高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第21講轉(zhuǎn)化與化歸思想

1、eq o(sup7(),sdo5(第21講)轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在處理問題時，把待解決或難解決的問題通過某種方式轉(zhuǎn)化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思維方式應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡可能是等價轉(zhuǎn)化，在有些問題的轉(zhuǎn)化時只要注意添加附加條件或?qū)λ媒Y(jié)論進行必要的驗證就能確保轉(zhuǎn)化的等價常見的轉(zhuǎn)化有：正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、圖象語言、文字語言與符號語言的轉(zhuǎn)化等分類討論思想，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)常用的變換方法：分析法、反證法、換元法、待定

2、系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段1. 已知正實數(shù)x、y滿足eq f(1,x)eq f(1,y)1，則xy的取值范圍是_2.若不等式x2ax10對一切xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)都成立，則實數(shù)a的最小值為_3.函數(shù)yxeq r(2x)的值域為_4.函數(shù)f(x)x33bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是_【例1】已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，求eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的最小值【例2】若不等式x2px4xp3對一切0p4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍【例3】在數(shù)列an 中a1eq f(1,3)，前

3、n項和Sn滿足Sn1Sneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) n1(nN*)(1) 求數(shù)列an的通項公式an以及前n項和Sn；(2) 若S1, t (S1S2 ), 3(S2S3) 成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值【例4】已知函數(shù)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)x2lnx(aR)(1) 當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 若x1,3，使f(x)1，在約束條件eq blcrc (avs4alco1(yx，,ymx，,xy1)下，目標函數(shù)zxmy的最大值小于2，則實數(shù)m的取值范圍為_3.(2011全國)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的

4、球面上，且AB6，BC2eq r(3)，則棱錐OABCD的體積為_4.(2011湖南)已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，則b的取值范圍為_5.(2009浙江)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足coseq f(A,2)eq f(2r(5),5)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()3. (1) 求ABC的面積； (2) 若bc6，求a的值6.(2011遼寧)如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按

5、縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.(1) 設(shè)eeq f(1,2)，求|BC|與|AD|的比值；(2) 當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由(2008北京)(本小題滿分13分)數(shù)列an滿足a11，an1(n2n)an(n1,2，)，是常數(shù)(1) 當(dāng)a21時，求及a3的值；(2) 數(shù)列an是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；(3) 求的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時總有an0.解：(1) 由于an1(n2n)an(n1,2，)，且a11.所以當(dāng)a21時，得12，故3.(2分)從而a3(2223)(1)3.(4分)(2) 數(shù)列an不可能為等差數(shù)列

6、，證明如下：由a11，an1(n2n)an得a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(2)若存在，使an為等差數(shù)列，則a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得3.于是a2a112，a4a3(11)(6)(2)24.這與an為等差數(shù)列矛盾所以，對任意，an都不可能是等差數(shù)列( 8分)(3) 記bnn2n(n1,2，)，根據(jù)題意可知，b12且n2n(nN*)，這時總存在n0N*，滿足：當(dāng)nn0時，bn0；當(dāng)nn01時，bn0可知，若n0為偶數(shù)，則an0n0時，an0，從而當(dāng)nn0時an0.( 10分)因此“存在mN*，當(dāng)nm時總有an0，,b2k12k122k10.)故的取值范圍是4k22k3

7、或x1.實數(shù)x的取值范圍是x(，1)(3，)變式訓(xùn)練若不等式x2px4xp3對一切4x0均成立，試求實數(shù)p的取值范圍解：(解法1)構(gòu)造函數(shù)f(x)x2(p4)xp3，所以0或eq blcrc (avs4alco1(f(p4,2)4,f40)或eq blcrc (avs4alco1(f(p4,2)0,f00)所以p3.(解法2)構(gòu)造函數(shù)f(x)x2(p4)xp3(x1)(xp3)，f(x)0對一切4x0均成立，而x10， xp30， p3x p3.例3解：(1) 由Sn1Sneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1(nN*)得an1eq blc(rc)(avs4alco1(f(

8、1,3)n1.又a1eq f(1,3)，故aneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n(nN*)，Sneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3n).(2) 由(1)得S1eq f(1,3)，S2eq f(4,9)，S3eq f(13,27)，eq f(1,3)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,9)f(13,27)teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(4,9)2，得t2.例4解：(1) f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)x2lnx(aR)的定義域為(0，)當(dāng)a0時，f(x)eq

9、f(1,2)x2lnx，f(x)xeq f(1,x)eq f(1x2,x).由f(x)0，結(jié)合定義域，解得0 x1，故得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)(2) f(x)(x1)lnx，即eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)x2xlnx(aR)， x1,3， aeq f(lnx,x)eq f(1,2).令g(x)eq f(lnx,x)eq f(1,2)，則x1,3，使f(x)(x1)lnx成立，等價于ag(x)max. g(x)eq f(1lnx,x2).由g(x)0，結(jié)合x1,3，解得：xe.當(dāng)1xe時，g(x)0；當(dāng)ex3時，g(x)0.故得g(x)maxg(e)e

