塑性力學(xué)之塑性本構(gòu)關(guān)系PPT

1、第5章塑性本構(gòu)變形第五章 塑性本構(gòu)關(guān)系5.1 彈性本構(gòu)關(guān)系5.2 Drucker公設(shè)5.3 加載、卸載準(zhǔn)則5.4 增量理論（流動(dòng)理論）5.5 全量理論（形變理論）5.6 巖土力學(xué)中的Coulomb屈服條件和 流動(dòng)法則塑性力學(xué)5.1 彈性本構(gòu)關(guān)系在彈性階段，材料的本構(gòu)關(guān)系即廣義Hooke定律：張量寫法：其中其中（5-1）（5-2）為平均正應(yīng)力。將三個(gè)正應(yīng)變相加，得：（5-3）記：平均正應(yīng)變體積彈性模量則平均正應(yīng)力與平均正應(yīng)變的關(guān)系：（5-4）（5-5）（5-2）式用可用應(yīng)力偏量 和應(yīng)變偏量 表示為包含5個(gè)獨(dú)立方程（5-2）由（5-5）由等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系：或可得：（5-8）當(dāng)應(yīng)力從加載面（

2、后繼屈服面）卸載時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。（5-9）Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應(yīng)變能分解為體積應(yīng)變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構(gòu)關(guān)系將三者表示為：5.2 Drucker公設(shè)兩類力學(xué)量外變量：能直接從外部可以觀測(cè)得到的量。如總應(yīng)變，應(yīng)力等。內(nèi)變量：不能直接從外部觀測(cè)的量。如塑性應(yīng)變，塑性功等。內(nèi)變量只能根據(jù)一定的假設(shè)計(jì)算出來。關(guān)于塑性應(yīng)變和塑性功的假設(shè)：1、材料的塑性行為與時(shí)間，溫度無關(guān)。2、應(yīng)變可分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。3、材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變。根據(jù)以上假設(shè)，內(nèi)變量 可以由外變量 表示出來。對(duì)于各向同性材

3、料：（5-12）這樣，內(nèi)變量 也可以由外變量 表示出來。將總功分解為彈性功和塑性功。對(duì)于各向同性材料：（5-13）（5-14）Drucker公設(shè):對(duì)于處于在某一狀態(tài)下的材料質(zhì)點(diǎn)（或試件），借助一個(gè)外部作用，在其原有的應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應(yīng)力，在這附加應(yīng)力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負(fù)的。單元體在應(yīng)力狀態(tài) 下處于平衡。在單元體上施加一附加力，使應(yīng)力達(dá)到 ，剛好在加載面上，即開始發(fā)生塑性變形。繼續(xù)加載至 ，在這期間，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變 。 最后，將應(yīng)力又卸回到 。完成應(yīng)力循環(huán)。應(yīng)力循環(huán)的過程：圖5-1以 表示應(yīng)力循環(huán)過程中任一時(shí)刻的瞬時(shí)應(yīng)力狀態(tài)。按Drucker公設(shè)，附

4、加應(yīng)力 在應(yīng)力循環(huán)中所作的功非負(fù)。（5-17）在應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力在彈性應(yīng)變上的功為0，即（5-18）故（5-17）式寫成（5-19）在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)中，只在應(yīng)力從 到 的過程中產(chǎn)生塑性應(yīng)變。當(dāng) 為小量時(shí)，上述積分變?yōu)椋?（5-20）這就是圖5-1所示的陰影部分面積。兩個(gè)重要的不等式：當(dāng) 處于加載面的內(nèi)部，即 ，由于 是高階小量，則（5-20）當(dāng) 正處于加載面上，即 ，則（5-21）由此可對(duì)屈服面形狀與塑性應(yīng)變?cè)隽康奶匦詫?dǎo)出兩個(gè)重要的結(jié)論。1、屈服曲面的外凸性。2、塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄颗c加載面的外法線方向一致正交性法則。 當(dāng) 處于加載面上，Drucker公設(shè)導(dǎo)致的（5-21）通常叫作Drucker穩(wěn)定

