三反證法與放縮法 (2)

1、三反證法與放縮法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解反證法在證明不等式中的作用，掌握用反證法證明不等式的方法.2.掌握放縮法證明不等式的原理，并會(huì)用其證明不等式1預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)2課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破3當(dāng)堂檢測 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功4分層訓(xùn)練 解疑糾偏，訓(xùn)練檢測知識鏈接1在閱讀教材的基礎(chǔ)上，想一想哪些命題或不等式適合用反證法證明？答案存在性命題、否定性命題、唯一性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至少”、“至多”、“全都”等字詞的命題或不等式2用放縮法證明不等式常用的放縮方法有哪些？答案添加或舍去一些項(xiàng)；將分子或分母放大(或縮小)；利用基本不等式；利用函數(shù)的單調(diào)性；絕對值不等式：|a|b|ab|a|b|.預(yù)習(xí)導(dǎo)

2、引1反證法先假設(shè)要證的命題 ，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)，明顯成立的事實(shí)等) 的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法不成立矛盾2放縮法將所需證明的不等式的值適當(dāng) (或 )使它由繁化簡，達(dá)到證明目的如果所要證明的不等式中含有分式，把分母放大，則相應(yīng)分式的值 ，反之，把分母縮小，則分式的值 .放大縮小縮小放大要點(diǎn)一反證法證明不等式例1已知：abc0，abbcca0，abc0.求證：a0，b0，c0.證明假設(shè)a、b、c不全是正數(shù)，即至少有一個(gè)小于或等于0.又abc0，不妨假設(shè)a0，則bc0.

3、bca0，a(bc)0.a(bc)0，又bc0，bca(bc)0.即abbcca0.這與已知abbcca0矛盾假設(shè)不成立故a0，b0，c0成立規(guī)律方法用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立x0，y0，1y2x1x2y得2(xy)2(xy)，即xy2，與xy2矛盾要點(diǎn)二放縮法證明不等式跟蹤演練2設(shè)f(x)x2x14，且|xa|1.求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)證明由|f(x)f(a)|x2a2ax|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a|1|2a|22(|a|1). 例3已知數(shù)列an滿

4、足a11，an12an1(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；解an12an1(nN)，an112(an1)，數(shù)列an1是以a112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an12n，即an2n1(nN)要點(diǎn)三放縮法在數(shù)列中的綜合應(yīng)用規(guī)律方法解數(shù)列不等式綜合題要注意數(shù)列不等式綜合題難度大，內(nèi)容豐富，是考查數(shù)學(xué)能力的良好載體；數(shù)列問題重點(diǎn)在數(shù)列通項(xiàng)上，解決問題的方法也蘊(yùn)含在其中，注意考察的方式；注意放縮的尺度，過大過小都不能解決問題12341實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于()Aa，b，c均不為0Ba，b，c中至多有一個(gè)為0Ca，b，c中至少有一個(gè)為0Da，b，c中至少有一個(gè)不為0解析a，b，c不全為0，等價(jià)于“a，b

5、，c中至少有一個(gè)不為0”D12341234答案B12343否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)為偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為()Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c都是偶數(shù)Ca、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)Da、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)1234解析三個(gè)自然數(shù)的奇偶情況有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4種，而自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)為偶數(shù)只包含“二奇一偶”的情況，故反面的情況有3種，只有D項(xiàng)符合答案D1234課堂小結(jié)(1)當(dāng)證明的結(jié)論中含有“不是”“不都”“不存在”等詞語時(shí)，適于應(yīng)用反證法，因?yàn)榇祟悊栴}的反面比較具體(2)用反證法證明不等式時(shí)，推出的矛盾有三種表現(xiàn)形式與已知相矛盾，與假設(shè)矛盾，與顯然成立

6、的事實(shí)相矛盾1234一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)56789101112131應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用()結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論A BC D12345678910111213解析由反證法的推理原理可知，反證法必須把結(jié)論的相反判斷作為條件應(yīng)用于推理，同時(shí)還可應(yīng)用原條件以及公理、定理、定義等答案C12345678910111213p224，而q(a2)24，根據(jù)a2，可得q4，pq.A1234567891011121312345678910111213解析充分性易證下面用反證法說明必要性a，b只能異號，即a0b.答案B1234567891011

7、121312345678910111213PRQ.答案B12345678910111213mn123456789101112136若|a|1，|b|1，則|ab|ab|與2的大小關(guān)系是_解析當(dāng)(ab)(ab)0時(shí)，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2；當(dāng)(ab)(ab)0時(shí)，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.綜上，|ab|ab|2.|ab|ab|2123456789101112137設(shè)a1，a2，an都是正數(shù)， 且a1a2an1, 求證：(1a1)(1a2)(1an)2n.因?yàn)閍1a2an1，所以(1a1)(1a2)(1an)2n.12345678910111213二、能力提升

8、12345678910111213解析a，b為正數(shù)，答案A12345678910111213解析a0，b0，MN123456789101112131234567891011121311已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，12345678910111213(2)求證數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列證明反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，又因?yàn)閜qr，所以rq，rpN.所以式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)

9、不成立，原命題得證1234567891011121312已知0 x2,0y2,0z2，求證：x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.證明方法一假設(shè)x(2y)1且y(2z)1且z(2x)1均成立，則三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1由于0 x2，0 x(2x)x22x(x1)211.同理：0y(2y)1，且0z(2z)1，三式相乘得：0 xyz(2x)(2y)(2z)112345678910111213與矛盾，故假設(shè)不成立x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.方法二假設(shè)x(2y)1且y(2z)1且z(2x)1.12345678910111213與矛盾，故假設(shè)不成立，原題設(shè)結(jié)論成立12345678910111213三、探究與創(chuàng)新13設(shè)數(shù)列an的