兩個計數(shù)原理的應(yīng)用課件

1、第十三章計數(shù)的原理兩個計數(shù)原理與排列、組合第67講兩個計數(shù)原理的應(yīng)用 【解析】(1)每人選報一個項目，都有三種選法，當(dāng)每個人的項目選定后，這件事才算完成.故由分步計數(shù)原理，知共有3333=81種不同的報名方法. (2)若以學(xué)生獲得冠軍的可能性考慮，第一位學(xué)生獲得冠軍有4種可能性(沒有得冠軍，跑步得冠軍，跳高得冠軍，跳遠(yuǎn)得冠軍)，但考慮第二位學(xué)生時，并不是有4種可能，他受到第一位學(xué)生得冠軍的可能性的影響，因為第二位學(xué)生要獲得冠軍，要除去與第一位學(xué)生獲得冠軍的相同的情況，考慮第三位、第四位獲得冠軍，相同的情況就會變得越來越復(fù)雜.顯然，以學(xué)生獲得冠軍的可能性來分步，會使解決問題更加困難. 若以每個項

2、目冠軍產(chǎn)生的可能性考慮，問題的思路就清晰多了.完成三個項目都產(chǎn)生了冠軍，事情才算完成，每個項目的冠軍只有一個，4個人都有可能獲得某個項目的冠軍，所以每個項目的冠軍都有4種可能的結(jié)果.由分步計數(shù)原理，知共有可能的結(jié)果為444=64種.點評應(yīng)用分步計數(shù)原理時，也要明確分步的標(biāo)準(zhǔn).分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，各個步驟完成了，這件事才算完成.本題中第(1)問，是以人來分步的，每人選報一個項目，都有三種選法，4個人都選定了項目，這件事就完成了；第(2)問是以項目分步的，每個項目的冠軍都有4種可能的結(jié)果，三個項目的冠軍確定了，這件事就完成了.排列問題 【解析】(1)分兩步：甲、乙、丙捆

3、綁在一起，有 =6種方法；把甲、乙、丙三人看成一個人，與其他4人共5個元素做全排列，有 =120種方法.所以有 =6120=720種不同的站法. (2)分兩步：先將其他4人站成一排，有 =24種方法；再將甲、乙、丙三人插入到這4人的空隙中(包括兩端)，有 =60種方法.所以有 =1440種不同的站法.點評排列問題中的難點就是定位排列，捆綁和插入是兩種重要的解題思想方法.元素相鄰，先將其捆綁并看成一個“大”的元素與其他元素進(jìn)行排列，再對捆綁的元素進(jìn)行排列，這就是“捆綁法”；元素不相鄰，先把其他元素進(jìn)行排列，再把不相鄰元素插入先排好的元素(包括兩端的空隙)之間，這就是“插空法”.【變式練習(xí)2】求用

4、數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)組合問題 【例3】從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中，選出5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)為多少？ (1)A、B必須當(dāng)選；(2)A、B都不當(dāng)選； (3)A、B不全當(dāng)選； (4)至少有2名女同學(xué)當(dāng)選； (5)選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等五種不同的工作，但體育委員必須由男同學(xué)擔(dān)任，文娛委員必須由女同學(xué)擔(dān)任.【解析】(1)只要從其余的10人中再選3人即可，有 =120種； (2)5個人全部從另外10人中選，總的選法有 =252種； (3)直接法:分兩類：A、B一人當(dāng)選，有 =420種；A、B都不當(dāng)選，有 =252種；所以總的

5、選法有420+252=672種； 間接法:從12人中選5人的選法總數(shù)中減去從不含A、B的10人中選3人的選法總數(shù)，得到總的選法有 =672種； (4)直接法:分四步：選2名女生，有 =1035=350種；選3名女生，有 =210種；選4名女生，有 =35種；選5名女生，有 =1種.所以總的選法有350+210+35+1=596種； 間接法：從12人中選5人的選法總數(shù)中減去不選女生與只選一名女生的選法數(shù)之和，即總選法有 =596種； (5)分三步：先選1男1女分別擔(dān)任體育委員、文娛委員的方法有 =35種；再選出2男1女，補(bǔ)足5人的方法有 =60種；最后為第二步選出的3人分派工作，有 =6種方法.

