2018-2019年普通高等學(xué)校運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練、民族傳統(tǒng)體育專業(yè)單招考試數(shù)學(xué)試卷

1、 2018-2019年全國(guó)普通高等學(xué)校運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練、民族傳統(tǒng)體育專業(yè)單招考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=xIx2-x20，則CA=RA.(1,2)B.-1,2C.(-2,1)D.-2,1（i是虛數(shù)單位）,A.11B.-2C.13.已知a=3；,zi1b=log32，c=logc的大小關(guān)系是（）C.abcD.cbaA.acbB.cab血值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)可填入的條件是（）A.i2016?B.i2018?C.i2016?5若(x2-a)(x+丄)10的展開式中x6的系數(shù)

2、為30，則a=()xD.i09.已知f(x)=sx2一2x,xf成立的x取值范圍是（B.31（一也一2）U（2,+w）D.(2,+如厶10.某多面體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是等腰三角形，這些等腰三角形的面積之和為（） A.4+4朽C.8J2D4+4j5+32x2y211設(shè)F、F是橢圓C:+1二1的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足ZFMF=120。，則m的取12m212值范圍是()1A.(0,23,+s)B(，1U3,+8)1C.(0,2U4,+8)D(0,1U4,+8)12.已知函數(shù)f(x)=(1+2x)(x2+ax+b)(a,bgR)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0

3、)對(duì)稱，則f(x)在-1,1上的值域?yàn)椋ǎ┑贗I卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.x0TOC o 1-5 h z已知實(shí)數(shù)x,y滿足Vy0，則（x+1）2+y2的最大值為x+y一10在平行四邊形ABCD中，AB=4,C=3PD，若AB-BP=-1，則AB-AD=.已知圓M與直線xy=0及xy+4=0都相切，圓心在直線y=x+2上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為2一已知f（x）=sinx-coswx（?。艉瘮?shù)f（x）圖象的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間（2兀,3兀），則w的取值范圍是（結(jié)果用區(qū)間表示）三、解答題：本大題共6小題，共70分.17.S為數(shù)列a的前n項(xiàng)

4、和已知a0,a2+3a=6S+4.nnnnnn求a的通項(xiàng)公式;n3(II)設(shè)b=，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和Tnaannnn+118.在四棱錐S-ABCD中，平面SAB丄平面ABCD，平面SAD丄平面ABCD.(II)若底面ABCD為矩形，SA=2AD=3AB，f為SC的中點(diǎn)，BE=3BC，求直線EF與平面SCD所成角的正弦值.隨著高校自主招生活動(dòng)的持續(xù)開展，我市高中生掀起了參與數(shù)學(xué)興趣小組的熱潮為調(diào)查我市高中生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們?cè)谝恢軆?nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，并將其分成了6個(gè)區(qū)間：(0,10、(10,20、(20,30、(30,40、(40,50、

5、(50,60，整理得到如下頻率分布直方圖：4hV-hFBibfcBMM|mm|陀“*1JioM40弁葉巒h乙業(yè)根據(jù)一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間t，將學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的喜好程度分為三個(gè)等級(jí): 學(xué)習(xí)時(shí)間(分鐘/天)t2020t50t50喜好等級(jí)一般愛好癡迷(I)試估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的中位數(shù)m甲(精確到0.01)；判斷從甲、乙兩所高中各自隨機(jī)抽取的40名學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的平均值X甲與君及方差S2與S2的大小關(guān)系(只需寫出結(jié)論)，并計(jì)算其中的君、S2(同一組中的數(shù)據(jù)用乙甲乙甲甲該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；記事件A:“甲高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜好等級(jí)高于乙高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜好

6、等級(jí)”根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求A的概率.已知拋物線C:y二2x2，不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交于A,B兩點(diǎn).若OA丄OB，證明：直線l過定點(diǎn)；設(shè)過A且與C相切的直線為l，過B且與C相切的直線為l當(dāng)l與l交于點(diǎn)(1,-2)時(shí)，求l的1212方程.21.已知f(x)=x2一1-aInx(aeR).(I)若曲線y=f(x)與x軸有唯一公共點(diǎn)a，求a的取值范圍;(II)若不等式f(x)1恒成立，求a的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.fx3cos0在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方

7、程為,(0為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為Iy2sm0 xt1(t為參數(shù)).y2t-a-1(I)若a=1，求直線l被曲線C截得的線段的長(zhǎng)度;(II)若a=11，在曲線C上求一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線l的距離最小，并求出最小距離.選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=Px-a.當(dāng)a=4時(shí)，求不等式f(x)1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 參考答案、選擇題1-5:ACBDD6-10:CBABB11、12：AD二、填空題7118，1213.414.1115.x2+(y2)2=216.三、解答題17.(I)當(dāng)n=1時(shí)，有a2+3a=6a+4，即(a4)(a+1)=0.11111因?yàn)閍0，所以a+10.從而a4