5、性條件。1、屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A圖中，A0和A分別表示應(yīng)力狀態(tài) 和 。向量 代表 。用 表示 。則（5-20）為（5-22）可見，應(yīng)力增量向量 與塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄?之間的夾角必須小于900屈服曲面必須是凸的。如果屈服面是凹的，則5-22式不滿足。2、塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄颗c加載面的外法線方向一致正交性法則。A0Ann加載面在A點(diǎn)的外法向。如果 與n不重合，則總可以找到A0，使5-22式不成立。因此， 必須與加載面 的外法線重合。的外法線方向即其梯度方向?？杀硎緸椋海?-23）5.3 加載、卸載準(zhǔn)則Drucker穩(wěn)定性條件：由于 與外法線n同向，上式改寫成：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面外部時(shí)

6、，材料才能產(chǎn)生塑性變形。（5-25）（5-26）判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：（1） 是否在 上。（2） 是否指向 的外部。加卸載準(zhǔn)則加載：指材料產(chǎn)生新的塑性變形的應(yīng)力改變。卸載：指材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應(yīng)力改變。、理想材料的加卸載準(zhǔn)則 理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。由于屈服面不能擴(kuò)大，所以當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)達(dá)到屈服面上，應(yīng)力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。n加載卸載nlnm加載加載卸載對(duì)于Tresca屈服面：加載卸載二、強(qiáng)化材料的加載、卸載準(zhǔn)則強(qiáng)化材料的加載面在應(yīng)力空間不斷擴(kuò)張或移動(dòng)。n中性變載卸載加載這里，中性變載相當(dāng)于應(yīng)力點(diǎn)沿加載面切向變化，應(yīng)力維持在塑性狀態(tài)但加

7、載面并不擴(kuò)張的情況。5.4 增量理論（流動(dòng)理論）一、概述塑性本構(gòu)關(guān)系材料超過彈性范圍之后的本構(gòu)關(guān)系。此時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變之間不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，只能建立應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系。這種用增量形式表示的塑性本構(gòu)關(guān)系，稱為增量理論或流動(dòng)理論。進(jìn)入塑性階段后，應(yīng)變?cè)隽靠梢苑纸鉃閺椥圆糠趾退苄圆糠?。由Hooke定律，由Drucker公設(shè)，（5-30）（5-31）（5-32）進(jìn)入塑性階段后，應(yīng)變?cè)隽靠梢苑纸鉃閺椥圆糠趾退苄圆糠?。由Hooke定律，由Drucker公設(shè)，（5-30）（5-31）給出了塑性應(yīng)變?cè)隽?與加載函數(shù) 之間的關(guān)系。流動(dòng)法則（5-32）將（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：增

8、量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：（5-33）塑性位勢(shì)理論將塑性應(yīng)變?cè)隽勘硎緸樗苄晕粍?shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)力取微商。（5-34）其中 是塑性位勢(shì)函數(shù)。兩種情況：1、服從Drucker公設(shè)的材料，塑性勢(shì)函數(shù)g就是加載函數(shù)， 即 ，此時(shí)（5-34）式稱為與加載條件相關(guān)連的流動(dòng)法則。由于加載面和塑性應(yīng)變?cè)隽空唬卜Q為正交流動(dòng)法則。2、當(dāng)加載面和塑性應(yīng)變?cè)隽坎徽唬?此時(shí)（5-34）式 稱為與加載條件非關(guān)連的流動(dòng)法則。主要用于巖土材料。二、理想塑性材料與Mises條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)f就是加載函數(shù)。流動(dòng)法則寫成：（5-35）Mises屈服條件：有故理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則為：（

