應(yīng)力狀態(tài)分析強(qiáng)度理論課件

1、第13章 應(yīng)力狀態(tài)分析 強(qiáng)度理論1 平面應(yīng)力狀態(tài)分析2 極值應(yīng)力與主應(yīng)力3 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力4 廣義胡克定律 本章主要內(nèi)容一、問題的提出：為什么要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論？1、軸向拉壓桿、扭轉(zhuǎn)圓軸、平面彎曲梁的強(qiáng)度條件： 13.1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念 許用應(yīng)力由測得的極限應(yīng)力比上大于1的安全因子得到的。 2、同一截面上不同點(diǎn)的應(yīng)力是不相同的；通過同一點(diǎn)的不同方位的截面上應(yīng)力不同。軸向拉伸時(shí)斜截面上的應(yīng)力FkkFp斜截面方向上的應(yīng)力：(1) = 00 時(shí)， (2) = 450 時(shí)， (3) = -450 時(shí)，(4) = 900 時(shí)，通過同一點(diǎn)所取截面方位不同，應(yīng)力的大小也不同為什么可以

2、建立強(qiáng)度條件呢？ 對于軸向拉壓及平面彎曲中的正應(yīng)力，由于桿件危險(xiǎn)點(diǎn)橫截面上的正應(yīng)力是通過該點(diǎn)所有方位截面上正應(yīng)力的最大值，而且是單向應(yīng)力狀態(tài)，所以可將其與材料在單向拉伸(壓縮）時(shí)的許用應(yīng)力比較建立強(qiáng)度條件。 3、但是以上強(qiáng)度條件并非萬能，對于構(gòu)件內(nèi)既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力的點(diǎn)，不能用以上兩個(gè)強(qiáng)度條件，需綜合考慮正應(yīng)力與切應(yīng)力的影響。（不是所有的應(yīng)力狀態(tài)上述強(qiáng)度條件都能解決）54321 4、對于既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力的點(diǎn)，需要研究通過該點(diǎn)，各不同方位截面上應(yīng)力的變化規(guī)律，從而確定該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力及其所在截面的方位。（即研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)）兩個(gè)特殊應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件： 5、對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

3、，需探求材料破壞的規(guī)律，確定材料破壞的共同因素，則可通過較簡單的應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，來確定該共同因素的極限值，從而建立相應(yīng)強(qiáng)度條件。（即需要研究強(qiáng)度理論）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：應(yīng)力的組合有無限多的可能性，不可能用直接試驗(yàn)的方法來確定每一種應(yīng)力組合情況下材料的極限應(yīng)力。 故如果我們再用實(shí)驗(yàn)測得的極限應(yīng)力比上安全因子得到許用應(yīng)力顯然不合適。 低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如左圖及右圖所示，脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45螺旋面斷開!(a)低碳鋼(b)鑄鐵低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)不同的材料在相同的受力情況下，失效的原因是不一樣的相同材料在不同的受力情況下，失效的原因是不一樣的二、應(yīng)力狀態(tài)的概念一點(diǎn)的應(yīng)力狀

4、態(tài)：通過構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)不同方位截面上的應(yīng)力情況，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。三、應(yīng)力狀態(tài)的表示方法 1、單元體：構(gòu)件內(nèi)點(diǎn)的代表物，是圍繞被研究點(diǎn)的無限小的正六面體。 任意一對平行平面上的應(yīng)力相等，且代表通過所研究的點(diǎn)并與上述平面平行的面上的應(yīng)力2、單元體特征單元體的尺寸無限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布 單元體6個(gè)面上的應(yīng)力就代表通過所研究的點(diǎn)的三個(gè)互相垂直截面上的應(yīng)力畫出下列圖中A、B、C點(diǎn)的已知單元體. 畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體. 54321Fl/2l/2Fl/2l/2S截面254321543211x1x1x2x222333同一截面上，不同點(diǎn)上的應(yīng)力不同3、主平面：單元體中切應(yīng)力為零的平面4、主