8、=0，即a=4.1111由a2+3a=6S+4，知a2+3a=6S+4.TOC o 1-5 h znnnn+1n+1n+1兩式相減，得a2+3aa23a=6S+46S4.n+1n+1nnn+1n即a2+3aa23a=6a，即a2a23a3a=0，n+1n+1nnn+1n+1nn+1n即(a+a)(aa3)=0.n+1nn+1n因?yàn)閍0，所以aa3=0，即aa=3.nn+1nn+1n所以，數(shù)列a是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列.n所以a=4+3(n1)=3n+1.n(II)由(I)知b=n3(3n+1)(3n+4)113n+13n+4數(shù)列b的前n項(xiàng)和為n(11、(11、/11、/11、n47710

9、3n23n+13n+13n+4=1143n+418.(I)證法1：在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作兩條直線I”12，使得l丄AB，l丄AD.12因?yàn)閍bDad=a，所以l,l為兩條相交直線.12所以l丄1因?yàn)槠矫鍿AB丄平面ABCD,平面SABn平面ABCD=AB,lu平面ABCD,l丄AB,平面SAB.所以丄SA.同理可證l2丄SA.又因?yàn)閘u平面ABCD,lu平面ABCD,lC|l=C,1212所以SA丄平面ABCD.證法2：在平面SAB內(nèi)過點(diǎn)S作l丄AB，在平面SAD內(nèi)過點(diǎn)S作丄AD.所以l丄1因?yàn)槠矫鍿AB丄平面ABCD，平面SAB平面ABCD=AB,(u平面SAB,(丄AB,平面ABCD.同

10、理可證l2丄平面ABCD.而過點(diǎn)S作平面ABCD的垂線有且僅有一條，所以l與l重合.所以lu平面SAD.121所以，直線l為平面SAB與平面SAD的交線.1所以，直線l與直線SA重合.所以SA丄平面ABCD.1 (II)如圖，分別以AB、AD、AS所在方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz設(shè)SA=6，則AB二2,AD=3,B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),S(0,0,6).3由F為SC的中點(diǎn)，得F(1，2,3);由BE=3BC，得E(2,2,0).所以EF=(一1,一-,3),SC=(2,3,-6),DC=(2,0,0)厶設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=

11、(x,y,z),n-SC=0f2x+3y-6z=0則一，即Ln-DC=02x=0取z=1，貝9y=2,x=0所以n=(0,2,1).;205205(-1)x0+(-丄)x2+3x1所以cos1+4+9x丫0+4+12所以，直線EF與平面SCD所成角的正弦值為4|050.319解：(I)加田=20+0.5一(0.1+0.2)x10沁26.67甲（H）X甲2；X=5X01+15X0.2+25x0.3+35x0.2+45x0.15+55x0.05=27.5；甲S2=(5-27.5)2x0.1+(15-27.5)2x0.2+(2527.5)2x0.3+(3527.5)2x0.2甲+(4527.5)2x

12、0.15+(5527.5)2x0.05=178.75(III)由題意，甲高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的喜好程度為“一般”“愛好”、“癡迷”的概率分別為0.05、0.8、0.15.P(A)=0.65x0.05+0.05x(0.05+0.8)=0.07520.設(shè)A(x,y)，B(x,y).1122(I)解：顯然直線l的斜率存在，設(shè)為k，直線的方程為y=kx+m由題意，m豐0.y二kx+m由1，得x2一2kx一2m=0.y=x22由題意，該方程的判別式A=4(k2+2m)0，即k2+2m0()貝Ux+x=2k，xx=一2m.1212因?yàn)镺A丄OB，所以O(shè)A丄OB，所以xx+yy=0，1212即xx+(kx+m)(

13、kx+m)=0，即(1+k2)xx+km(x+x)+m2=0.12121212所以一2m(1+k2)+2k2m+m2=0.所以m22m=0.解得m=0(舍去)，或m=2當(dāng)m=2時(shí)，k2+2m0，滿足()式.所以直線l的方程為y=kx+2.直線/過定點(diǎn)(0,2).1(II)解法一：過點(diǎn)(1,-2)且與C:y=-x2相切的直線的斜率必存在，設(shè)其斜率為k，則其方程為y(2)=k(x1)，即y=k(x1)2. 由yk(D2消去y并整理得x2-2kx+2(k+2)=0.x2=2y由判別式A=(-2k)2-8(k+2)=0，解得k=1土運(yùn).不妨設(shè)l的斜率k=1+J5，則l的斜率k=1-J5.1122由韋達(dá)