9、5-36） 1、理想彈塑性材料 按照廣義Hooke定律求得彈性應(yīng)變?cè)隽浚倥c（5-36）式所得 的塑性應(yīng)變?cè)隽刊B加，就得到理想彈塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系Prandtl-Reuss關(guān)系對(duì)理想塑性材料，比例系數(shù) 要聯(lián)系屈服條件來確定。Mises屈服條件此時(shí)可見，給定應(yīng)力 和應(yīng)變?cè)隽?時(shí)從Prandtl-Reuss關(guān)系可以求出 及應(yīng)力增量 。 但反過來，如果給定的是 則定不出 ，也就求不出 。給定應(yīng)力求不出應(yīng)變?cè)隽浚@正反映出理想塑性材料的特點(diǎn)。（5-38）由于塑性變形消耗功，所以 ，則 。 2、理想剛塑性材料Levy-Mises關(guān)系當(dāng)塑性應(yīng)變?cè)隽勘葟椥詰?yīng)變?cè)隽看蟮枚鄷r(shí)，可略去彈性應(yīng)變?cè)隽?，從而得到適

10、用于理想剛塑性材料的Levy-Mises關(guān)系（5-39）此式表明應(yīng)變?cè)隽繌埩颗c應(yīng)力偏張量成比例，也可以寫成（5-40）如果（5-40）的后三個(gè)分式的分母為零，則其分子必須同時(shí)為零。這說明Levy-Mises關(guān)系要求應(yīng)變?cè)隽繌埩康闹鬏S與主應(yīng)力軸重合。 在（5-39）式中，給定后不能確定，但反之卻可由確定如下：利用Mises屈服條件可以得到將（5-41）式代回（5-39）式，可求出對(duì)于剛塑性材料將（5-38）式與（5-41）式加以比較就發(fā)現(xiàn)： （5-41）（5-44）（5-45）3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則：對(duì)應(yīng)于平面上， 與 二向量在由坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的同一條射線上。Lo

11、de（1926）采用薄壁圓管受軸力和內(nèi)壓同時(shí)作用的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中使用的參數(shù)：實(shí)驗(yàn)表明， 大致相等，在消除了實(shí)驗(yàn)用薄管的各向異性后，結(jié)果表明兩個(gè)Lode參數(shù)相等。三、理想塑性材料與Tresca條件相關(guān)連的流動(dòng)法則與Mises條件相關(guān)連的流動(dòng)法則相比，與Tresca條件相關(guān)連的流動(dòng)法則有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：2、在Tresca六角柱的棱線上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的角點(diǎn)上），不存在唯一的外法線。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的直邊上），給出沿外法向的 并不能就此確定S，因?yàn)橥粋€(gè)屈服平面上的任一點(diǎn)都具有相同的外法向。實(shí)際上，角點(diǎn)可以看成是一段光滑曲線無限縮小的極端情

12、況，因此角點(diǎn)的法線不唯一，而可為上述夾角范圍內(nèi)的任一方向?？疾靾D5-11中的角點(diǎn)B。它的兩側(cè)面，AB面和BC面的方程分別為：對(duì)AB面同理，對(duì)BC面有角點(diǎn)B處的塑性應(yīng)變?cè)隽靠梢訟B面和BC面上的塑性應(yīng)變?cè)隽康木€性組合得到。 ABC其中 四、強(qiáng)化材料的增量本構(gòu)關(guān)系Ducker公設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可令其中h0稱為強(qiáng)化模量，依賴于加載面的變化規(guī)律，一般不為常數(shù)。如果h和都不含應(yīng)力增量 ，稱為線性增量理論。這樣就有：間成線性關(guān)系，這時(shí)具有Mises加載條件的等向強(qiáng)化材料加載面在加載時(shí)，雖然 ，但應(yīng)力點(diǎn)始終保持在擴(kuò)大的加載面上，因而 的全微分 為零，即 （5-51）（5-52）則即代入（5-52）式得（5-53

13、）（5-54）上式左邊自乘求和得 右邊自乘求和得， 比較這二者，可知 =1，或利用（5-51）和（5-55）式，得出其中 可由簡(jiǎn)單拉伸曲線來決定。事實(shí)上，退化到簡(jiǎn)單拉伸情形時(shí)（5-51）式就是 ，即它就是曲線 的斜率。作為特例，在線性強(qiáng)化時(shí)就有: （5-55）（5-56）（5-57）5.5 全量理論（形變理論）認(rèn)為應(yīng)力和應(yīng)變之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因而用應(yīng)力和應(yīng)變的全量建立起來的塑性本構(gòu)方程，又稱形變理論。全量理論在單調(diào)加載的情況下應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這時(shí)塑性變形相當(dāng)于非線性彈性問題，可用全量理論求解。一、 理論基本假定:1. 物體是各向同性的；2. 體積改變服從彈性定律: 其中

