高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題14《分類討論證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）》講義及答案

1、專題14 分類討論證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）1設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論在內(nèi)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) 2已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：3已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.4已知函數(shù)（1）試討論的單調(diào)性；（2）若，證明：5已知函數(shù)，a為非零常數(shù).（1）求單調(diào)遞減區(qū)間；（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).6已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）證明：.7已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求出的值

2、；若不存在，請(qǐng)說明理由；8已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求證:.9已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.10已知函數(shù).（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)任意，滿足的圖象與直線恒有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.11設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.12已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.13已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作、，且，若，證明：.14已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是

3、函數(shù)的極值點(diǎn)，曲線在點(diǎn)()處的切線分別為，且在y軸上的截距分別為.若，求的取值范圍.15已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求證：.16設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)，（1）寫出的定義域；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；17已知，函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值18已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù) 19已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明；20（1）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1若f（x）2x+c，求c的取

4、值范圍；（2）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.21已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的.22設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果對(duì)于任意的，都有成立，試求的取值范圍.23已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證.24已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍.25設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，總有成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.26已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.27已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.28已知函數(shù)，.設(shè)（1

5、）試討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；29已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.30已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.專題14 分類討論證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）1設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論在內(nèi)的單調(diào)性； （2）當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】（1）在或上單調(diào)遞減，在或上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）先判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為在有且只有一個(gè)

6、零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可求出【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，解得或，在，或，上單調(diào)遞減，在或上單調(diào)遞增；（2）的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，即，可知存在唯一，使得，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，當(dāng)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上

7、單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”是否可以取到2、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.2已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，分為，和四種情形進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）等價(jià)于，令，利用當(dāng)時(shí)的結(jié)論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷與0的關(guān)系，即可證明.【詳解】解：的定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

8、，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)，當(dāng)或，時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，單調(diào)遞增區(qū)間為綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，單調(diào)遞增區(qū)間為（2） 證明：要證，即證，令，則，由（1），當(dāng)時(shí)，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（1），在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即【點(diǎn)睛】含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論常見的形式：（1）對(duì)二

9、次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論；（2）導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)進(jìn)行討論；（3）導(dǎo)函數(shù)中零點(diǎn)的大小進(jìn)行討論；（4）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域端點(diǎn)值的關(guān)系進(jìn)行討論等.3已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）答案見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）求得，分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以，列表；單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上的有極小值，無極大值；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而；若，則，

10、從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通常以下幾個(gè)方面：（1）求導(dǎo)后看函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)是否為，需分類討論；（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為，且最高次項(xiàng)為一次，一般為一次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)方程的根；（3）對(duì)導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可得出函數(shù)的單調(diào)性.4已知函數(shù)（1）試討論的單調(diào)性；（2）若，證明：【答案】（1）答案不唯一見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì)分三種情況討論，即，三種情況；（2）要證明，只需證明

11、，而，因此只需證明，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；【詳解】解析：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）要證明，只需證明，而，因此只需證明，當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，故【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要注意先求導(dǎo)后，再解導(dǎo)數(shù)不等式.5已知函數(shù)，a為非零常數(shù).（1）求單調(diào)遞減區(qū)間；（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，原方程有且僅有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)解.【分析】（1）求導(dǎo)，

12、對(duì)分類討論，利用可解得結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1），由得，若時(shí)，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；若時(shí)，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)榉匠痰葍r(jià)于，令，所以方程的根的個(gè)數(shù)等于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?，得，?dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以，當(dāng)時(shí)，原方程有且僅有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)解.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：討論函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的個(gè)數(shù)；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解

13、析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解6已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）存在，；（3）證明見解析.【分析】（1）先求，再對(duì)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性；（2）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定最值等于2，解得符合條件的參數(shù)值即得結(jié)果；（3）先構(gòu)造函數(shù)，證明其小于零，即得時(shí)，再將代入求和即證結(jié)論.【詳解】解：（1）由，知，故，.當(dāng)時(shí)，即在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在