5、應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力 三個(gè)主應(yīng)力分別記為 1 ,2 , 3 且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列, 即：1235、主單元體：一般情況下構(gòu)件內(nèi)每一點(diǎn)都可以找到相互垂直的主平面和與之對應(yīng)的主應(yīng)力，這個(gè)單元體稱為主單元體 四、應(yīng)力狀態(tài)的分類1、空間應(yīng)力狀態(tài) 三個(gè)主應(yīng)力1 、2 、3 均不等于零2、平面應(yīng)力狀態(tài) 三個(gè)主應(yīng)力1 、2 、3 中有兩個(gè)不等于零3、單向應(yīng)力狀態(tài) 三個(gè)主應(yīng)力 1 、2 、3 中只有一個(gè)不等于零312231221111平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示 .單元體上有x ,xy 和 y , yx13-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力 xxyzyxyyxxyxyyx 在微單元體的六個(gè)側(cè)面上，僅在

6、四個(gè)側(cè)面作用有應(yīng)力，而且這些應(yīng)力的作用線均平行于微單元體不受力表面，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。一、任意斜截面上的應(yīng)力1、截面法 假想地沿斜截面 ef 將單元體截開,留下左邊部分的單體元 eaf 作為研究對象xyaxxyxxyefnefaxxyyxynxyaxxyxxyefn(1) 由x軸轉(zhuǎn)到外法線n，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)則為正（2)正應(yīng)力仍規(guī)定拉應(yīng)力為正（3)切應(yīng)力對單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩，順時(shí)針轉(zhuǎn)為正2、符號的確定efaxxyyxyn 設(shè)斜截面的面積為 dA , ae的面積為 dAcos ,af 的面積為 dAsinefaxxyyxyn 3、任意斜截面上的應(yīng)力對研究對象列 n和 t 方向的平衡方程得

7、:xyaxxyxxyefn考慮切應(yīng)力互等和三角變換化簡以上兩個(gè)平衡方程最后得：不難看出即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持一個(gè)常數(shù)二、最大正應(yīng)力及方位1、最大正應(yīng)力的方位令0 和 0+90確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面.2、最大正應(yīng)力利用得到 max 和 min (主應(yīng)力）極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力！下面還必須進(jìn)一步判斷0是 x 軸與哪一個(gè)主應(yīng)力間的夾角!求出 sin2a0 和 cos2a0 帶入下列公式:進(jìn)一步判斷0是x與哪一個(gè)主應(yīng)力間的夾角!(1)當(dāng)x y 時(shí) ， 0 是x與max之間的夾角 (2)當(dāng)xy 時(shí) ， 0 是x與min之間的夾角(3)當(dāng)x

8、=y 時(shí) ，0 =45，主應(yīng)力的方向可由單元體上 切應(yīng)力情況直觀判斷出來.則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下:若約定 | 0 | 45即0 取值在45范圍內(nèi)三、最大切應(yīng)力及方位1、最大切應(yīng)力的方位令1 和 1+90確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小切應(yīng)力所在的平面.2、最大切應(yīng)力將 代入公式：得到 max和min 比較和可見即極值切應(yīng)力所在平面與主平面之間的夾角互呈45度.xyxy 例題13-1 圖示單元體，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.試求 ef 截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30ef(1) 求 ef 截面上的應(yīng)力(

9、2) 求主應(yīng)力和主單元體的方位x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa=-30因?yàn)?x y ，所以 0= -22.5 與 min 對應(yīng)xyxy22.513例題13-2 簡支梁如圖所示.已知 mm 截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為 =-70MPa， =50MPa .確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位.并討論其他點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。AmmalA解：把從A點(diǎn)處截取的單元體放大如圖因?yàn)?x 0，例題13-3 討論園軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)（求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位）.并分析鑄鐵試件破壞現(xiàn)象。xy所以0= -45與 max 對應(yīng)。45（2）求主應(yīng)力1 = ， 2 = 0 ， 3

