課題：平面向量的數(shù)量積及運算律

1、學(xué)習必備歡迎下載課 題：平面向量的數(shù)量積及運算律（1）教學(xué)目的：.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：本節(jié)學(xué)習的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便 可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量 數(shù)量積的認識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量 積的

2、5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律.教學(xué)過程：一、復(fù)習引入：1,向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件 是：有且只有一個非零實數(shù)入，使b =入a.平面向量基本定理： 如果s , e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對實數(shù)入1,入2使2 =入161 +入2e2.平面向量的坐標表不i、x、j作為基底,任作一個向量y ,使得 a = xi + yj分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)把（x, y）叫做向量a的（直角）坐標，記作 a=（x,y）.平面向量的坐標運算若 a =（卬 yj , b =（x2,y

3、2）,則 a + b = （x + x2, y1 + y2）, a b = （x1 一x2, y1 一 y2）,九a = （Kx,九y）*學(xué)習必備歡迎下載若 A(xi, yi), BM, y2),則 AB =國x1，y? y1). a/ b (b00)的充要條件是 xiy2-X2yi=0.線段的定比分點及入Pi, P2是直線上的兩點，P是l上不同于Pi, P2的任一點，存在實數(shù) 入，使 而=入陌，入叫做點P分的所成的比，有三種情況：莖-一葉 5 飛 &-入0(內(nèi)分)(外分)入0 (入-i)(外分)入0 (-i X 0)7,定比分點坐標公式：若點Pi (xi,y i) , P 2(x2,y 2)

4、,入為實數(shù)，且麗=入P可，則點P的坐標為(2”力斗必),我們稱人為點分麗所成的比. i - - i ,8.點P的位置與入的范圍的關(guān)系：當入 。時，PP與葩同向共線，這時稱點 P為昭的內(nèi)分點.9 ,線段定比分點坐標公式的向量形式:當入V。(九#i)時，PP與PP2反向共線，這時稱點 P為RP2的外分點*在平面內(nèi)任取一點 O,設(shè)OR = a , OP2 = b ,a + ；b i可得 OP =a -b.i i i ,i0.力做的功： W = |F |s|cose,曰是F與s的夾角二、講解新課：i.兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b ,作OA = a , OB = b，則/AOB =。(OW。

5、w兀)叫a與b的夾角.說明：(i)當。=0時，a與b同向；(2)當。=兀時，a與b反向；(3)當。=一時，a與b垂直，記a X b ;2學(xué)習必備歡迎下載2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義 ：已知兩個非零向量a與b ,它們的夾角是0 ,則數(shù)量|a|b|cos6叫a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有a b = |a|b|cos包(ow。w兀).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cose的符號所決定.(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab;今后要學(xué)到兩個向量的外積axb,”在向量運算中不若 a#0,且 a b

6、=0,而a b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號 是乘號，既不能省略，也不能用“X”代替 .(3)在實數(shù)中，若a#0,且a b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,不能推出b=0.因為其中cos弟可能為0.(4)已知實數(shù) a、b、c(b#0),貝U ab=bc = a=c.但是 a b = bc9 a = c 如右圖：a b = |a|b|cosP = |b|OA|, b c = |b|c|cosa = |b|OA|=a b = bc 但 a=c(5)在實數(shù)中，有(ab)c = a(bc),但是(ab)ca(bc)顯然，這是因為左端是與 c共線的向量，而右端是與a共線的向量， 而一般a與c

7、不共線.b在a方向上的投影.定義：|b|cos 1叫做向量投影也是一個數(shù)量，不是向量；當 汕銳角時投影為正值；當 地鈍角時投影為 負值；當 縱直角時投影為0;當e = 0時投影為|b|;當e = 180時投影為 -|b|.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos6的乘積.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.e a = a e =|a|cos12 a_b 二 a b = 0學(xué)習必備歡迎下載3 口當a與b同向時，ab = |a|b|;當a與b反向時，a b = -|a 11bb特別的 aa = |a|2或 |a|=jaa4 C

8、OSyi =a b|a|b|5 1abi & |a|b|三、講解范例：例1判斷正誤，并簡要說明理由 a ,0=0; 0。a=0; 0 AB = BA ; | a b b | ;若a w 0,則對任一非零b有a bwo；a - b = 0,則a與b中 至少有一個為0;對任意向量 a , b , c都有(a,b) c=a (b,c);a與b是兩個單位向量，則 a 2= b 解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有 0-a = 0；對于：應(yīng)有0 , a=0;對于：由數(shù)量積定義有I a-b| = | a|-| b|-| cos 0 | | all bl,這里。是a與b的夾角，

9、只有。=0或。=兀時，才有| a - b I =| a | | b | ;對于：若非零向量 a、b垂直，有a , b = 0 ;對于：由a b =?？芍猘 X b可以都非零；對于：若a與c共線，記a =入c .則 a，b=(入 c)，b = A. (cb) = A. (b，c), ，(ab)c = A. (b,c) c=(bc)入 c=(bc) a 若a與c不共線，則(a,b)cw(b,c) a.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律 ， 例2已知| a | = 3 , | b | = 6 ,當 a / b ,a，b ,a與b的夾角 是60時，分別求a b.解：當a /

10、 b時，若a與b同向，則它們的夾角 0=0,.1.a , b = | a| b | cos0 =3X6X1=18;若a與b反向，則它們的夾角 0 =180 ,a - b = | a| b | cos180 =3X6X (-1 ) =- 18;當a，b時，它們的夾角0 =90 ,.a , b = 0 ;當a與b的夾角是60時，有 一 _ _ 1.a , b = | a | | b | cos60 = 3X6X = 9學(xué)習必備歡迎下載評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0 , 180 ,因此，當a / b時，有0或180兩種可能.四、課堂練習：五、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習，要求大家掌握平面向

11、量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、 運算律，并能運用它們解決相關(guān)的問題六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計（略）八、課后記及備用資料：1概念辨析：正確理解向量夾角定義對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個 向量所構(gòu)成的較小的非負角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解 題錯誤是一些易見的錯誤，如：1.已知 ABC, a = 5, b=8, C = 60,求 BC - CA +對此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖，= I BC | = a = 5 , | CA | = b = 8, C = 60BC , CA = | BC | , | CA | cos C = 5X 8cos60 = 20.分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中BC與CA兩向量的起點并不同，因此， c并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當是C的補角120 .2,向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有（a,b） c = a,（b,c）,設(shè)a、b夾角為a , b、c夾角為3,則（a,b）c = |a|,| b| cos a - c ,a-（b-c）=a-|b| c | cos 3，若=（2,00 = 3,貝!| a | = | c | ,進而有：（a ,b）c = a ,（ b , c ） 這是一種特殊情形，