14、上，所以在為減函數(shù)，在上，所以在增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以.故不存在最小值3.當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以，所以，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，由此，所以.解得故時(shí)，使函數(shù)的最小值為2.（3）構(gòu)造函數(shù)，則，故在上遞減，故，即時(shí)，而，故，即，將依次代入并相加得，即.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于觀察證明式，構(gòu)造函數(shù)，以證明，將代入求和即突破難點(diǎn).用導(dǎo)數(shù)解決與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明問題，屬于難點(diǎn)，突破點(diǎn)就在于觀察構(gòu)造合適的函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)證明不等式，再將關(guān)于n 的式子代入即可.7已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求

15、出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】（1）答案見解析；（2）存在，.【分析】（1）先求，再對(duì)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性；（2）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定最值等于2，解得符合條件的參數(shù)值即得結(jié)果；【詳解】（1）由，知，故 .當(dāng)時(shí)，即在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上，所以在為減函數(shù)，在上，所以在增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以.故不存在最小值3.當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以，所以，不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，由此，所以.解得，故時(shí)，使函數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值的步驟：寫定義域，對(duì)函

16、數(shù)求導(dǎo)；在定義域內(nèi)，討論不等式何時(shí)和對(duì)應(yīng)得到增區(qū)間和減區(qū)間及極值點(diǎn)，進(jìn)而比較端點(diǎn)和極值點(diǎn)的值確定指定區(qū)間的最值即可.8已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求證:.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成和兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）求得的表達(dá)式，求得，利用根與系數(shù)關(guān)系得到的關(guān)系式以及的取值范圍，將表示為只含的形式，利用構(gòu)造函數(shù)法求得的最小值，從而證得不等式成立.【詳解】(1)由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得.若，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；若，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.綜

17、上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)，.由得，.，解得.設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】求解含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性題，求導(dǎo)后要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式進(jìn)行分類討論.9已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間，（2）證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，分和，分別由導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）要證明，只要證，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可，或要證明，只要證，構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)求其最小值，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，

18、或要證明由于當(dāng)時(shí)，只要證，構(gòu)造函數(shù)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則的增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間（2）證明：法一：要證明由于當(dāng)時(shí)，只要證設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)又，所以存在，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以有極小值，且極小值為因此，即綜上，當(dāng)時(shí)，法二：要證明，只要證設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，且，所以當(dāng)時(shí)，即綜上，當(dāng)時(shí)，法三：要證明由于當(dāng)時(shí)，只要證設(shè)

19、，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即綜上，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，故當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題10已知函數(shù).（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)任意，滿足的圖象與直線恒有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）或.【分析】（1）首先

20、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩千情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由方程，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并分情況討論最小值的正負(fù)，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，確定函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)有唯一解，確定的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，恒有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，則 ，（舍去），當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）原命題等價(jià)于對(duì)任意， 有且僅有一解，即； 令 則，令得 所以在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，所以在R上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以.所以在R上必存在唯一零點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同時(shí)又當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以.所以方程存在

21、兩根，即且，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為要使有方程唯一解，必有或，又，又 ，則，所以在遞減，且時(shí)，所以；同理，在遞增，所以.綜上可得，或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是一道利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，零點(diǎn)的綜合應(yīng)用題型，屬于難題，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程的實(shí)數(shù)根時(shí)，需根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，極值，端點(diǎn)值等性質(zhì)，以及零點(diǎn)存在性定理等研究函數(shù)的零點(diǎn).11設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分

22、析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)分和兩種情況討論即可.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得最大值，所以，利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得.因?yàn)楹瘮?shù)在處取得最大值，所以，即，當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，得，即.令，則，恒成立，所以 是增函數(shù)，所以，即，所以a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論是解決這類題的一般方法；已知函數(shù)的

23、最大值求參數(shù)的取值范圍，往往轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，如果能分離參數(shù)的話，分離參數(shù)是解決這類題的常用方法，然后再求函數(shù)的最值即可.12已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2原不等式化為：在上恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可【詳解】（1），令，則或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）原不等式化為：在上恒成立，設(shè)