6、所以總的選法有35606=12600種.點評組合應(yīng)用題是計數(shù)問題中的核心問題，題目呈現(xiàn)方式通常由關(guān)鍵詞表現(xiàn)出來，如“至多”“至少”“平均分?jǐn)偂钡?解決的方法一般有分組法、排除法、間接法.要注意掌握幾何問題、分配問題、分組問題的處理方法.排列與組合的綜合應(yīng)用 【解析】分三步：先確定一個空盒，有 =4種方法；選出2個小球捆綁，有 =6種方法；將捆綁的小球與其余2個小球看成3個小球，再放入3個盒中，有 =6種方法.于是共有 =466=144種方法.點評恰有一個空盒，說明必定有一個盒子內(nèi)放2個球，這樣問題就分解為三個子問題，即哪一個盒子不放球；哪兩個球放在同一個盒子里；將球放入盒子里有沒有順序.這三個

7、問題是相互依存的，故要用分步計數(shù)原理.本題在將空盒留下后，問題就轉(zhuǎn)化為“4個不同的小球放入3個不同的盒子里，且每個盒子里至少放一個球”，點評可以這樣分析：先每個盒子中放一個球，有 =24種放法；再將第4個球放入3個盒子的任何一個，有 =3放法，于是放法總數(shù)為 =288種，這一結(jié)果與上述結(jié)論不吻合，原因出在將第4個球放入盒子中時，使盒子中的兩個球無意識地加入了順序，當(dāng)兩個球無順序時，即為288 =144. 【變式練習(xí)4】有6本不同的書. (1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少種不同的分法？ (2)分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？ (3)分成3堆，一堆一本，一堆2本，一堆3本，有多少種不

8、同的分堆方法？ (4)分給甲、乙、丙3人，一人一本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分法？ (5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？ (6)擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？ 【解析】(1)在6本書中，先取2本給甲，從剩下的4本中取2本給乙，最后2本給丙，有 =90種分法； (2)6本書平均分成3堆，共有 =15種分堆方法； (3)從6本書中先取1本作一堆，在剩下的5本中，取2本作一堆，最后的3本作一堆，共有 =60種分堆方法；【解析】(4)在(3)中，甲、乙、丙3人任取一堆，共有 =360種分堆方法 (5)平均分堆要除以堆數(shù)的全排列，不平均分堆則不除，

9、共有 =15種分堆方法; (6)與6本書放在6個位置上同意義，共有 =720種不同的擺法.1.將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號為1，2，3，4的方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有 種. 【解析】( 先填數(shù)字1，有3種方法；其次任選一個數(shù)字填入符合條件的方格中，有3種方法；最后兩個數(shù)字唯一選擇，故不同的填法有331=9種. 2.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為 . 5. 7名師生站成一排，其中老師1人，男生4人，女生2人.在下列情況下，各有不同站法多少種 (1)兩名女生相鄰； (2)4名男生不相鄰； (3)老師

10、不站中間，女生不站兩端. 【解析】(1)2名女生站在一起有 種站法，她們與其余5人全排列，有 種方法. 故有 =1440種站法. (2)老師和女生先站好，有 種方法，再將4名男生插入其中，插法有 種. 故有 =144種站法. 【解析】(3)分兩類：第一類，老師站兩側(cè)之一，另一側(cè)由男生站，有 =960種站法； 第二類，兩側(cè)由男生站，老師站除兩側(cè)和中間的另外4個位置之一，有 =1152種站法. 故共有2112種站法. 1.兩個計數(shù)原理的應(yīng)用方法 在處理具體的應(yīng)用問題時，必須先分清是分類還是分步.具體來講，要根據(jù)元素的不同性質(zhì)進(jìn)行“分類”，根據(jù)事件發(fā)生的過程進(jìn)行“分步”.兩種計數(shù)方法，都必須弄清按什

11、么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行“分類”或“分步”，在分類中，“類”與“類”之間是確定的和并列的；在分步中，“步”與“步”之間是相依的和連續(xù)的. 2.排列與組合綜合理解組合問題與排列問題的共同點都是“從n個不同的元素中選出m個元素”，區(qū)別在于，組合是取出的元素集中成一組，沒有順序，而排列是取出的元素要按順序排成一列.解排列、組合問題時注意以下幾點：(1)審題分析是排列問題，還是組合問題，按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程分步.(2)分清運(yùn)算的性質(zhì)，只要是分類計數(shù)，就是加法運(yùn)算，只要是分步計數(shù)，就是乘法運(yùn)算.在綜合問題中，常常在分類中有分步，在分步中有分類.(3)要掌握定位排列的處理方法，掌握分類組合處理的思想方法.(4)排列、組合問題的答案一般數(shù)字比較大，不易直接驗證.因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可以通過一題多解驗證結(jié)論. 1(2011江蘇省揚(yáng)中調(diào)研測試)用紅、黃、藍(lán)、白四種不同顏色的鮮花布置如圖所