10、 = - 13鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，因此沿第一主應(yīng)力方向拉斷？四、應(yīng)力圓-圖解法一、莫爾圓將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫為：把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去2，得 因?yàn)閤 ，y ，xy 皆為已知量，所以上式是一個(gè)以，為變量的圓周方程。當(dāng)斜截面隨方位角 變化時(shí), 其上的應(yīng)力 ， 在 - 直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓 .1、圓心的坐標(biāo)2、圓的半徑此圓習(xí)慣上稱為 應(yīng)力圓 或稱為莫爾圓（由德國工程師 Otto Mothr引入）第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力(1) 建 - 坐標(biāo)系 ,選定比例尺o二、應(yīng)力圓作法1、步驟xyxxyxxyyy第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平

11、面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力Dxyo(2) 量取OA= xAD = xy得 D 點(diǎn)xyxxyxxyxAOB= y(3) 量取BD= yx得 D 點(diǎn)yByxD(4) 連接 DD兩點(diǎn)的直線與 軸相交于 C 點(diǎn) (5)以C為圓心, CD 為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力(1)該圓的圓心 C 點(diǎn)到 坐標(biāo)原點(diǎn)的 距離為 (2)該圓半徑為DxyoxAyByxDC證明：第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力三、應(yīng)力圓的應(yīng)用1、求單元體上任一 截面上的應(yīng)力 從應(yīng)力圓的半徑 CD 按方位角 的轉(zhuǎn)向 轉(zhuǎn)動 2 得到半徑 C

12、E.圓周上 E 點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力 。DxyoxAyByxDC20FE2xyaxxyxxyefn第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力DxyoxAyByxDC20FE2第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力證明：點(diǎn)面之間的對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓對應(yīng)的是單元體，單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。應(yīng)力圓與單元體對應(yīng)關(guān)系：AB夾角關(guān)系：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2OCBA第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力2、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置(1)

13、主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1 和 B1 兩點(diǎn)為與主平面對應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo) 為主應(yīng)力 1 ，2 12DxyoxAyByxDC20FE2B1A1第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力20DxyoxAyByxDC12A1B1（2）主平面方位由 CD順時(shí)針轉(zhuǎn) 20 到CA1 所以單元體上從 x 軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 0 （負(fù)值）即到 1對應(yīng)的主平面的外法線0 確定后， 1 對應(yīng)的主平面方位即確定第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力3、求最大切應(yīng)力G1 和 G 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力20DxyoxAyByxDC12A1B1G1G2因?yàn)樽畲笞钚∏袘?yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑

14、第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力o例題11-4 從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , (1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在 =30和 = - 40兩斜面上的應(yīng)力。xyxy解: (1) 畫應(yīng)力圓量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D點(diǎn);ACBOB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D點(diǎn) . (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2)以 DD 為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理

15、論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力將 半徑 CD 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動 2 = 60到半徑 CE, E 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = 30斜截面上的應(yīng)力。(2) 確定 = 30斜截面上的應(yīng)力E60(3) 確定 = - 40斜截面上的應(yīng)力將 半徑 CD順時(shí)針轉(zhuǎn) 2 = 80到半徑 CF, F 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = - 40斜截面上的應(yīng)力。F80ADCBoD 3040 403030= - 0.36MPa30= - 0.68MPa40= - 0.26MPa-40= - 0.95MPa第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力 例題11-5 兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖

16、中。試?yán)L出截面 c 上 a , b 兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力+200kN50kN+80kN.m解: (1) 首先計(jì)算支反力, 并作出 梁的剪力圖和彎矩圖Mmax = MC = 80 kNmFSmax =FC左 = 200 kN250KN1.6m2mABC第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力12015152709zab(2)橫截面 C上a 點(diǎn)的應(yīng)力為a點(diǎn)的單元體如圖所示axxxyyx第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀

17、態(tài)分析 主應(yīng)力由 x ， xy 定出 D 點(diǎn)由 y ， yx 定出 D 點(diǎn)以 DD為直徑作應(yīng)力圓OC(3)做應(yīng)力圓 x =122.5MPa， xy =64.6MPa y=0， xy =-64.6MPaAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)DA113A2A1，A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表 a 點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力 1 和 3 A1 點(diǎn)對應(yīng)于單元體上 1 所在的主平面第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力 axxxyyx01312015152709zab(4)橫截面 C上b點(diǎn)的應(yīng)力b點(diǎn)的單元體如圖所示bxx第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析