10、q f(1,e)eq f(1,2). 實數(shù)a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,e)f(1,2).(3) 令h(x)f(x)2axeq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)x22axlnx，h(x)的定義域為(0，)函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(1，)內(nèi)恒在直線y2ax下方，等價于h(x)0在(1，)上恒成立，即h(x)max0.h(x)(2a1)x2aeq f(1,x)eq f(x12a1x1,x). 若aeq f(1,2)，令h(x)0，得x11，x2eq f(1,2a1).當(dāng)x2x11，即eq f(1,2)a1時，在(1，x2)上，h(x)0，h(x

11、)為減函數(shù)，在(x2，)上，h(x)0，h(x)為增函數(shù)，故h(x)的值域為(g(x2)，)，不合題意當(dāng)x2x11，即a1時，同理可得在(1，)上，h(x)0，h(x)為增函數(shù)，故h(x)的值域為(g(x1)，)，也不合題意 若aeq f(1,2)，則有2a10，此時，在區(qū)間(1，)上，恒有h(x)0，從而h(x)為減函數(shù)，h(x)maxh(1)aeq f(1,2)0，結(jié)合aeq f(1,2)，解得eq f(1,2)aeq f(1,2).綜合可得：實數(shù)a的取值范圍eq f(1,2)aeq f(1,2).變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x3ax2圖象上一點P(1，b)的切線斜率為3，g(x)x3eq f

12、(t6,2)x2(t1)x3(t0)(1) 求a，b的值；(2) 當(dāng)x1,4時，求f(x)的值域；(3) 當(dāng)x1,4時，不等式f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍解：(1) f(x)3x22ax， eq blcrc (avs4alco1(f13，,b1a，)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b2.)(2) 由(1)知，f(x)在1,0上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，在2,4上單調(diào)遞增又f(1)4，f(0)0，f(x)minf(2)4，f(x)maxf(4)16， f(x)的值域是4,16(3) 令h(x)f(x)g(x)eq f(t,2)x2(t1)x3，x1,4 要使

13、f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0，即t(x22x)2x6.當(dāng)x1,2)時teq f(2x6,x22x)，解得t2eq r(3)；當(dāng)x2時tR；當(dāng)x(2,4時teq f(2x6,x22x)，解得teq f(1,4).綜上所述，所求實數(shù)t的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(1,4)，2r(3).高考回顧1. eq f(1,2)或eq f(3,2)解析： |PF1|F1F2|PF2|432， 設(shè)|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k，(k0)若圓錐曲線為橢圓，則2a|PF1|PF2|6k,2c|F1F2|3k，則離心率eeq f(2c,2a)eq f(3k,6k)e

14、q f(1,2)；當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時，則2a|PF1|PF2|2k,2c|F1F2|3k，離心率eeq f(2c,2a)eq f(3k,2k)eq f(3,2).2. 1meq r(2)1解析：畫出可行域，可知zxmy在點eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,1m)，f(m,1m)取最大值，由eq f(1,1m)eq f(m2,1m)2，解得1meq r(2)1.3. 8eq r(3)解析：設(shè)矩形的對角線的交點為E，則OE面ABCD，由題知截面圓半徑r2eq f(1,4)BD2eq f(1,4)(AB2BC2)12，由截面圓性質(zhì)得OEeq r(R2r2)2， 棱錐OABCD的體積

15、為eq f(1,3)SABCDOEeq f(1,3)62eq r(3)28eq r(3).4. 2eq r(2)b2eq r(2)解析：f(a)ea11，g(b)b24b31，解得2eq r(2)b2eq r(2).5. 解：(1) 因為coseq f(A,2)eq f(2r(5),5)， cosA2cos2eq f(A,2)1eq f(3,5)，sinAeq f(4,5).又由eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()3，得bccosA3， bc5， SABCeq f(1,2)bcsinA2.(2) 由于bc5，又bc6， b5，c1或b1，c5.由余弦定理得a2b2c22bccosA20， a2eq r(5).6. 解：(1) 因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)，C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，C2：eq f(b2y2,a4)eq f(x2,a2)1，(ab0)設(shè)直線l：xt(|t|a)，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得Aeq blc(rc)(avs4alco1(t，f(a,b)r(a2t2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(t，f(b,a)r(a2t2).當(dāng)eeq f(1,2)時，beq f(r(3),2)a，分別用yA，yB表示A，B的縱坐標，可知eq f(|BC|,|AD|)eq f(2|yB|,2|yA