14、定理，得x+x=2k，即x=k=1+：5.12111y=k(x-1)2=(1+75)x-2=3+x/5.所以A(1+弋；5,3+5).同理可得B(1-J5,3-燈5).直線l的方程為y-(3佔(zhàn)-:+-:鳥x-(1+即直線l的方程為yx+2.解法二：y(-x2)x，2所以過A且與C相切的直線l的斜率為x.1同理，l的斜率為x.22l:y-x2x(x-x),12111即l:yxx一x2.同理l:11212因?yàn)槿伺cl的交點(diǎn)(1,-2)的坐標(biāo)為方程組f121yxx一x21212的解1yxx一x2222所以xx2-2，且xx2-2.121222所以方程xx2-2，即x2+x+20的兩個(gè)實(shí)根是x,221x

15、2.由x2+x+20，解得x1+鶯5，x1v5.212又點(diǎn)A，B在C:y2x2上，可得A(1+叮5,3+5),B(1空5,3-廠5).厶直線l的方程為y-(3+心5):+弓)-(3-gx-(1+5),即直線l的方程為yx+2.解法三：y二(2x2)=x，所以過a且與C相切的直線I】的斜率為X同理，$的斜率為x2.所以，切線l:y-y=X(X-X)，即y一y=XXX2.1111111又(X,y)是拋物線y=X2上的點(diǎn)，所以y=X2，即x2=2y.11212111故切線l的方程為y=xxy.111同理切線l的方程為y=xx-y.222又切線l與切線l均過點(diǎn)(1,-2)，故xy=2，xy=2.121

16、122所以切點(diǎn)A(x,y)、B(x,y)的坐標(biāo)適合方程x-y=-2.1122所以l的方程為y=x+2.21.(I)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8).f(1)=0.由題意，函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)1./(x)=2x-.x若a0.顯然f(X)0恒成立，所以f(X)在(0,+8)上是增函數(shù).又f(1)=0，所以a0，f(x)=.xf(x)0oxf(x)0o0 x所以f(x)在(0,*2)上是減函數(shù)，在、:2,+8)上是增函數(shù).所以f(X)min=f42)=由題意，必有f(亍)0，則f(x)0恒成立，f(x)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意).aa-a1a小右f(、)0，則2一1-2ln_20.TOC o 1-

17、5 h zaaa11aa111a令g(a)=-1-Mln(a0)，則g(a)=-mln-x_xM=_Mln.2222222a2222g(a)0o0a2；g(a)2.所以函數(shù)g(a)在(0,2)上是增函數(shù)，在(2,+8)上是減函數(shù).所以g(a)=g=0所以g(a)0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào).max所以f()0a0且a豐2.a11取正數(shù)b-1-alnb-1-ax(-)=0；”2a取正數(shù)ca+1，顯然c2耳a2.而f(c)=c2-1-alnc,令h(x)=lnxx，則h(x)=丄一1.當(dāng)x1時(shí)，顯然h(x)=10.xx所以h(x)在1,+8)上是減函數(shù).所以，當(dāng)x1時(shí)，h(x)=Inx-xh(1)=

18、-10，所以Inxc2-1-ac=c(c-a)-1cx1-10.又f(x)在(0：|)上是減函數(shù)，在(:2,+8)上是增函數(shù).則由零點(diǎn)存在性定理，f(x)在(咗)、(誇,+8)上各有一個(gè)零點(diǎn).可見，0a2不符合題意.I1-x0+0注：a0時(shí)，若利用limf(x)=+8，f(牛)0，limf(x)=+8，說(shuō)明f(x)在(0,：彳)、Y+8(2,+8)上各有一個(gè)零點(diǎn).若f(2)=0，顯然”2=1，即a=2.符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aIa1時(shí)，g(x)Wg(1)=0可見，01恒成立.(1)當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=xex-1.當(dāng)x1時(shí)，g(x)=1ex-11時(shí)，g(x)Wg(1)=0可見，a=

19、0符合題意.a(2)若aa+1，顯然m1.則g(m)=(em-1+一1)W1+(m一1)+一1(利用ex-11+(x1)mm_m(m1)+am(一a+1)(一a+1一】)+a=空0，g(x)在1,+e)上是減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定點(diǎn)，存在唯一的xe(1,m)使得g(x)=0.00于是，當(dāng)xe(1,x)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)在(1,x)上是增函數(shù).00所以，當(dāng)xe(1,x)時(shí)，g(x)g(1)=0可見，a0時(shí)，分如下三種解法：aax2ex1解法一：(3)右01時(shí)，h(x)Wh(1)=a1W0，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)x1時(shí)，g(x)=空W0，g(x)=1aex-1在1,+e)上是減函數(shù)