14、3. 應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成正比(5-58)其中 是一個(gè)標(biāo)量，它是應(yīng)力張量和應(yīng)變張量不變量的待定函數(shù)。由假設(shè)3可得，主剪應(yīng)變與主剪應(yīng)力成正比,即(5-59)在（5-58）式中，如果取可得彈性狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,即Hooke定律。在彈塑性變形的情況下，若令則可以認(rèn)為是彈塑性變形時(shí)的折算剪切模量。 （5-58）式可寫成（5-60）彈性部分塑性部分將 兩邊自乘后開方，有：（5-61）（5-62）于是，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系:全量建立起來的塑性本構(gòu)關(guān)系理論（5-63）二、簡(jiǎn)單加載和單一曲線假定簡(jiǎn)單加載：?jiǎn)卧w的應(yīng)力張量各分量之間的比值保持不變，按同一參量單調(diào)增長(zhǎng)。復(fù)雜加載：不滿足這一條件的加載情形。簡(jiǎn)單加載路徑

15、在平面上可表示為 的射線。yx對(duì)于Mises條件，不論強(qiáng)化模型如何，加載路徑始終沿半徑方向。即 沿 的方向。而 的方向可由 表示。則加入彈性應(yīng)變?cè)隽看思蠢硐霃椝苄圆牧系腜randtl-Reuss關(guān)系在簡(jiǎn)單加載條件下，將上式積分，得在簡(jiǎn)單加載條件下增量理論同全量理論是等價(jià)的。單一曲線假定: 實(shí)驗(yàn)證明，只要是簡(jiǎn)單加載或偏離簡(jiǎn)單加載不大，盡管在主應(yīng)力空間中射線方向不同， 曲線可近似地用單向拉伸曲線表示。三、簡(jiǎn)單加載定理簡(jiǎn)單加載定理（，1946）：如果滿足下面一組充分條件，物體內(nèi)部每個(gè)單元體都處于簡(jiǎn)單加載之中。這組條件是：1.小變形； 2.材料不可壓縮，即 ；3.載荷按比例單調(diào)增長(zhǎng)，如果有位移邊界條件

16、，則只能是零位移邊界條件；4.材料的 曲線具有冪函數(shù)的形式。其中，1、3是必要條件，2、4是充分而非必要條件。四、幾種理論的總結(jié)與比較名稱類型年代材料應(yīng)變大小屈服條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Levy-Mises增量1871，1913理想剛塑性小應(yīng)變?cè)隽縈isesPrandtl-Reuss增量1924，1930理想彈塑性小應(yīng)變?cè)隽縈ises全量1943彈塑性強(qiáng)化小應(yīng)變MisesHency全量1924理想彈塑性小應(yīng)變MisesNadai全量1937剛塑性強(qiáng)化小應(yīng)變Mises與增量理論相比，全量理論應(yīng)用起來方便得多，因?yàn)樗鼰o須按照加載路徑逐步積分。全量理論的加載路徑允許和簡(jiǎn)單加載路徑有一定的偏離。這樣造成的誤差有時(shí)并不大，比如屈曲分析。 5.6 巖土力學(xué)中的Coulomb屈服條件和流動(dòng)法則巖土材料的特點(diǎn)：屈服應(yīng)力和破壞應(yīng)力都會(huì)隨著靜水壓力的增加而增大。即使是各向同性，屈服條件也應(yīng)采用下面的一般形式：巖土材料的破裂準(zhǔn)則：?jiǎn)卧w的任何截面上的剪應(yīng)力 都不能超過某一臨界值。當(dāng) 超過該臨界值時(shí)，材料就要發(fā)生剪切滑移。（5-67）其中常數(shù)C稱為粘