24、，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性（含參），考查利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，解決第（2）問的關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得解，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于?？碱}.13已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作、，且，若，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用分析法得出所證不等式

25、等價(jià)于，令，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)證明出對(duì)任意的恒成立，由此可證得原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，方程的判別式.當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，在為增函數(shù)；（ii）當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得.所以，在為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上所述：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間；（2）證明：，所以，因?yàn)橛袃蓸O值點(diǎn)、，所以，欲證等價(jià)于要證：，即，所以，因?yàn)?，所以原不等式等價(jià)于要證明.又，作差得，所以原不等式等價(jià)于要證明，令，上式等價(jià)于要證，令，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，因此，在上恒成立，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由

26、單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.14已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，曲線在點(diǎn)()處的切線分別為，且在y軸上的截距分別為.若，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按照、分類，求得、的解集即可得解；（2）由極值點(diǎn)的性質(zhì)可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得、及，轉(zhuǎn)化條件為，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，

27、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）是的極值點(diǎn)，即，解得或（舍），此時(shí)，方程為，令，得，同理可得，整理得：，又，則，解得，令，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，再構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.15已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求證：.【答案】（1）答案不唯一，見解析（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后分解因式，分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意求出，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求解.【詳解

28、】（1）若時(shí)，在上單調(diào)遞增；若時(shí)，當(dāng)或時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，若時(shí)，當(dāng)或時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，解得 ，所以，由時(shí)，可知在上恒成立可化為在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則 ，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程有且只有一個(gè)實(shí)根，且 所以在上， 單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，從而【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于得到后，不能求出的零點(diǎn)，需要根據(jù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理得到的大致范圍，再利用的范圍及證明不等式.16設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)，（1）寫出的定義域；（2）求的單調(diào)遞增

29、區(qū)間；【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由已知得出，解出可得的定義域；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按，和四種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可【詳解】（1），的定義域?yàn)椋?）時(shí)，恒成立，在遞增；時(shí)，令，解得或，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)即時(shí)，在遞增當(dāng)即時(shí)，在遞增當(dāng)即時(shí)，在無遞增區(qū)間綜上可得：時(shí)，在遞增；時(shí)，在遞增；時(shí)，在遞增【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域，考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是令求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，討論定義域的區(qū)間端點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，考查了學(xué)生分類討論思想和計(jì)算能力，屬于中檔題17已知，函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大

30、值【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由題得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得解；（2）證明，列出表格得出單調(diào)區(qū)間，比較區(qū)間端點(diǎn)與極值即可得到最大值【詳解】（1）由題得，令或，因?yàn)?，所以，所以不等式組的解為或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；令或，解之得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）令，所以在，上是減函數(shù)，（1），即所以，隨的變化情況如下表：，0極小值，對(duì)任意的，的圖象恒在下方，所以，所以，即，所以函數(shù)在，上的最大值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，其一：是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)比較的大?。黄涠菏潜容^的大小，確定函數(shù)的最大值.18已知

31、函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù) 【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知極值點(diǎn)可求出，從而可求出函數(shù)解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率從而可求出切線的方程.(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)從而可確定函數(shù)的單調(diào)性.(3)求出，由的單調(diào)性可判斷存在唯一使得，進(jìn)而可求出的單調(diào)性，從而可證明函數(shù)的零點(diǎn)問題.【詳解】（1）求導(dǎo)：，由已知有，即，所以，則，所以切點(diǎn)為，切線斜率，故切線方程為：.（2）的定義域?yàn)榍?，若，則當(dāng)時(shí)，故在上單

32、調(diào)遞增；若，則當(dāng)，當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），所以，因?yàn)樵谏线f增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以在內(nèi)存在唯一根， 由得，又，故是在上的唯一零點(diǎn)綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).19已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明；【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證