18、主應(yīng)力b 點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的橫截面 Cbxx(136.5 , 0)D(0 , 0)D1第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 主應(yīng)力11-3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 一、一般的空間應(yīng)力狀態(tài) 已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力 1、2、3 利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的斜截面上的應(yīng)力、最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。我們僅僅研究特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的斜截面上的應(yīng)力、最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力31223113 【1】首先研究與其中一個(gè)主平面 (例如與主應(yīng)力3平行 )的斜截面上的應(yīng)力122 用截面法，沿

19、求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象21 主應(yīng)力 3 所在的兩平面上是一對自相平衡的力， 因而該斜面上的應(yīng)力 , 與 3 無關(guān), 只由主應(yīng)力 1 , 2 決定 因此，與 3 平行的斜截面上的應(yīng)力可由 1 , 2 作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示123321第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對應(yīng)于與3 平行的所有斜截面上的應(yīng)力. 同理：A1O2B 【2】與主應(yīng)力 2 平行的斜截面上的應(yīng)力, 可用由 1 ,3 作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示.C3 【3】與主應(yīng)力 平行的斜截面上的應(yīng)力 , 可用由 2 ,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示.第11章 應(yīng)力狀態(tài)

20、強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 該截面上應(yīng)力 和 對應(yīng)的 D點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成 的陰影內(nèi). abc 截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面.abc12123第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 A1O2BC3 彈性理論可證明 三個(gè)應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力 該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 A1O2BC3 最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑 最大切應(yīng)力所在的截面與 2 平行，并與1和 3所在

21、的主平面成 450角。第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 例題11-6 單元體的應(yīng)力如圖所示 ,作應(yīng)力圓, 并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.解: 該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力 因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力 z 無關(guān), 依據(jù) x 截面和 y 截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓. 求另外兩個(gè)主應(yīng)力:40MPaxyz20MPa20MPa20MPa第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 由 x ， xy 定出 D 點(diǎn)由 y ， yx 定出 D 點(diǎn)以 DD為直徑作應(yīng)力圓A1，A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個(gè)主應(yīng)力 1 和 3 A1A2DO

22、DC13 1 =46MPa 3 =-26MPa該單元體的三個(gè)主應(yīng)力 1 =46MPa 2 =20MPa 3 =26MPa根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.3 特殊三向應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力 一、各向同性材料的廣義胡克定律（1） 正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正, 壓應(yīng)力為負(fù)1、符號規(guī)定（2） 切應(yīng)力：對單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩,若產(chǎn)生的矩為順時(shí)針，則為正；反之為負(fù) （3） 線應(yīng)變：以伸長為正, 縮短為負(fù)； （4） 切應(yīng)變：使直角減小者為正, 增大者為負(fù). 11-4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.

23、4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度 關(guān)于這樣一個(gè)空間應(yīng)力狀態(tài)，對于各向同性材料，沿著各方向的彈性常數(shù)E、G、均分別相同。當(dāng)變形很小且在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)；切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，而與正應(yīng)力無關(guān)，切應(yīng)力只引起同平面的切應(yīng)變。第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度上述六個(gè)公式為各向同性材料的廣義胡克定律第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度二、各向同性材料的體積應(yīng)變123a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積

24、變化, 稱為體積應(yīng)變，用表示.如圖所示的單元體，三個(gè)邊長為 a1 , a2 , a3變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3V1=a1(1+ a2(1+2 a3(1+3第11章 應(yīng)力狀態(tài) 強(qiáng)度理論11.4 廣義胡克定律與應(yīng)變能密度體積應(yīng)變?yōu)? 特例1、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變. 特例2、三向等值應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變?nèi)齻€(gè)主應(yīng)力為單元體的體積應(yīng)變mmm這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同。mmm123a1a2a3右邊單元體的三個(gè)主應(yīng)變相等：三、應(yīng)變能密度一、應(yīng)變能密度的定義二、應(yīng)變能密度的計(jì)算公式1、單向應(yīng)力狀態(tài)下, 物

