1.5-線性多步法解析課件

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.5 線性多步法 一、預備知識 1.5 線性多步法 二、線性多步法歐拉法和梯形法的回顧求未知函數(shù)在 的近似值 ，基本思想：對于積分表達式將被積函數(shù) 用水平直線或連接 ， 兩點的直線 代替。像歐拉格式一樣，我們可得近似求解格式如下：曲線，如我們利用 Lagrange 插值可得經(jīng)過然而為了近似上的曲線也可用多點插值為提高精度，構(gòu)造線性多步法，一般形式為其中(1.41)用(1.41)計算 需用到前 k 個節(jié)點的值 故稱為多步法或 k 步法。又因(1.41)關于 是線性的，故稱為線性多步法。注意：需附加初值現(xiàn)在，設已給出常微分方程初值問題(一) 數(shù)值積分法適當取k

2、+1個節(jié)點，用 的k次Lagrange插值多項式 近似將方程 寫成積分形式，比如在 上積分得(1.42)不同的插值節(jié)點導出不同的多步法(1)Adams外插法 （顯式多步法）其中 是插值余項，代入(1.42)得舍去余項(1.43)(1.44)下面給出(1.44)的具體形式。由插值節(jié)點等距，且被插值點 靠近最后一個節(jié)點 ，故用牛頓向后插值公式 引進記號則因此(1.45)式中式(1.45)就是著名的 外插公式, 即為Euler法定義生成函數(shù)兩端展開成冪級數(shù)有例如則Adams 外插公式可改寫為其中 的值見表2.2。 外插公式的進一步分析： 將(1.45)右端的差分表為 的線性組合，為此由差分公式 外插

3、格式的局部截斷誤差為則因此， 外插格式的局部截斷階為 。 外插法是個k+1步k+1階顯示格式。(2)Adams內(nèi)插法 （隱式多步法）從而舍去余項(1.46)內(nèi)插法(1.46)的具體化由牛頓向后插值公式 (1.47)(1.47)代人(1.46)得Adams內(nèi)插公式用生成函數(shù)法可導出系數(shù) 的遞推公式，見表2.3(1.48)則Adams 內(nèi)插公式可改寫為其中 的值見表2.4。 內(nèi)插公式的進一步分析： 將(1.48)右端的差分表為 的線性組合，為此由差分公式 內(nèi)插格式的局部截斷誤差為則舉例： Adams內(nèi)插法與外插法的比較達到相同的誤差階，內(nèi)插法比外插法可少用一個初始已知量3. 外插法顯式格式；內(nèi)插法

4、隱式格式Adams內(nèi)插法是k+1步k+2階的內(nèi)插法的迭代求解收斂條件取h充分小，可滿足收斂條件實際上，由故當 時迭代法收斂。 當 充分小時,迭代程序收斂， 越小，收斂速度越快?？梢杂孟鄳耐獠骞阶鳛轭A報格式，然后用內(nèi)插格式進行迭代：初始近似：(用外插法給出)即內(nèi)插法的求解格式如下 由于預報格式已是很好的近似，故為了達到較高精度，僅需迭代很少次數(shù)，一般二、三次迭代就已足夠，特別如只進行一次迭代，就得到如下預報修正格式：例如，上式中令 ，則有注：1. Adams內(nèi)外插法思路：先將初值問題改寫為積分形式，再用適當?shù)臄?shù)值積分離散； 2. 也可將初值問題寫成其他積分形式，例如再用適當?shù)臄?shù)值積分代替右端

5、積分，例如，用Simpson公式，可得為線性二步法。 3. 數(shù)值積分法只能構(gòu)造一類特殊的多步法，其系數(shù)(二) 待定系數(shù)法令其中此時例：討論一般的二步法.而且一般的二步法為為4階二步法，是具有最高階的二步法，稱為Milne法。若取 為二步Adams內(nèi)插法；若取 ，則為顯式格式(三) 預估校正算法將隱式k步法 改寫為其中校正算式(C算式)預估算式和校正算式統(tǒng)稱為預估校正算法，簡稱預校算法或PC算法。計算過程如下（一）（二）任一顯式多步法和隱式多步法都可搭配成預校算法(四) 多步法計算的問題1. 需附加初值為保持精度，計算附加初值時要節(jié)點加密或采用同樣精度的Runge-Kutta法2. 如何選擇階p(或步數(shù)k): 要考慮光滑性和穩(wěn)定性及總的工作量；高階多步法的絕對穩(wěn)定域小，3. 如何選擇步長h: 可根據(jù)精度要求由粗到細逐漸調(diào)整，計算過程中可以改變步長，但計算過程復雜 (五) Richardson 外推法利用 為計算步長，則得則因此，取 作為 的近似值，誤差將提高一階為 ，如果用 作為的近似值，整體截