33、明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)方程的判別式得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意得到方程有兩個(gè)根，故可得，且然后可得，最后利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而不等式成立【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，所以在單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，令，得，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減（2）由（1）得，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，且，解得 所以，.故令，. ，在上單調(diào)遞減，即.【點(diǎn)睛】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，若解析式中含有參數(shù)時(shí)，解題中一定要弄清參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)是否有

34、影響，若有影響則必須進(jìn)行分類討論，故解題的關(guān)鍵是分和兩類情況討論求解（2）解答第二問的關(guān)鍵在于求出的表達(dá)式后將問題轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造新函數(shù)并利用單調(diào)性可得結(jié)論成立20（1）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1若f（x）2x+c，求c的取值范圍；（2）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）不等式變形為，求出的最大值后可得的范圍；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，確定的正負(fù)，得的單調(diào)性【詳解】（1）定義域是，由得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，（2），定義域是，當(dāng)時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上遞增，在上遞減綜上，時(shí)，的增區(qū)間是，時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考

35、查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題（1）已知的導(dǎo)函數(shù)是，解不等式可得增區(qū)間，可得減區(qū)間（2）恒成立，則，若恒成立，則21已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)，得增減區(qū)間；（2）不等式變形為，令，由的單調(diào)確定其有唯一零點(diǎn)，得出為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，證明最小值即得【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)橛梢阎卯?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得，由，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減

36、區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，不等式可變?yōu)?令，則，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，.而，所以方程在上存在唯一實(shí)根，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；所以即在上恒成立，所以對(duì)任意成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題把不等式化簡(jiǎn)后，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得出新函數(shù)的最值，證明最值符合不等關(guān)系即可證原不等式這里對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能求得具體數(shù)，可以得出其存在性，得出其性質(zhì)（范圍），然后利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)化簡(jiǎn)原函數(shù)的最值，以證結(jié)論22設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果對(duì)于任意的，都有成立，試求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)分和兩種情況，分別分

37、析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，運(yùn)用不等式恒成立思想，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最大值，可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng) 時(shí)，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 則 ，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)在 單調(diào)遞減，在上遞增；（2）由已知得，所以當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上的最大值為1，依題意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，令，則，有，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得

38、最大值，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性，解決不等式恒成立的問題，屬于較難題. 不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，則的值域是值域的子集 23已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)方程，可得，根據(jù)和，結(jié)合和分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，根據(jù)函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，

39、即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，設(shè)方程，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在上單增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根為和，且，則，且，當(dāng)時(shí)，可得，所以在上單減，在上單增；當(dāng)時(shí)，可得，所以在上單增，在上單減，在上單增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單增；當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增；當(dāng)時(shí)，在和上單增，在上單減.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足，又由，令，可得，所以在上單減，所以，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式

40、同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).24已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可【詳解】解析：（1），若，則，此時(shí)單調(diào)遞增；若，由得，由得，此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由得，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由知在時(shí)取得最小值，此時(shí)，綜上可得a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立

41、問題注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理25設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，總有成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）先求導(dǎo)，再對(duì)分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求出，等價(jià)于，對(duì)恒成立，即得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?）若，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)在(0，1)為減函數(shù)，在上為增函數(shù).若，即a-1.當(dāng)，即時(shí)，()若時(shí)，；()若時(shí)，；()若時(shí)，.即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，()若時(shí)，；()若時(shí)，；()若時(shí)，.即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上

42、單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，故對(duì)恒成立.即的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答第2問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，總有成立，它等價(jià)于，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得解.對(duì)于含有全稱量詞和特稱量詞的命題，首先要準(zhǔn)確解讀命題，再解答.26已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和分別寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，可得函數(shù)的最小值；當(dāng)時(shí)，比較極小值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小，分類討論寫出最小值【詳解】（1）因?yàn)槿簦趩握{(diào)遞增；若，

43、在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）由（1），得時(shí)，的最小值為時(shí)，最小值為時(shí)，最小值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則：1.若，則在上單調(diào)遞增；2.若，則在上單調(diào)遞減27已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況討論，可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知得有實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，得，因?yàn)?，所?令，則.令，得.當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).所以.