25、體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為物體在單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能.將廣義胡克定律代入上式, 經(jīng)整理得2、三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí), 單元體的應(yīng)變能密度為 用 vd 表示與單元體形狀改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度, 稱為畸變能密度。用 vV 表示單元體體積改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度，稱為 體積改變能密度，它與體積應(yīng)變有關(guān)。應(yīng)變能密度 v等于兩部分之和3、體積改變能密度 和形狀改變能密度 一般情況下，單元體受力同時(shí)發(fā)生體積改變和形狀改變。 (a)1 2 3(b)mm m=(1+ 2+ 3)/3代之以m圖 a 所示單元體的三個(gè)主應(yīng)力不相等，因而，變形后既發(fā)生體積改變也發(fā)生形狀改變.圖 b 所示單元體的三個(gè)主應(yīng)力相等，

26、因而，變形后的形狀與原來的形狀相似，即只發(fā)生體積改變而無形狀改變.圖(c)所示單元體沒有發(fā)生體積改變，僅僅發(fā)生形狀的改變。(c)+圖 b 所示單元體的體積改變能密度圖a單元體的應(yīng)變能密度為圖a所示單元體的體積改變能密度為 空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的形狀改變能密度1 2 3例題13-10 邊長 a = 0.1m 的銅立方塊，無間隙地放入體積較大， 變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中, 如圖所示. 已知銅的彈性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34，當(dāng)受到F=300kN 的均布壓力作用時(shí)，求該銅塊的主應(yīng)力、體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力.解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力aaaFzyxzxy銅塊受力如圖所示變形條件為解得銅塊

27、的主應(yīng)力為最大切應(yīng)力體積應(yīng)變?yōu)閎hzb=50mmh=100mm課堂練習(xí) 已知矩形外伸梁受力F1，F(xiàn)2作用. 彈性模量 E=200GPa， 泊松比 = 0.3 , F1=100KN ， F2=100KN。求：（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變 1， 2 ， 3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變 x ， y ， zaAF1F2F2l解：梁為拉伸與彎曲的組合變形. A點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲引起的切應(yīng)力.（拉伸） （負(fù)）Ax = 20 x = 30（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變 1， 2 ， 3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變 x， y， z練習(xí)題 簡支梁由18號工字鋼制成. 其上作用有力F= 15kN ，已知 E=200GPa , = 0.3.

28、0.50.50.25FA04590求：A 點(diǎn)沿 00 ，450，900 方向的線應(yīng)變h/4解： yA ，Iz ，d 查表得出為圖示面積對中性軸z的靜矩zAh/4AA = 50.8A = 68.80.5F13500.50.25A04590h/4AA = 50.8A = 68.81. 脆性斷裂 : 無明顯的塑性變形下突然斷裂.二、材料破壞的兩種基本類型（常溫、靜載荷條件下）2.屈服失效：材料發(fā)生顯著的塑性變形而使結(jié)構(gòu)喪失其正常 的工作能力.一、強(qiáng)度理論的概念強(qiáng)度理論：關(guān)于材料破壞決定性因素的各種假說 13-6 強(qiáng)度理論 1、 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 認(rèn)為最大拉應(yīng)力 t 是引起材料發(fā)生脆斷破壞的因素.【1】第一類強(qiáng)度理論（斷裂強(qiáng)度理論）強(qiáng)度條件:1 當(dāng)最大的拉 應(yīng)力達(dá)到材料的極限應(yīng)力 u時(shí)，構(gòu)件發(fā)生脆性斷裂破壞.（由伽利略1638年提出）脆斷破壞的判據(jù)： 1 = u 優(yōu)點(diǎn)：與某些脆性材料的拉伸試驗(yàn)結(jié)果相符合，適合破壞形式為 脆性斷裂破壞的構(gòu)件。 缺點(diǎn)：沒有考慮另外兩個(gè)主應(yīng)力1和2的貢獻(xiàn)，不太合理。2、最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論) 認(rèn)為最大伸長線應(yīng)變 t 是引起材料脆斷破壞的因素. 當(dāng)材料的最大伸長線應(yīng)變t 達(dá)到材料的極限值u時(shí)，構(gòu)件發(fā)生脆性斷裂破壞. （1682年，由馬里奧