòng)分析圓盤沿直線純滾動(dòng)的標(biāo)稱運(yùn)動(dòng)條件受到攝動(dòng)后假設(shè)純滾動(dòng)條件仍然保持，略去高于2階的小量。圓盤