20、.x2x所以，當(dāng)x1時(shí)，g(x)Wg(1)=a1,g(x)=1-ex-1,g(x)=xx2令h(x)=a-x2ex-1，顯然h(x)在1,+a)上是減函數(shù)，且h(1)=a-10,h(a)=a一a2ea-1a-aea-10；當(dāng)xe(x,+s)時(shí)，h(x)0；當(dāng)xe(x,+s)時(shí)，g(x)0.aa所以，g(x)在(1,x)上是增函數(shù)，在(x,+s)上是減函數(shù).aa所以，g(x)在1,+e)上的最大值g(x)=g(x)=1-exa-1.maxaxa將()式代入上式，得g(x)=1-亠1-a亠=亠1時(shí)，g(x)1時(shí)，g(x)1符合題意.綜上，所求a的取值范圍是0,+8).解法二：(3)若a0，g(x)

21、1恒成立oex-1x-aInx對(duì)任意的x1恒成立.令p(x)=ex-1-x，q(x)=-alnx.p(x)=ex-11，當(dāng)x1時(shí)，p(x)=ex-11e1-11=0，所以p(x)在1,+8)上是增函數(shù).所以p(x).=p(1)=0.min顯然q(x)=alnx在1,+8)上是減函數(shù)，q(x)=q(1)=0.max所以，當(dāng)x1時(shí)，p(x)q(x)，即ex-1-x-alnx對(duì)任意的x1恒成立.所以a0符合題意. 解法三：(3)若a0,g(x)=x-ex-iaInx1恒成立.令p(x)=x一ex-i,q(x)=-alnx.p(x)=1-ex-i，當(dāng)x1時(shí)，p(x)=1-ex-i1時(shí)，p(x)1時(shí),q

22、(x)=-alnx1時(shí)，g(x)=p(x)+q(x)0.令g(x)=ex-1+alnx-x，則g(x)0對(duì)任意的x1恒成立.axex-1-x+ag(x)=ex-i+一1=xx令h(x)=xex-i-x+a，當(dāng)x1時(shí)，h(x)=(x+1)ex-i一1(1+1)ei-i-10,所以h(x)在1,+8)上是增函數(shù).h(x)若a0，則x1時(shí)，h(x)h(1)=a0，g(x)=0，x所以g(x)在1,+8)上是增函數(shù).所以，當(dāng)x1時(shí)，g(x)g(1)=0.可見，a0符合題意.若a0，h(1)=a0，h(1-a)=(1-a)e-a-1+2a(1-a)1+(-a)+2a-1=a20.(這里利用了x0時(shí)，ex

23、1+x)又h(x)在1,+8)上是增函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理，知存在唯一的xe(1,1-a)，使得h(x)=0.aah(x)于是，當(dāng)xe(1,x)時(shí)，h(x)0，g(x)=0，ax所以，g(x)在(1,x)上是減函數(shù).a所以，當(dāng)xe(1,x)時(shí)，g(x)g(1)=0可見，a0不符合題意.a綜上，所求a的取值范圍是0,+8).注：利用h(1)=a0，limh(x)=+8，說(shuō)明h(x)在(1,+8)上有零點(diǎn).解法五：f(x)ex-i+x2一x一1ox一aInx一e-10.令g(x)=x-alnx-ex-1，則g(x)1恒成立.(1)先尋求使結(jié)論成立的充分條件.由g(1)=0，要使g(x)1恒成立.只

24、需要g(x)在1,+8)上是減函數(shù)，即g(x)1恒成立.a而g(x)=1-ex-1x(1-ex-1)，x所以，只需要ax(1-ex-1)對(duì)任意的x1恒成立.令h(x)=x(1-ex-1)，h(x)=1一ex-1xex-1=1-(x+1)ex-1.顯然h(x)在1,+8)上是減函數(shù)，所以，當(dāng)x1時(shí)，h(x)h(1)=1-(1+1)e1-1=-1h(x)(x1).max可見，當(dāng)a0時(shí)，g(x)1恒成立.(2)當(dāng)a0，g(1-a)=1-1-a12a1-aex1+x)1-2a0時(shí),1-a12a(1_a)2_a又ag(x)=0，aa所以g(x)在(1,x)上是增函數(shù).a所以，當(dāng)xe(1,x)時(shí)，g(x)g(1)=0.a可見，a0不符合題意.綜上，所求a的取值范圍是0,+8).注：a0，limg(x)=_8，說(shuō)明h(x)在(1,+8)上有零點(diǎn).xT+8a22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：(I)曲線C的普通方程為彳+寧=1.當(dāng)a=1時(shí)，直線l的普通方程為y=2x.y=2x1x2y2.解得1=1943Ix=,